2022-2023学年内蒙古自治区包钢第一中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年内蒙古自治区包钢第一中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据交集的知识确定正确答案.

【详解】，

.

故选：D

2．命题“存在，”的否定形式是（    ）

A．任意，

B．存在，或

C．存在，

D．任意，或

【答案】D

【分析】由特称命题的否定是全称命题直接求解即可.

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在，”的否定是“，或”.

故选：D.

3．若为实数，且，则下列命题正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】对于A，B，C，对取特殊值即可判断.

对于D，用分别乘以不等式的两端，根据不等式的性质即可得到答案.

【详解】对于A，取，A错；

对于B，取，此时，，B错；

对于C，取，此时，，C错；

对于D，.

故选：D

4．已知，.且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用基本不等式可求的最小值，从而可求实数的取值范围.

【详解】因为，故，

当且仅当时等号成立，故的最小值为9，故，

故选：D.

5．已知，且是方程的两根，则的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】画出函数图象，数形结合进行求解.

【详解】为二次函数，开口向上，

因为是方程的两根，

故为图象与轴的两个交点横坐标，

其中，

画出图象如下：

显然，

故选：C

6．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为､､，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】B

【解析】由公式列出面积的表达式，代入已知，然后由基本不等式求得最大值．

【详解】由题意

，

当且仅当，即时等号成立﹐

此三角形面积的最大值为3.

故选：B．

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

7．下列选项中，“”成立的一个必要不充分条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】题目选择的是必要不充分条件，即可以推出这个条件，但是这个条件不能推出.

【详解】A:A对；

B：不是必要条件，所以B错；

C：不是必要条件，所以C错；

D：不是必要条件，所以D错；

故选：A

8．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】首先解不等式得到或.解方程，得，，再分类讨论求解即可.

【详解】解得或.

，解得，.

当，即时，的解为.

则的解为，

若不等式组仅有一个整数解，则，即.

当，即时，的解为.

若不等式组仅有一个整数解，

则，即.

当，即时，的解为空集，不符合题意，舍去.

综上或.

故选：B

二、多选题

9．下列命题中，真命题是（    ）

A．若，则

B．满足的子集个数有8个

C．，则

D．“”是“”的充分不必要条件

【答案】BC

【分析】可用作差法比较大小判断A项的正误，列举符合题意的集合A判断B项的正误，根据集合的运算判断C项的正误，由两个条件间的推断关系判断D项的正误.

【详解】对于A，，因为，

所以，即，A错误；

对于B，因为，集合A可以是：，，，，，，，，共8个，B正确；

对于C，因为，所以集合A中的元素都属于集合B，，C正确；

对于D，“”即“且”，所以“”是“”的必要不充分条件，D错误.

故选：BC.

10．已知关于的不等式解集为，则（    ）

A． B．

C． D．不等式的解集为

【答案】BCD

【分析】利用二次不等式的解集的性质可得，，且是方程的两个不等实根，再利用韦达定理即可得解.

【详解】对于A，因为不等式解集为，所以，故A错误；

对于B，易得是方程的两个不等实根，所以，

又，所以，故B正确；

对于C，令，满足，则可化为，故C正确；

对于D，由选项AB分析可得，即，又，

所以可化为，故，解得，

即的解集为，故D正确.

故选：BCD.

11．若正实数满足，则下列说法正确的是（    ）

A．有最大值 B．有最大值

C．有最小值为1 D．有最小值

【答案】AB

【分析】根据基本不等式逐一分析判断即可.

【详解】解：因为正实数满足，

所以，当且仅当时，取等号，

所以有最大值，故A正确；

因为，

所以，当且仅当时，取等号，

所以有最大值，故B正确；

由正实数满足，得，

则，

当且仅当，即时，取等号，

又因，所以，故C错误；

因为，所以，

当且仅当时，取等号，

所以有最小值，故D错误.

故选：AB.

12．下列说法正确的有（       ）

A．的最小值为2

B．已知，则的最小值为

C．若正数x，y为实数，若，则的最大值为3

D．设x，y为实数，若，则的最大值为

【答案】BD

【分析】对于A选项，当时，，故A选项错误；对于C选项，可以利用基本不等式求出的最小值为3，所以C选项错误；对于BD选项，可以根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解.

【详解】对于A选项，当时，，故A选项错误，

对于B选项，当时，，

则，

当且仅当时，等号成立，故B选项正确，

对于C选项，若正数、满足，则，

，

当且仅当时，等号成立，故C选项错误，

对于D选项，，

所以,当且仅当时，等号成立，可得，

时取最大值，故的最大值为，D选项正确．

故选：BD．

三、填空题

13．若，则的值为__________.

【答案】1

【分析】根据集合中元素的性质可知或，解得，，即可求解.

【详解】因为，

所以或，则或，

所以，

所以，

故答案为：1

14．已知，记，则__________.（用“”或“”或“”填）

【答案】

【分析】利用作差法即可得解.

【详解】因为，

所以，

因为，

所以，

所以，即.

故答案为：.

15．关于的方程有一个正根和一个负根的充要条件是__________.

【答案】或.

【分析】若含参的一元二次方程有一正一负根，则二次项系数不为0且判别式大于0且两根之积小于0，由此列式可得结果.

【详解】设、是方程的两根，则由题意知，

或.

故答案为：或.

16．已知满足，则的最小值是__________.

【答案】8

【分析】根据已知可将变形为，展开可得，利用基本不等式即可求得结果.

【详解】因为，所以，由得，

则

，

当且仅当且时取等号，此时，，

故的最小值是8.

故答案为：8.

四、解答题

17．已知集合.

(1)求图中阴影部分；

(2)若，求的取值范围

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据题意先求出，根据韦恩图和集合的运算即可求解；

(2)先求出时，实数的取值范围，然后取其补集即可求解.

【详解】（1）因为，

由，，可得：或，

由图可知：图中阴影部分，

故.

（2）由（1）知：，又，

当时，则，

故时，实数的取值范围为.

18．（1）已知，求的取值范围.

（2）若，求证：；

【答案】（1），;(2)证明见解析

【分析】（1）利用不等式得性质计算即可；（2）先通分,再因式分解，然后利用基本不等式证明即可.

【详解】（1）由题可知：，由不等式的性质可知；因为，所以，因为，所以，由不等式的性质可知，得；

（2）证明：，由基本不等式可知，所以有，当时，等号成立，此时，证毕.

19．已知命题“满足，使”，

(1)命题“”，若命题中至少一个为真，求实数的范围.

(2)命题，若是的充分不必要条件，求实数的范围.

【答案】(1)或；

(2)

【分析】（1）先求出命题为真和假时的取值范围，由此可得命题都为假命题时的取值范围，进而即可求解；

（2）记，由题意可得，由集合的包含关系，分类讨论即可求解；

【详解】（1）命题“满足，使”，为真命题时，

，令，则，

所以，

所以命题为假时，则或，

命题“”，为真命题时，

，解得或，

所以命题为假时，则，

又因为命题都为假命题时，，

即，

所以命题中至少一个为真时，实数的范围是或；

（2）由（1）可知：命题为真命题时，，

记

因为是的充分不必要条件，

所以，

当即，也即时，满足条件；

当时，

，解得；

综上可知：实数的范围是

20．2021年8月3日，旅居法国的中国大熊猫欢欢，在法国博瓦勒动物园顺利地产下了一对双胞胎，暂时取名为“棉花”和“小雪”.为了让妈妈更好地喂养两个小幼崽，动物园决定在原来的矩形居室的基础上，拓展建成一个更大的矩形居室，使活动的空间更大.为不影响现有的生活环境，建造时要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示.已知.设（单位：），矩形的面积为.

(1)写出y关于x的表达式，并求出x为多少米时，y有最小值；

(2)要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由题知，进而，再结合基本不等式求解即可；

（2）根据题意解不等式即可得答案.

【详解】（1）解：由图知

，

∴

由基本不等式可知时，

当且仅当即时，

（2）解：∵要使矩形的面积大于，

∴，

或

的长应在

21．解关于的不等式.

【答案】答案不唯一，见解析

【分析】先讨论不等式是否为一元二次不等式,若为一元二次不等式，则解出其等式的两个根,讨论其开口方向与两根的大小关系，即可得出结论.

【详解】解：（1）当时，原不等式可化为，此时不等式的解集为；

（2）时，方程的解为，.

①当时，因为，所以不等式的解集为；

②当时，因为，所以不等式的解集为；

③当时，因为，所以不等式的解集为；

④当时，因为，所以不等式的解集为.

【点睛】本题考查含参不等式的解法.属于中档题.解含参不等式.首先需确定不等式的类型：一次、二次、分式、绝对值.确定类型后再利用相应的解法求解.

22．已知函数.

(1)若不等式的解集为，求的取值范围；

(2)若不等式对一切恒成立，求的取值范围：

(3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）分和两种情况讨论，当时，利用根的判别式列出不等式，即可得解；

（2）利用分离参数法可得对一切恒成立，分离常数结合基本不等式求出即可；

（3）将看成主元，则不等式变为，令，根据一次函数的单调性求出函数的最小值即可.

【详解】（1）解：不等式即，

当时，，解得，不符题意，

当时，

则，解得，

综上所述，的取值范围为；

（2）解：不等式对一切恒成立，

即对一切恒成立，

因为，

则不等式等价于对一切恒成立，

由，

得，

当且仅当，即时取等号，

所以，

所以；

（3）解：不等式对一切恒成立，

即对一切恒成立，

令，

因为，

所以函数在上递增，

则，解得，

所以的取值范围.