2022-2023学年江苏省常州市十校高一上学期12月联考数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省常州市十校高一上学期12月联考数学试题

一、单选题

1．是（    ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】D

【分析】将表示为的形式，由此判断出其所在象限.

【详解】依题意，，所以是第四象限角.

故选：D

【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.

2．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题知，再求集合交集运算即可.

【详解】解：根据题意，函数的值域为，

所以，

所以，.

故选：D

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由，但由，当时，，故“”是“”的充分不必要条件.

【详解】，所以“”是“”的充分条件；

又，当时，，所以“”是“”的不必要条件；

故选：A

4．函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】采用排除法：先根据函数的奇偶性排除选项A；根据当时，函数排除选项B；

再根据当时，函数单调递增，排除选项C，进而求解.

【详解】因为函数的定义域为，关于原点对称，

且，所以函数为奇函数，故排除选项A；

因为当当时，函数，故排除选项B；

又当时，函数单调递增，故排除选项C，

综上可知：正确的为选项D，

故选：D.

5．奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化即可．

【详解】∵奇函数在上为增函数，且

∴函数在上为增函数，且

∴不等式等价于或

即或，解得或

故选：D．

6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的.设，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由偶函数性质变形，然后由对数换底公式、对数函数性质比较，大小，再由指数函数性质结合中间1比较与前面对数的大小后，再由函数单调性得结论．

【详解】函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的，所以，所以，

故选：B．

7．已知函数 的最小值为，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据二次函数的性质以及基本不等式即可每一段上函数的最值，进而可得的最值.

【详解】当时，，当且仅当时取等号，故此时的最小值为，

当时，，对称轴为，

当时，在单调递减，此时最小值为，要使的最小值为，则,

当时，在单调递减，在单调递增，此时最小值为，不满足的最小值为，

综上

故选：A

8．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（    ）（参考数据：）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【分析】设该污染物排放前过滤的次数为，由题意，两边取以10为底的对数可得，根据参考数据即可求解.

【详解】解：设该污染物排放前过滤的次数为，

由题意，即，

两边取以10为底的对数可得，即，

所以，

因为，

所以，

所以，又，

所以，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次.

故选：C.

二、多选题

9．下列不等式中正确的有（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BC

【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用基本不等式可判断B选项；利用不等式的性质可判断C选项.

【详解】对于A选项，当时，，A错；

对于B选项，，则，，由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，B对；

对于C选项，因为，则，C对；

对于D选项，取，，，则，D错.

故选：BC.

10．下面命题正确的是（    ）

A．“”是“”的必要不充分条件

B．如果幂函数的图象不过原点，则或

C．函数且恒过定点

D．“”是“一元二次方程有一正一负两个实根”的充要条件

【答案】ABD

【分析】根据充分条件，必要条件的定义即可判断A；根据幂函数的定义及性质即可判断B；

根据指数函数的性质即可判断C；由一元二次方程解的情况结合韦达定理即可判断D.

【详解】“”是“”的必要不充分条件，A正确；

如果幂函数的图像不过原点，则，

解得，B正确；

根据指数函数的性质可知，且恒过定点，C错误；

若，则一定成立，即此时方程一定有两不等根，设为，

又，即两根异号；

若一元二次方程有一正一负两个实根，则，即

所以D正确.

故选:ABD.

11．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形（如图）的面积为，圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，圆心角为，当与的比值为（黄金分割比）时，折扇看上去较为美观，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】利用扇形的面积公式以及角度制与弧度制的互化即可求解.

【详解】设扇形的半径为，由，故D正确；

由，

所以，解得，故C正确；

由，则，

所以，

所以，故B正确.

故选：BCD

12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则下列叙述正确的是（    ）

A．是偶函数 B．在上是增函数

C．的值域是 D．的值域是

【答案】BD

【分析】依题意可得，再根据指数函数的性质判断函数的单调性与值域，距离判断B、D，再根据高斯函数的定义求出的解析式，即可判断A、D.

【详解】解：因为，定义域为，

因为在定义域上单调递增，且，又在上单调递增，

所以在定义域上单调递增，故B正确；

因为，所以，所以，则，

则，即，故C错误；

令，即，解得，

所以当时，

令，即，解得，

所以当时，当时，

所以，

所以的值域是，故D正确；

显然，即不是偶函数，故A错误；

故选：BD

三、填空题

13．已知，，则等于________．

【答案】

【解析】利用同角三角函数的基本关系可求得的值，进而利用商数关系可求得的值.

【详解】，，因此，．

故答案为：．

14．函数的单调增区间是___________.

【答案】和

【分析】先分类讨论，去掉绝对值符号，然后利用二次函数的开口方向和对称轴判断单调递增区间即可.

【详解】当时，，此时开口向上，对称轴为，因为，所以在上单调递增；当时，，此时开口向下，对称轴为，因为，所以在单调递增；

故答案为：和

15．若且，则的最小值为______________.

【答案】

【分析】先由得到，把转化为利用基本不等式求最值.

【详解】因为，所以 ；

因为，所以

解得（舍去，因为） ，即，

因此，

当且仅当 时取等号.

故答案为：.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

16．已知函数且在区间上单调递减，则实数a的取值范围是___________.

【答案】或

【分析】先明确且可看作由函数复合而成，分类讨论和，根据复合函数的单调性的判断，即可求得实数a的取值范围.

【详解】由题意可知且可看作由函数复合而成，

当时，为R上的增函数，

若函数且在区间上单调递减，

需满足在上单调递减，即；

当时，为R上的递减函数，

若函数且在区间上单调递减，

需满足在上单调递增，即，则，

故实数a的取值范围是或.

故答案为：或.

四、解答题

17．（1）

（2）

【答案】（1）；（2）0.

【分析】（1）根据指数的运算性质计算即可；

（2）根据指数与对数的运算性质计算即可.

【详解】解：原式

；

【点睛】解：原式

.

18．已知．

（1）的值

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）3．

【分析】（1）根据题意得，进而利用诱导公式化简求值即可得答案；

（2）根据诱导公式化简，并构造齐次式求解即可得答案.

【详解】（1）由，解得．

（2）由（1）得，

所以

19．已知函数为幂函数，且为奇函数.

(1)求的值，并确定的解析式；

(2)令，求在的值域.

【答案】(1)的值为，函数的解析式为

(2)

【分析】（1）根据幂函数的定义及性质即可求解；

（2）由（1），得，令利用换元法得到，

，再根据二次函数的性质即可求解.

【详解】（1）因为函数为幂函数，

所以，解得或，

当时，函数是奇函数，符合题意，

当时，函数是偶函数，不符合题意，

综上所述，的值为，函数的解析式为.

（2）由（1）知，，

所以，

令，则，

，

所以，

在上单调递减，在上单调递增，

所以，

，，

所以函数在的值域为.

20．已知集合，，．

(1)求；

(2)若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分别求出与中不等式的解集，根据交集的定义与的交集即可；

（2）分，以及三种情况，分别求出集合中不等式的解集，根据为与交集的子集列关系式，可求出的范围．

【详解】（1）

由等价于等价于，

∴，解得或，

∴或，∴．

（2）

当时，，要使，

则，解得．

当时，，符合；

当时，，要使，

则，解得．

综上，a的取值范围是．

21．已知函数，为非零常数．

(1)当时，试判断函数的单调性，并用定义证明；

(2)当时，不等式对恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)函数在定义域上为单调增函数，证明见解析

(2)

【分析】（1），进而结合指数型复合函数判断，再根据函数单调性的定义判断即可；

（2）结合（1）得在为单调增函数，再判断函数的奇偶性得为奇函数，再根据单调性与奇偶性得对恒成立，进而根据二次不等式恒成立求解即可.

【详解】（1）解：因为，

所以，由指数型复合函数单调性可判断：函数在定义域上为单调增函数．

证明：时，对恒成立，

函数的定义域为，

任取且，，，

，

 ，

，，，，

∴，，，，

，

∴函数在为单调增函数．

（2）解：当时， ，

∴由（1）知函数在为单调增函数，

∵函数的定义域为，关于原点对称，

 又，

函数为上的奇函数，

∴不等式对恒成立等价于 对恒成立，

对恒成立，

对恒成立，

，解得 ．

实数的取值范围是 ．

22．给定区间，集合是满足下列性质的函数的集合：任意，

(1)已知，，求证：；

(2)已知，若，求实数的取值范围；

(3)已知，，讨论函数与集合的关系．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)答案见解析

【分析】（1）由集合定义证明不等式

（2）化简后为不等式恒成立，参变分离转化为最值问题

（3）化简后转化为一元二次不等式恒成立，根据对称轴与区间关系讨论最值

【详解】（1）证明：因为，

所以，

即，所以

（2）当时，恒成立，

即在上恒成立

令，当时

故

的取值范围是

（3），，

若，则当，恒成立，

即恒成立，

即恒成立，

记，，

当 ，即时，，即，

又因为，所以；

当，即时，

，恒成立，

所以；

当 ，即时，，

即又，所以，

综上所得．

所以当时，；

当或时，．