2021-2022学年四川省绵阳市开元中学高一下学期半期质量检测数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年四川省绵阳市开元中学高一下学期半期质量检测数学（文）试题

一、单选题

1．数列，，，，，的一个通项公式为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】用观察法总结其规律，写出一个通项公式即可.

【详解】先不考虑符号，数列1，3，5，7，9，的通项公式为，

然后再考虑符号（正负交替出现），则它的一个通项公式为．

故选：C．

2．已知向量，则

A． B．2

C．5 D．50

【答案】A

【分析】本题先计算，再根据模的概念求出．

【详解】由已知，，

所以，

故选A

【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．

3．已知向量，且，则m=

A．−8 B．−6

C．6 D．8

【答案】D

【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．

【详解】∵，又，

∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．

故选D．

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．

4．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=

A．-3 B．-2

C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.

【详解】由，，得，则，．故选C．

【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．

5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=

A． B． C．2 D．3

【答案】D

【详解】由余弦定理得，

解得（舍去），故选D.

【解析】余弦定理

【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！

6．在中，角，，所对的边分别为，，，满足，则的形状为（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】利用正弦定理得到或，即可判断.

【详解】在中，对于 ，

由正弦定理得：，即，

所以或

即或.

所以为等腰三角形或直角三角形.

故选：D

7．已知非零向量满足，=．若，则实数t的值为

A．4 B．–4 C． D．–

【答案】B

【详解】由，可设，

又，所以

所以，故选B．

8．设为等差数列的前项和，若，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果.

详解：设该等差数列的公差为，

根据题中的条件可得，

整理解得，所以，故选B.

点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.

9．已知数列满足，，则的前10项和等于

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析:设由题设可知数列是公比为,首项是的等比数列.故其前项和为,应选C.

【解析】等比数列的定义及前项和的运用.

10．等差数列的公差是2，若 成等比数列，则的前 项和

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：由已知得，，又因为是公差为2的等差数列，故，，解得，所以，故．

【解析】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n项和．

11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数；类似地，称图（2）中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】记三角形数构成的数列为，计算可得；易知．据此确定复合题意的选项即可.

【详解】记三角形数构成的数列为，

则，，，，…，

易得通项公式为；

同理可得正方形数构成的数列的通项公式为．

将四个选项中的数字分别代入上述两个通项公式，使得都为正整数的只有．

故选C．

【点睛】本题主要考查归纳推理的方法，数列求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

12．已知正项等比数列，向量，若，则

A．12 B．16 C．18 D．

【答案】C

【分析】根据向量的数量积公式得出，结合等比数列的性质，即可得出答案.

【详解】

或（舍）

故选：C

【点睛】本题主要考查了等比数列基本性质的应用，属于中档题.

二、填空题

13．设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．

【答案】-8

【详解】设等比数列的公比为，很明显，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：

，由可得：，代入①可得，

由等比数列的通项公式可得.

【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

14．的内角的对边分别为，若，则 ________．

【答案】

【分析】根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB的值，即得B角.

【详解】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.

∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．

又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.

又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.

∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝.

又0<B<π，∴B＝.

【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.

第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.

第三步：求结果.

15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则b=___.

【答案】

【详解】试题分析：因为，且为三角形的内角，所以，，又因为，所以.

【解析】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式

【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

16．已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________.

【答案】

【分析】先利用正弦定理将条件中的角转化为边的关系，再利用余弦定理求解出角A的值，再利用边a的余弦定理和均值不等式求出bc的最大值后即可求解出面积的最大值.

【详解】因为，

所以根据正弦定理得:，

化简可得:，

即，(A为三角形内角)

解得:，

又，(b=c时等号成立)

故.

故答案为：

【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题目，解题的关键有两点，首先是利用正余弦定理实现边角之间的互化，其次是利用余弦定理和均值不等式求出三角形边的乘积的最大值.

三、解答题

17．已知是等差数列，，.

（1）求的通项公式；

（2）设的前项和，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设等差数列的公差为，利用题中等式建立、的方程组，求出、的值，然后根据等差数列的通项公式求出数列的通项公式；

（2）利用等差数列前项和公式求出，然后由求出的值.

【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，，

数列的通项为；

（2）数列的前项和，

由，化简得，即，.

【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求解，考查等差数列的前项和公式，常用的方法就是利用首项和公差建立方程组求解，考查运算求解能力，属于中等题.

18．已知，向量．

(1)若向量，求向量的坐标；

(2)若向量与向量的夹角为120°，求．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）由，设，有，再根据，得，最后解方程即可；

（2）先求，再求后可求解.

【详解】（1）由，设，∴，

∵，∴，解得或

所以或．

（2）∵，，，

∴，

∴，∴．

19．如图,在中，已知点分别在边上，且，.

（1）用向量、表示；

（2）设,,,求线段的长.

【答案】（1） ;（2）.   

【详解】试题分析:（1）现将转换为，然后利用题目给定的比例，将其转化为以为起点的向量的形式.（2）由（1）将向量两边平方，利用向量的数量积的概念，可求得.

试题解析：

（1）由题意可得：           

（2）由可得：

.

故.   

20．在中，内角的对边分别为，已知.

(1)求角A的大小；

(2)若的面积为，且，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理化边为角，得到，求出角A；（2）由面积公式得到，结合余弦定理求出从而求出周长.

【详解】（1）由正弦定理得：，

即，

，

又，故.

（2）由（1）知，

，

，

，故

的周长为

21．的内角的对边分别为，已知，．

(1)求；

(2)设为边上一点，且，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由求得，再由余弦定理求得即可；

（2）先由余弦定理求得，再求出，最后由面积公式求解即可.

【详解】（1）因为，所以，所以．在中，由余弦定理得，

即，解得（舍去），．

（2）

因为，由余弦定理得，又，即是直角三角形，所以，

则，又，则，所以的面积为．

22．已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，.

(1)求和的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由等差等比的通项公式列出方程，求解得出通项公式；

（2）先得出数列的通项公式，再由错位相减法求和即可.

【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.

由已知，得，而，所以

又，解得，所以

由，可得①

由，可得②

联立①②，解得，由此可得

所以数列的通项公式为，数列的通项公式为

（2）解：设数列的前项和为，

由，有，

故

上述两式相减，得

得.

所以，数列的前项和为.