2021-2022学年四川省绵阳市开元中学高一下学期期末适应性质量检测数学（理）试题（解析版）

这是一份2021-2022学年四川省绵阳市开元中学高一下学期期末适应性质量检测数学（理）试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年四川省绵阳市开元中学高一下学期期末适应性质量检测数学（理）试题 一、单选题1．已知等差数列的前n项和为，，，则（    ）A．55 B．60 C．65 D．75【答案】C【分析】利用等差数列的通项公式列方程，解方程得到，，然后根据等差数列求和公式求和即可.【详解】设等差数列的公差为d，，，，，解得，，则.故选：C.2．等比数列满足，，则（    ）A．21 B．42 C．63 D．84【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由等比数列的性质可知，，，，构成等比数列，则，可得，从而可求出的值【详解】设等比数列的公比为，易知，，，构成等比数列，且，得.所以.故选：B.3．在中，点D在BC边上，且.设，则可用基底表示为（         ）A． B．C． D．【答案】C【分析】在中根据，然后，然后在用向量的减法化简.【详解】解析：因为，所以.所以.故选：C4．已知关于的不等式的解集是，则的值是（    ）A． B．11 C． D．1【答案】C【分析】根据不等式的解集求出，的值，作和即可．【详解】解：若关于的不等式的解集是，则2，3是方程的根，故，故，故选．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查不等式和一元二次方程的关系，是一道基础题．5．若<0，则下列结论中不正确的是（    ）A．a2<b2 B．ab<b2 C．>2 D．|a|+|b|>|a+b|【答案】D【解析】将同乘，再结合赋值法和基本不等式判断即可【详解】因为，故，同乘得，对A，，即，故A正确；对B，，又，同乘得，故B正确；对C，因为，，故，故C正确；对D，，故，，故，故D错误，故选：D6．设向量，，若∥，则实数的值为（    ）A．2 B．3 C．-4 D．6【答案】A【分析】利用向量平行的坐标表示，即可得解.【详解】向量，，且∥，，解得，故选：A.【点睛】本题考查了利用向量平行求参数问题，熟记向量平行的坐标表示是本题的解题关键，属于基础题.7．在中，若，，，则此三角形解的情况为（    ）A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不能确定【答案】B【分析】计算，然后与比较，简单判断即可.【详解】由所以这样的三角形有两个故选：B8．在中，若，则（　　）A． B． C． D．【答案】C【详解】，由余弦定理的推论得：，又为三角形内角，故选C.9．函数的最小值为(   )A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】先对解析式等价变形，再利用基本不等式即可得出答案【详解】，，函数，当且仅当时取等号，因此函数的最小值为8答案选C【点睛】本题考查基本不等式求 最值的应用，属于基础题10．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图的面积为（    ）A．4 B． C． D．【答案】B【分析】先分析侧视图的形状为矩形，然后根据所给的长度得到矩形的长和宽，由此可计算出侧视图的面积.【详解】由题意知三棱柱的侧视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面的边上的高，且在边长是的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是，故选：B．11．棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求得外接球半径，然后求解其表面积即可.【详解】设长方体的外接球半径为，由题意可知：，则：，该长方体的外接球的表面积为.本题选择B选项.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.12．在空间四边形中， ， ，，分别是， 的中点 ，，则异面直线与所成角的大小为A． B． C． D．【答案】D【分析】平移两条异面直线到相交，根据余弦定理求解.【详解】如图所示：设的中点为，连接，所以，则是所成的角或其补角，又根据余弦定理得：，所以，异面直线与所成角的为，故选D.【点睛】本题考查异面直线所成的角和余弦定理.注意异面直线所成的角的取值范围是. 二、填空题13．已知实数满足不等式组，则的最小值是_________.【答案】【分析】作出可行域及目标函数的图象，利用线性规划的知识求解即可.【详解】解：作出可行域如图所示，联立，解得，令，则，由图知当直线经过点时，取得最小值，即.故答案为：14．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为 km，则A、B两船的距离为________ km．【答案】【分析】根据题意画出示意图，求得，再利用余弦定理求得的值．【详解】解：由题意可得，又，，在三角形中，由余弦定理可得，，故答案为：．【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，求得，是解题的关键，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．15．已知在一个长、宽、高、分别为3 cm，4 cm，6 cm的封闭长方体形状的铁盒中装有两个大小相同的小钢球，则每个小钢球的最大体积为______．（不计铁盒各侧面的厚度）【答案】【分析】根据题意知，当两个钢球并排放置时，半径最大，此时每个钢球的直径为，再集合球的体积公式，即可求得结果.【详解】由题意知，每个小钢球的最大半径为，所以每个小钢球的最大体积为故答案为:.16．已知在单调递增的等差数列中，满足，是和的等比中项，为数列的前n项和，则的最小值为________.【答案】6【分析】由题意可得，进而可得，再利用基本不等式即可求得答案.【详解】解：由题意可得，设等差数列的公差为d，则，解得（舍去），故，则，当且仅当时等号成立，此时取得最小值，故最小值为6.故答案为：6. 三、解答题17．已知数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列前n项和，求n的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意，得到公差为，结合，得到首项，进而得到数列的通项公式；（2）根据等差数列的前项和公式，列出方程，计算求出.【详解】（1）因为，设数列的公差为，所以数列是以为公差的等差数列，，故，，所以，.（2）由（1）得，，所以，，又由，可得，即，解得或，又，故.18．在公差不为0的等差数列中，成等比数列，数列的前10项和为45.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，由成等比数列可得，，化简得，再由数列的前10项和为45，得，从而可求出的值，进而可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用裂项相消求和法可求得【详解】解：（1）设等差数列的公差为，由成等比数列可得，，即，，，.由数列的前10项和为45，得，即，故，故数列的通项公式为；（2）【点睛】此题考查等差数列的基本量计算，考查等比中项的应用，考查裂项相消求和法，考查计算能力，属于基础题19．如图，在中，，，点在线段上，且.（1）求的长；（2）求的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用和表示，然后利用平面向量数量积的运算律可计算出的长；（2）利用平面向量数量积计算出的值，即可得出的值.【详解】（1）设，，则，，故；（2）设，则为向量与的夹角.，，即.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求模和夹角，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.20．已知的内角的对边分别为，，(1)求；(2)若为锐角，求的面积．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由条件结合正弦定理可得，与条件联立可求.（2）由余弦定理求，再根据三角形面积公式求的面积．【详解】（1）由正弦定理，可得，又，，所以，因为，所以，所以．          在中，因为，所以，所以为锐角，故．（2）由（1），得，因为为锐角，所以，由余弦定理，可得，解得（舍去）或，所以的面积为．21．如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱AB,BB1,CC1的中点,又H为BE的中点．(1)证明:平面B1EG∥平面HFC;(2)求直线EB1与CF所成角的余弦值;【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)由H、F是中点,得到HF∥B1E,再根据CF∥B1G,结合面面平行的判定定理即可证明;(2)因为CF∥B1G,所以∠EB1G为直线EB1与CF所成角或其补角,根据已知条件利用余弦定理求解即可.【详解】（1）∵H、F是中点,∴HF∥B1E.∵HF平面B1EG,B1E平面B1EG,∴HF∥平面B1EG.同理由CF∥B1G,CF平面B1EG,B1G平面B1EG,得CF∥平面B1EG.又∵HFCF＝F,HF平面HFC,CF平面HFC,∴平面B1EG∥平面HFC.（2）∵CF∥B1G,∴∠EB1G为直线EB1与CF所成角或其补角.设正方体棱长为,则∴,∴在中,,即直线EB1与CF所成角的余弦值为.22．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA＝SB＝AC＝BC＝2，，SC＝1，D，E分别为SA，AB的中点．(1)求证：DE平面BCS；(2)求三棱锥S﹣ABC的体积．【答案】(1)证明见解析(2)． 【分析】（1）只要证明 平行于平面BCS内的一条直线即可；（2）作图，根据条件找出几何关系，求出三角形ABC的面积和三棱锥的高即可.【详解】（1）因为D，E分别为SA，AB的中点，所以DESB，又因为DE⊄平面BCS，SB⊂平面BCS，所以DE平面BCS；（2）连结SE，CE，过点S作SO⊥CE于点O，如图所示：因为SA＝SB＝AC＝BC＝2，AB＝2，SC＝1，所以SE⊥AB，CE⊥AB，且SE∩CE＝E，所以AB⊥平面SCE，又SO⊂平面SCE，所以AB⊥SO；又CE∩AB＝E，所以SO⊥平面ABC；计算SE＝CE1， SEC为等边三角形 ， ，所以 ABC的面积为21，所以三棱锥S﹣ABC的体积为：；综上，三棱锥 的体积为 .