2021年高考全国乙卷数学（理）高考真题变式题第1-5题解析版

这是一份2021年高考全国乙卷数学（理）高考真题变式题第1-5题解析版，共24页。试卷主要包含了设，则，复数的共轭复数是，若，则等于，已知复数，则，复数满足，则，若，则，已知集合，，则，设集合，则等内容，欢迎下载使用。

1．设，则（ ）
A．B．C．D．
变式题1基础
2．若z-3+5i=8-2i，则等于（ ）
A．8-7i B．5-3i C．11-7iD．8+7i
变式题2基础
3．复数的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
变式题3巩固
4．若(，是虚数单位)，则等于（ ）
A．B．C．D．
变式题4巩固
5．已知复数，则（ ）
A．-4B．-2C．2iD．0
变式题5巩固
6．复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
变式题6提升
7．若，则（ ）
A．B．C．D．
原题2
8．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
变式题1基础
9．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
变式题2基础
10．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
变式题3巩固
11．已知集合， ，则（ ）
A．B．C．D．P∩Q＝
变式题4巩固
12．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
变式题5巩固
13．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
变式题6提升
14．设集合， ，则（ ）
A．B．C．D．
变式题7提升
15．集合，，若，则实数a取值范围（ ）
A．B．或
C．或D．
原题3
16．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
变式题1基础
17．函数的最大值是3，则它的最小值是（ ）
A．0B．1C．D．与有关
变式题2基础
18．下列命题中是存在量词命题且为假命题的是（ ）
A．，B．所有的正方形都是矩形
C．，D．，使
变式题3巩固
19．下列四个命题中，正确的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
变式题4巩固
20．若命题：，，命题：，，则下列命题中是真命题的是( )
A．B．
C．D．
变式题5巩固
21．已知命题，；命题当时，函数在上存在最小值.则下列命题中的真命题是（ ）
A．B．C．D．
变式题6提升
22．命题：若，则；命题：函数有且仅有一个零点，则下列为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
原题4
23．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
变式题1基础
24．下列函数中，是偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
变式题2基础
25．下列函数中，是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
变式题3巩固
26．设函数在内有定义，下列函数必为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
变式题4巩固
27．若定义在上的函数不是偶函数，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式题5巩固
28．设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
变式题6提升
29．已知非常数函数满足，则下列函数中，不是奇函数的为（ ）
A．B．C．D．
变式题6提升
30．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
变式题1基础
31．在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
变式题1基础
32．正方体中，分别是中点，则直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
变式题3巩固
33．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为
A．B．C．D．
变式题4巩固
34．已知直三棱柱，若，，是棱中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
变式题5巩固
35．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
变式题6提升
36．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为
A．B．C．D．
变式题7提升
37．在底面为正方形的四棱锥中，底面，，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
参考答案：
1．C
【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
2．C
【分析】根据复数的减法运算可解得结果.
【详解】.
故选：C.
3．B
【分析】根据共轭复数的定义判断．
【详解】复数的共轭复数是．
故选：B．
4．B
【分析】根据复数相等的条件，求得的值，即可求解.
【详解】因为，即，所以，
所以.
故选：B.
5．A
【分析】由已知的复数可求出其共轭复数，根据复数运算法则进行运算即可.
【详解】因为，所以，
所以，
故选:A
6．B
【分析】设，则，根据复数的乘法运算及复数相等的条件即可得出答案.
【详解】设，则，
则，
因为，即，
所以，解得，
所以，.
故选：B.
7．D
【分析】本题首先根据共轭复数的性质得出，然后通过复数的运算法则得出，最后通过复数的模的求法即可得出结果.
【详解】因为，所以，
则，
，
故选：D.
8．C
【分析】分析可得，由此可得出结论.
【详解】任取，则，其中，所以，，故，
因此，.
故选：C.
9．C
【分析】由题得,
A.集合和集合之间不能用“∈”连接，所以选项A错误；
B. ，所以选项B错误；
C. ，所以选项C正确；
D. 集合和集合之间不能用“∈”连接，所以错误.
【详解】由题得,
A. 错误，集合和集合之间不能用“∈”连接，所以选项A错误；
B. ，所以选项B错误；
C. ，所以选项C正确；
D. 集合和集合之间不能用“∈”连接，所以错误，应该为.
故选：C
10．B
【分析】根据集合包含关系的定义可得出结论.
【详解】因为，，故.
故选：B.
11．D
【分析】化简得到集合， ，结合为奇数，为偶数，即可求解.
【详解】由和，
可得集合， ，
因为为奇数，为偶数，所以.
故选：D.
12．A
【分析】根据集合和中的元素的特征，结合集合间的关系，即可得解.
【详解】对集合，其集合中的元素为的整数倍，
对集合，其集合中的元素为的整数倍，
的整数倍必为的整数倍，反之则不成立，
即中的元素必为中的元素，而中的元素不一定为中的元素，
故为的真子集，
故选：A
13．C
【分析】根据子集定义，即可判断.
【详解】由子集定义，可知.
故选：C
14．C
【分析】分别求解两个集合中的不等式，结合选项分析即可.
【详解】由题意，，
，于是.
故选：C
15．C
【分析】根据，可得或，从而可得答案.
【详解】解：因为，
所以或，
所以或.
故选：C.
16．A
【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正确选项.
【详解】由于，所以命题为真命题；
由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；
所以为真命题，、、为假命题.
故选：A．
17．C
【分析】设，转化为在上的最大值是3,分的符号进行分类讨论，先求出的值，再求其最小值.
【详解】设，
当时，不满足条件.
当时,当时，有最大值3，
即，则，则当时，有最小值-1，
当时, 当时，有最大值3，
即，则，则当时，有最小值-1，
综上的最小值是-1.
故选：C.
【点睛】本题考查正弦函数的最值，还可以由函数的最大值是3，得到，函数的最小值为，从而得到函数的最小值，属于基础题.
18．C
【分析】根据各选项命题的描述判断是否为存在量词命题及其真假即可.
【详解】A：命题为存在量词命题，当时，，故为真命题；
B：命题为全称量词命题，不是存在量词命题；
C：命题为存在量词命题，，，故为假命题；
D：命题为存在量词命题，当时，，故为真命题.
故选：C
19．C
【详解】试题分析：因为，当，故B、D均错误.
若，则，故A错误，C正确 ，故选C.
考点：1、全称量词与存在量词；2、三角函数的有界性及二倍角的正弦公式.
20．D
【分析】根据二次函数性质判断命题p的真假，根据绝对值的定义判断q的真假，从而可逐项判断真假．
【详解】对于关于x的二次方程，∵，故恒成立，
∴不存在，使得，∴命题p是假命题，命题为真命题；
当x<0时，，∴命题q是真命题，命题是假命题；
故为假命题，为假命题，为假命题，为真命题．
故选：D．
21．A
【分析】判断出命题的真假，利用二次函数的基本性质可判断命题的真假，再利用复合命题的真假可得出结论.
【详解】因为当时,，所以命题为真命题；
，
因为，所以，则，
所以当时，取得最小值，故命题为真命题.
所以为真命题，，，均为假命题.
故选：A.
22．A
【分析】根据正弦函数可知命题为假；令，可知是其切线方程，从而知命题为真，即可判断结果．
【详解】若，或，故命题为假；
令，则
当时，，所以在处的切线方程为
所以只有一个实根，故函数有且仅有一个零点，命题为真；
所以为真命题，，，均为假命题．
故选：A
23．B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
24．D
【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可.
【详解】的定义域为,故函数为奇函数；
的定义域为，故函数为非奇非偶函数；
的定义域为，且，故函数为奇函数；
的定义域，且，故函数为偶函数.
故选：D
25．D
【分析】利用函数的奇偶性定义判断.
【详解】A. 定义域为R，关于原点对称，又，所以函数是偶函数，故错误；
B. 定义域为，不关于原点对称，所以函数即不是奇函数也不是偶函数，故错误；
C. 定义域为R，关于原点对称，又，所以函数是偶函数，故错误；
D. 定义域为，关于原点对称，又，所以函数是奇函数，故正确，
故选：D
26．B
【分析】根据奇偶性的定义依次判断即可.
【详解】对A，中，与不一定相等，故不一定为奇函数，故A错误；
对B，中，，所以函数为奇函数，故B正确；
对C，中，与不一定相等，故不一定为奇函数，故C错误；
对D，为偶函数，故D错误.
故选：B.
27．C
【分析】由偶函数的定义判断．
【详解】A错，，函数为奇函数，如，；
B错，若，它不是偶函数，不存在，使得；
C正确，如果不存在，使得，说明对任意，，函数为偶函数，不可能，因此C正确；
D错，如，它不是偶函数，但存在使得．
故选：C．
28．B
【分析】化简各选项中的函数解析式，利用函数奇偶性的定义以及特殊值法可得出结论.
【详解】由题意可得，
对于A，，
设，对任意的，，函数的定义域为，
，，，函数不是偶函数；
对于B，，
设，对任意的，，函数的定义域为，
，函数为偶函数；
对于C，，
设，对任意的，，函数的定义域为，
，，，函数不是偶函数；
对于D，，
设，对任意的，，
，，则，函数不是偶函数.
故选：B.
29．D
【分析】根据奇函数的定义判断．
【详解】因为，所以
，则，是奇函数，
同理也是奇函数，
，则，是奇函数，
，为偶函数，
故选：D．
30．D
【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.
【详解】
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选：D
31．C
【分析】连接，把异面直线与所成的角转化为直线与所成的角，在等边中，得到，即可求解.
【详解】如图所示，连接，
在正方体中，可得，
所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角，
在等边中，可得，
即异面直线与所成的角为.
故选：C.
32．A
【分析】正方体AC1中，连接BD，B1D1，AB1，证明EF//B1D1，判断的形状即可作答.
【详解】正方体中，连接BD，B1D1，AB1，如图：
因分别是中点，则，而正方体AC1的对角面BDD1B1是矩形，
于是有，则直线与所成角是或其补角，
又，即是正三角形，，
直线与所成角的余弦值是.
故选：A
33．C
【详解】试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以
，故C为正确答案．
考点：异面直线所成的角．
34．C
【分析】为中点，连接易得为平行四边形，则，进而确定直线与直线所成角的平面角，应用余弦定理求其余弦值.
【详解】若为中点，连接，又是棱中点，
所以，在直三棱柱中且，即为平行四边形，
所以，则直线与直线所成角即为，
若，则，，
所以.
故选：C
35．C
【分析】根据长方体的性质，结合异面直线所成角的定义进行求解即可.
【详解】在长方体中，，
所以异面直线与所成角为（或其补角），
因为，所以由勾股定理可知：
，，
，
由余弦定理可知：，
故选：C
36．B
【详解】试题分析：如图，取中点，连接，因为是中点，则，或其补角就是异面直线所成的角，设正四面体棱长为1，则，，．故选B．
考点：异面直线所成的角．
【名师点睛】求异面直线所成的角的关键是通过平移使其变为相交直线所成角，但平移哪一条直线、平移到什么位置，则依赖于特殊的点的选取，选取特殊点时要尽可能地使它与题设的所有相减条件和解题目标紧密地联系起来．如已知直线上的某一点，特别是线段的中点，几何体的特殊线段．
37．B
【解析】由已知PA=AD，可把四棱锥扩充为正方体，再正方体上作出异面直线与所成的角，并求角的大小.
【详解】因为四棱锥中，底面，，
所以PA=AD，又底面为正方形，所以四棱锥可扩充为正方体，如图示：

连结PE、BE，，则PE∥AC，所以∠EPB（或其补角）为异面直线与所成的角.
而△EPB为正三角形，所以∠EPB=.
故选：.
【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
(3)计算：求该角的值，常利用解三角形；
(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．