2021年高考全国乙卷数学（理）高考真题变式题第11-15题解析版

这是一份2021年高考全国乙卷数学（理）高考真题变式题第11-15题解析版，共29页。试卷主要包含了若椭圆，设，，等内容，欢迎下载使用。

1．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式题1基础
2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
变式题2基础
3．若椭圆：（）满足，则该椭圆的离心率（ ）．
A．B．
C．D．
变式题3巩固
4．焦点在轴上的椭圆的方程为()，则它的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
变式题4巩固
5．已知是椭圆的左焦点，椭圆上一点关于原点的对称点为，若的周长为．则离心率（ ）
A．B．C．D．
变式题5巩固
6．已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，使得过点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式题6巩固
7．在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中､分别为椭圆的左､右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式题7提升
8．已知，分别是椭圆的两个焦点，若在椭圆上存在点满足，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
原题12
9．设，，．则（ ）
A．B．C．D．
变式题1基础
10．已知对数函数的图象经过点与点，，，，则 （ ）
A．B．C．D．
变式题2基础
11．已知函数对任意的满足（其中为函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
变式题3巩固
12．已知且且且，则（ ）
A．B．C．D．
变式题4巩固
13．，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
变式题5巩固
14．已知，，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
变式题6提升
15．已知＝，＝，＝，则（ ）
A．B．C．D．
变式题7提升
16．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
原题13
17．已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．
变式题1基础
18．双曲线的焦距为__________.
变式题2基础
19．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且过点，则双曲线的焦距等于________.
变式题3巩固
20．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C与双曲线有公共的渐近线，且经过点P(﹣2，)，则双曲线C的焦距为_______．
变式题4巩固
21．已知双曲线的两个焦点分别为，若以坐标原点O为圆心，为半径的圆与双曲线C交于点P（点P在第一象限），且，则双曲线C的渐近线方程为_________．
变式题5巩固
22．已知焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上，则______．
变式题6提升
23．已知点为双曲线的右焦点，两点在双曲线上，且关于原点对称，若，设，且，则该双曲线的焦距的取值范围是________.
变式题7提升
24．已知双曲线的一个焦点为，为坐标原点，在双曲线的渐近线上取一点，使得，且的面积为1，则______．
原题14
25．已知向量，若，则__________．
变式题1基础
26．已知向量，，若，则__________．
变式题2巩固
27．已知向量与，若，则实数的值为___________.
变式题3巩固
28．已知向量的夹角为120°，，若，则实数λ=___________.
变式题4巩固
29．已知，，若，则的值是______．
变式题5巩固
30．已知向量，，，若，则______.
变式题6提升
31．已知向量，，，则___________.
原题15
32．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
变式题1基础
33．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，则的面积等于_________．
变式题2基础
34．在中，已知，，三角形面积为，则___________．
变式题3巩固
35．在中，角所对的边分别是，若三角形的面积，则∠C的度数是_______.
变式题4巩固
36．已知的内角所对的边分别为，且，则的面积为___________.
变式题5巩固
37．的内角，，的对边分别为，，.若，，，则的面积为______
变式题6巩固
38．已知△ABC的面积为，，则△ABC的周长等于_______
变式题7提升
39．如图，平面凹四边形，其中，，，，则四边形面积的最小值为___________．
变式题8提升
40．锐角中，内角的对边分别为，若，则的面积的取值范围是________
参考答案：
1．C
【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
2．B
【分析】在中，得出直角边与斜边的关系，再结合椭圆的定义易得离心率．
【详解】由题设知是直角三角形，
，，，
，．
又由椭圆的定义，得，，
故．
故选：B．
3．B
【分析】由题意构建齐次式即可得到结果.
【详解】由题意知，又，
∴
∴，即或（舍），
故选:B．
4．C
【解析】先根据焦点在在轴上，得，再结合，求其范围，即得结果.
【详解】椭圆()焦点在轴上，故，即，
解得，又，，
故，其中对勾函数在上递减，上递增，故，，故，则.
故选：C.
【点睛】求椭圆离心率（或取值范围）常见方法：
（1）直接法：由a，b，c的值或者关系，直接计算离心率；
（2）构建齐次式：利用已知条件和椭圆的几何关系构建关于a，b，c的方程和不等式，利用和转化成关于的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.
5．A
【分析】得出点Q的坐标，可得，再由已知可得，设椭圆的右焦点为M，则由椭圆的性质可得，得， 求得a，然后代入点P的坐标求出b的值，最后即可求得椭圆的离心率．
【详解】解：P与Q关于原点对称，则Q(-2，-1)，
，
又三角形PQF的周长为，
设圆的右焦点为M，则由椭圆的性质可得，
，得，
将点P代入椭园方程可得：，解得，
，
则离心率，
故选A．
【点睛】关键点点睛：根据椭圆性质得得出和是解出本题的关键．本题考查了椭圆的方程以及性质，涉及到椭圆的定义，考查了学生的运算能力，属于中档题．
6．C
【分析】若长轴端点，由椭圆性质：过的两条切线互相垂直可得，结合求椭圆离心率的范围.
【详解】在椭圆的长轴端点处向圆引两条切线，，
若椭圆上存在点，使过的两条切线互相垂直，则只需，即，
∴，得，
∴，又，
∴，即．
故选：C
7．D
【分析】由题意及椭圆的定义可得的值，再由在椭圆上满足的范围，求出,的关系，进而求出离心率的范围即可．
【详解】解：因为，而，所以可得，
因为在椭圆上，所以，
所以，可得，又因为，所以
故选：D．
8．D
【解析】根据平面向量加法的几何意义，结合椭圆的范围、离心率的公式进行求解即可.
【详解】由为的边的中线，可得，
由在椭圆上存在点满足，可得.
当椭圆的焦点在横轴上时，
，可得，即，
则，所以.
当椭圆的焦点在纵轴上时，
，可得，即，
则，所以.
故选：D
【点睛】关键点睛：利用平面向量加法的几何意义得到是解题的关键，椭圆的范围也是一个重要隐含条件.
9．B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以，即，即；
令，则，，
由于，在x>0时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b综上，，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数在（1，3)上单调递增
综上，，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
10．D
【分析】求出对数函数的解析式，可求出的值，再利用中间值法可得出、、三个数的大小关系.
【详解】设（其中且），则，解得，
则，所以，，
所以，，且，即，
，因此，.
故选：D.
11．D
【分析】令，求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可．
【详解】解：令，
故，
故在递增，所以，可得，即，所以D正确；
故选：D．
12．D
【解析】令，利用导数研究其单调性后可得的大小.
【详解】因为，故，同理，
令，则，
当时，，当时，，
故在为减函数，在为增函数，
因为，故，即，而，
故，同理，，，
因为，故，
所以.
故选：D．
【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键．
13．A
【分析】构造函数，应用导数研究其单调性，进而比较，，的大小，若有两个解，则，，构造，利用导数确定，进而得到，即可判断a、c的大小，即可知正确选项.
【详解】令，则，，，
而且，即时单调增，时单调减，又，
∴，.
若有两个解，则，，
即，，
令，则，即在上递增，
∴，即在上，，若即，故，有
∴当时，，故，
综上：.
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小.
14．A
【分析】由题设，，构造利用导数研究单调性可得，再构造有，利用导数研究其单调性即可判断参数的大小关系.
【详解】由题设，，，
令，则且，，
∴当时，即递增；当时，即递减；
∴，即，
对于有且，
∴时，，递增；时，，递减；
∴.
故选：A
15．B
【解析】构造新函数，结合导数可得，进而可得，即可得，通过放缩可证明，即可得解.
【详解】令，
则，
所以单调递减，，所以，
所以，
所以，即；
因为，所以，
又，所以，，所以，
所以；
所以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造新函数对代数式进行合理放缩.
16．C
【分析】观察a,b,c的结构，进而变形为，，，然后通过构造函数，利用导数得出函数的单调性，最后比较出大小.
【详解】由题意，，，，
构造函数，则，
所以函数在上单调递减，所以，即.
故选：C.
【点睛】比较大小通常会用到函数的单调性，本题首先需要观察a,b,c的结构，对式子进行恰当的变化，找到共性，进而构造函数，通过函数的单调性进行解决.
17．4
【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.
【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.
故答案为：4.
【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.
18．6
【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，c，可得焦距2c的值．
【详解】双曲线2x2﹣y2＝6即为1，
可得a，b，c3，
即焦距为2c＝6．
故答案为6．
【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，焦距的求法，注意将双曲线的方程化为标准方程，运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．
19．
【分析】根据题意得出，然后将点的坐标代入双曲线的标准方程，可求出、的值，即可计算出双曲线的焦距.
【详解】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，，
所以，双曲线的标准方程为，
将点的坐标代入双曲线的标准方程得，得，
因此，双曲线的焦距为.
故答案为：.
【点睛】本题考查双曲线焦距的计算，同时也考查了双曲线渐近线方程的求解，要结合题意得出、的值，考查运算求解能力，属于中等题.
20．
【详解】的渐近线方程为
设双曲线的方程为，代入
，解得
则，，
则双曲线的焦距为
21．
【分析】根据双曲线的定义求得，结合余弦定理求得，由此求得，从而求得双曲线的渐近线方程.
【详解】由已知得双曲线C的焦点在y轴上，如图所示，
以坐标原点O为圆心，为半径的圆与双曲线C交于第一象限的点P，可知，又，所以，由双曲线的定义可得，在中，，在中，由余弦定理可得，化简得，所以，所以双曲线C的渐近线方程为.
故答案为：
【点睛】要求双曲线的渐近线，可通过求的值来求解.求解双曲线问题的过程中，要注意结合双曲线的定义来思考.
22．
【分析】根据焦点在轴上的双曲线方程的特征，结合双曲线渐近线方程特征、点关于点对称的性质进行求解即可.
【详解】由题意知，，则双曲线的渐近线方程为，则，得．由于双曲线及其渐近线均关于坐标轴对称，因此只需研究点关于渐近线的对称点即可，设对称点的坐标为，则解得则，解得，从而．
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据焦点在轴上的双曲线方程的特征，结合点对点对称的性质进行求解是解题的关键.
23．
【解析】设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，故，由双曲线定义可得，再求的值域即可.
【详解】如图，
设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，
故.
在中，
由双曲线的定义可得
，
.
故答案为：
【点睛】本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题.
24．2
【分析】由题可得出双曲线的渐近线，求出点坐标，即可根据的面积求出，进而求出.
【详解】不妨设为双曲线的右焦点，为双曲线的半焦距，
由题意知的横坐标为，双曲线的渐近线方程为，
设点在渐近线上，则的纵坐标为，
所以的面积为，得，
由题意知，所以，解得．
故答案为：2.
25．
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
26．
【分析】根据向量垂直的坐标表示运算即可.
【详解】，，
，
解得，
故答案为：
27．
【解析】首先算出的坐标，然后由建立方程求解即可.
【详解】因为，，所以
因为，所以，解得，
故答案为：.
28．
【分析】由，可得，化简后结已知条件可求得答案
【详解】解：因为向量的夹角为120°，，且，
所以，即，
所以，解得，
故答案为：
29．或2
【分析】转化为，即得解
【详解】已知，，若，
则，，，，
，，
，
，或，
故答案为：或2．
【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题
30．
【分析】利用向量的坐标运算求，然后结合已知条件利用向量的数量积的坐标运算公式即可求解.
【详解】因为，，所以，
又因为，，
所以，解得.
故答案为：.
31．
【分析】根据向量垂直得到数量积为零，即可求出参数的值，再根据向量模的公式计算可得；
【详解】∵，， 且，
∴，
所以，，
所以.
故答案为：
【点睛】本题考查向量的数量积及向量模的坐标表示，属于基础题.
32．
【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.
【详解】由题意，，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
33．
【分析】根据余弦定理求出，再由面积公式求解即可.
【详解】由余弦定理可得：，
即，解得或（舍去），
，
故答案为：
34．35##0.6
【分析】在中，由三角形的面积公式即可求解.
【详解】在中，已知，，三角形面积为12，
所以，整理得：，
故答案为：．
35．
【分析】首先由三角形面积公式结合余弦定理，化简求得，再求角.
【详解】由得∴，∴.
故答案为：
36．
【分析】先由余弦定理得，然后结合可求出的值，再利用三角形的面积公式可得结果
【详解】解：因为，
所以由余弦定理得，
因为，
所以，化简得，
所以，
所以的面积为，
故答案为：
37．
【分析】由余弦定理以及三角形面积公式即可求解.
【详解】由余弦定理得，即，解得.
则的面积.
故答案为：.
38．
【分析】先由已知△ABC的面积为求得关于，的式子，再利用余弦定理可得，的式子，从而可求得，进而可求得三角形的周长
【详解】因为△ABC的面积为，，
所以，得，
由余弦定理得，即，
所以，所以,
所以，得，
所以，
即三角形周长为，
故答案为：
39．
【分析】求出，在三角形中，用余弦定理求出，在三角形中，利用余弦定理和不等式知识求出，可得三角形的面积的最大值，从而可得四边形面积的最小值.
【详解】，
在三角形中，由余弦定理得，
在三角形中，由余弦定理得，
所以，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，即三角形的面积的最大值为.
四边形面积的最小值为.
故答案为：
40．
【分析】根据余弦定理，求得角A，进而可得面积S表达式，当时，可得，当时，可得，结合条件，即可得答案.
【详解】由余弦定理得，
因为，所以，
所以，
当时，，
当时，，
因为锐角，所以，
所以.
故答案为：