2021年高考全国乙卷数学（理）高考真题变式题第6-10题解析版

这是一份2021年高考全国乙卷数学（理）高考真题变式题第6-10题解析版，共32页。

A．60种B．120种C．240种D．480种
变式题1基础
2．从1，2，3，4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为（ ）
A．2B．4C．12D．24
变式题2基础
3．《医院分级管理办法》将医院按其功能､任务不同划分为三个等级：一级医院､二级医院､三级医院.某地有9个医院，其中3个一级医院，4个二级医院，2个三级医院，现在要从中抽出4个医院进行药品抽检，则抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法有（ ）
A．81种B．80种C．51种D．41种
变式题3巩固
4．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，则不同的安排方法共有（ ）
A．40种B．30种C．20种D．60种
变式题4巩固
5．为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）种
A．36B．48C．60D．16
变式题5巩固
6．为深入贯彻实施党中央布置的“精准扶贫”计划，某地方党委政府决定从4名男党员干部和3名女党员干部中选取3人参加西部扶贫，若选出的3人中既有男党员干部又有女党员干部，则不同的选取方案共有（ ）
A．60种B．34种C．31种D．30种
变式题6提升
7．现有5种不同颜色要对如图所示的五个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A．420种B．780种C．540种D．480种
原题7
8．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
变式题1基础
9．要得到函数，的图象，只需将函数，的图象（ ）
A．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
B．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
变式题2基础
10．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位
变式题3巩固
11．将曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则（ ）
A．B．C．D．
变式题4巩固
12．将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后向左平移了单位长度，所得函数为（ ）
A．B．
C．D．
变式题5巩固
13．把函数图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个的长度单位，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
变式题6提升
14．将函数的图象经过以下变换后可得函数的图象，其中不正确的是（ ）
A．向左平移B．向右平移
C．向左平移，再作关于轴对称D．向左平移，再作关于轴对称
变式题7提升
15．将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，然后将所得图象向左平移个单位，可得函数的图象，则（ ）
A．2B．0C．D．
原题8
16．在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）
A．B．C．D．
变式题1基础
17．2021年中国人民银行计划发行个贵金属纪念币品种，以满足广大收藏爱好者的需要，其中牛年生肖币是收藏者的首选．为了测算如图所示的直径为的圆形生肖币中牛形图案的面积，进行如下实验，即向该圆形生肖币内随机投掷个点，若恰有个点落在牛形图案上，据此可估算牛形图案的面积是（ ）
A．B．C．D．
变式题2基础
18．在区间任取一个实数，则满足的概率为（ ）
A．B．C．D．
变式题3巩固
19．从区间上任取两个实数，，则满足条件的概率为（ ）
A．B．C．D．
变式题4巩固
20．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形丢一粒种子，则种子落入白色部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
变式题5巩固
21．往正方形内随机放入n个点，恰有m个点落入正方形的内切圆内，则π的近似值为（ ）
A．B．C．D．
变式题6巩固
22．已知实数x，y满足，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
变式题7提升
23．在可行域内任取一点，如果执行如图所示的程序框图，那么输出数对的概率是

A．B．C．D．
变式题8提升
24．小明家订了一份报纸，送报人可能在早上至之间把报纸送到小明家，小明的父亲离开家去工作的时间在早上至之间，则小明父亲在离开家前能看得到报纸的概率为（ ）
A．B．C．D．
原题9
25．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
变式题1基础
26．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为尺.
A．B．C．D．
变式题2基础
27．雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像体和底座两部分组成．如图，在中，，在中，，且米，求像体的高度（ ）（最后结果精确到0.1米，参考数据：，，）
A．4.0米B．4.2米C．4.3米D．4.4米
变式题3巩固
28．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝（ ）
A．150mB．180mC．120mD．160m
变式题4巩固
29．江西南昌的滕王阁，位于南昌沿江路赣江东岸，始建于唐永徽四年（即公元653年），是古代江南唯一的皇家建筑.因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，流芳后世，被誉为“江南三大名楼”之首（另外两大名楼分别为岳阳的岳阳楼与武汉的黄鹤楼）.小张同学为测量滕王阁的高度，选取了与底部水平的直线，将自制测量仪器分别放置于，两处进行测量.如图，测量仪器高m，点与滕王阁顶部平齐，并测得，m，则小张同学测得滕王阁的高度约为（参考数据）（ ）

A．50mB．55.5m
C．57.4mD．60m
变式题5巩固
30．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是
，则河流的宽度BC等于（ ）
A．B．C．D．
变式题6提升
31．如图所示，一座建筑物AB的高为(30－10) m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD．在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为（ ）
A．30 mB．60 m
C．30 mD．40 m
变式题7提升
32．为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
原题10
33．设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
变式题1基础
34．设＜b,函数的图象可能是
A．B．C．D．
变式题2基础
35．函数在处有极值,则的值为
A．B．C．D．
变式题3巩固
36．已函，若在处取得极小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式题4巩固
37．函数在内存在极值点，则( )
A．B． C．或D．或
变式题5巩固
38．已知函数在内恰有个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式题6提升
39．已知函数，若有极值，且与（为的导函数）的所有极值之和不小于，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
参考答案：
1．C
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
2．C
【解析】略
3．C
【分析】分恰有2个一级医院与恰有3个一级医院两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得；
【详解】解：恰有2个一级医院，有种抽法；恰有3个一级医院，有种抽法.所以抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法有（种）.
故选:C.
4．D
【分析】根据题意，分析可得，先取后排的原则，有计算可得答案．
【详解】根据题意，周一至周五5天中选3天，安排甲、乙、丙3位志愿者共有种安排方法，
故选：D．
【点睛】本题考查排列、组合的综合问题，在解决此类问题，一般采用先组合后排列的方法，属于基础题.
5．A
【解析】根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，结合排列数的定义进行求解即可.
【详解】根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，因此有种方式，
所以四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者共有
种方式.
故选：A
【点睛】本题考查了组合与排列的应用，属于基础题.
6．D
【分析】根据题意，分“选出的3人为2男1女”和“选出的3人为1男2女”2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，相加即可得答案．
【详解】解：根据题意，要求选出的3人中既有男党员干部又有女党员干部，分2种情况讨论：
选出的3人为2男1女，有种安排方法，
选出的3人为1男2女，有种安排方法，
则有种选法，
故选：．
7．B
【分析】讨论使用5种，4种，或3种颜色来完成涂色任务，逐一计算并求和即可.
【详解】依题意可知，完成涂色任务可以使用5种，4种，或3种颜色，将区域标号如图.
①若用5种颜色完成涂色，则种方法；
②若用4种颜色完成涂色，颜色有种选法，需要2，4同色，或者3，5同色，或者1，3同色，或者1，4同色，故有种；
③若用3种颜色完成涂色，颜色有种选法，需要2，4同色且3，5同色，或者1，4同色且3，5同色，或者1，3同色且 2，4同色，故有种.
所以不同的着色方法共有种.
故选：B.
8．B
【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
9．C
【分析】根据三角函数图象变换前后的解析式，确定图象变化过程.
【详解】将在横坐标方向上缩短到原来的，即可得，
∴.
故选：C
10．D
【分析】根据函数的图象变换规律，可得结论．
【详解】解：，
故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，
故选：D．
11．D
【解析】由图象变换可得，代入自变量求值即可.
【详解】由题意，得：，
则．
故选：D．
12．A
【解析】根据三角函数的图象变换关系求出函数的解析式即可；
【详解】解：将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到，再将向左平移了单位长度得到
故变换之后的函数解析式为
故选：A
13．C
【分析】从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法即可得到的解析式.
【详解】由已知的函数逆向变换，
第一步：向右平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标缩短到到原来的，纵坐标不变，得到的图象，即为的图象，
所以，
故选：C.
14．D
【解析】利用三角函数平移的知识逐一判断即可.
【详解】函数的图象向左平移得到的是函数的图象，故A正确；
函数的图象向右平移得到的是函数的图象，故B正确；
函数的图象向左平移得到的是函数的图象，
然后再关于轴对称后得到的是的图象，故C正确；
函数的图象向左平移得到的是函数的图象，
然后再关于轴对称后得到的是的图象，故D不正确；
故选：D
【点睛】本题考查的是三角函数图象的变换，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.
15．C
【分析】逆用三角恒等变换，由的图象变换得到，即可得到.
【详解】先将向右移个单位得，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得，故，.
故选：C
16．B
【分析】设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．
【详解】如图所示：
设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为．
设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以．
故选：B.
【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件对应的区域面积，即可顺利解出．
17．B
【分析】求出点落在牛形图案上的频率，从而可得点落在牛形图案上的概率，再由概率等于面积比可求得答案
【详解】设牛形图案的面积为，则由题意可得
，
解得，
故选：B
18．C
【分析】解对数不等式求出满足条件的变量范围，再结合几何概型的长度比即可求得结果.
【详解】解：由题意，在区间上任取一个实数，满足，
所以，
所以所求概率．
故选C．
19．D
【分析】由题意转化为几何概型概率的求解，分别求出全部区域与满足要求的区域的面积，利用几何概型概率公式即可得解.
【详解】设点，
由题意，表示的区域为边长为4的正方形（包含边界），如图所示：
该正方体的面积,
表示以为圆心，半径为1的圆的外部（包含边界），如图阴影部分所示，
阴影部分的面积，
故所求概率.
故选：D.
【点睛】本题考查了几何概型概率公式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，解题的关键是把所求概率转化为面积的比，属于基础题.
20．C
【分析】由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和，从而得出落入黑色部分的概率，再由对立事件得出落入白色部分的概率．
【详解】设小正方形的边长为1，可得黑色平行四边形的底为，高为；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为2，大正方形的边长为2，
所以落入黑色部分，所以落入白色部分的概率为
故选：C．
21．A
【分析】令正方形边长为2，利用几何概型中的面积型列式即可得解.
【详解】令正方形边长为2，其内切圆半径为1，则正方形面积，圆面积为，
由几何概型的面积型得：，解得，
所以π的近似值为.
故选：A
22．A
【分析】作出，的图象，由图象结合几何概型求解.
【详解】作出，的图象，如图，
由图象可知的概率，
故选：A
23．B
【分析】作出条件所表示的正方形区域，和圆，再利用几何概型计算概率，即可得答案.
【详解】如图所示：分别作出条件所表示的正方形区域、圆，
由程序框图的程序得：当输出数对的概率是.
故选：B.
【点睛】本题考查程序框图与几何概型，考查数形结合思想和运算求解能力，属于基础题.
24．B
【分析】设送报人到达时间为，小明父亲离开家的时间为，可以看成是平面中的点，列出关于的不等式组，利用线性规划求出构成的面积，以及小明父亲在离开家前能得到报纸的构成的面积，利用几何概型概率公式求解即可.
【详解】设送报人到达时间为，小明父亲离开家的时间为，可以看成是平面中的点，
试验的全部结果所构成的区域为
这是一个矩形区域，面积
设小明父亲在离开家前能看得到报纸为事件.
则事件所构成的区域为

由几何概型概率公式可得，
∴小明父亲在离开家前能得到报纸的概率是.
故选： B.
25．A
【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】如图所示：
由平面相似可知，，而 ，所以
，而 ，
即＝ ．
故选：A.
【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．
26．B
【详解】
如图，已知，，
∴，解得 ，
∴，解得 .
∴折断后的竹干高为4.55尺
故选B.
27．B
【分析】在和中，利用正切值可求得，进而求得.
【详解】在中，（米），
在中，（米），
（米）.
故选：.
【点睛】本题考查解三角形的实际应用中的高度问题的求解，属于基础题.
28．A
【分析】根据C点的仰角∠CAB＝45°，山高BC＝100 m，可求出AC，正弦定理求出AM，在三角形MAN中即可解出山高.
【详解】由题意∠CAB＝45°，BC＝100 m，，三角形ABC为直角三角形，可得，在中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，则∠AMC＝45°
由正弦定理有：
即
故
在直角三角形中，
可得
故选：
【点睛】解三角形应用题的一般步骤：
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
29．C
【分析】先判断出，解直角三角形求得，由此求得滕王阁的高.
【详解】在中，，则，在中，，则，，故滕王阁的高度为.
故选：C
30．C
【详解】，，，
所以
.
故选C.
31．B
【分析】在中，求得；过作，求得；在中，由正弦定理，求得；再在中，即可求得结果.
【详解】在Rt△ABM中，AM＝＝＝＝20（m）．
过点A作AN⊥CD于点N，如图所示
易知∠MAN＝∠AMB＝15°，所以∠MAC＝30°＋15°＝45°．
又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，所以∠ACM＝30°．
在△AMC中，由正弦定理得＝，
解得MC＝40（m）．
在Rt△CMD中，CD＝40×sin60°＝60（m），
故通信塔CD的高为60 m．
故选：.
【点睛】本题考查利用正余弦定理求高度，属综合基础题.
32．B
【分析】先在中求得，中求得，再在中利用余弦定理求即可.
【详解】依题意，在中，，，则，；
在中，，，则;
又中，，则.
故塔尖之间的距离为.
故选：B.
33．D
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
34．C
【详解】，由得，∴当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负．故选C．
35．C
【分析】根据导数与极值的关系可知，解方程求得结果.
【详解】由题意得：
在处有极值 ，解得：
经检验满足题意，本题正确选项：
【点睛】本题考查导数与极值之间的关系，属于基础题.
36．D
【分析】根据在处取得极小值，对分情况讨论，通过探究的零点得的单调性，从而得到结果．
【详解】因为，所以，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，满足题意；
当时，在上，所以在上单调递减，在上单调递增，满足题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，满足题意；
当时，在上单调递增，不满足题意；
当时，在上单调递增，在上单调递减，不满足题意．故的取值范围为，
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的极值．解题关键是掌握极值的定义．且在（）时，，在时），，才是的极小值点．仅仅有不能得出是极小值点，甚至不能得出是极值点．
37．A
【分析】求函数在内存在极值点的的的取值范围转化为求函数在无极值点时的的取值范围，然后求其补集，即可求解.
【详解】由题意，所求的取值范围为函数在无极值点时的的取值范围在上的补集，
若函数在无极值点，
则或在恒成立，
①当在恒成立时，
即在时恒成立，
不妨令，易知在上单调递减，
故，即；
②当在恒成立时，
即在时恒成立，
故，即
综上所述，函数在无极值点时，的取值范围，其在上的补集为，
故函数在时有极值点时，的取值范围为.
故选:A．
38．D
【分析】利用辅助角公式将函数化为，再根据函数在内恰有个极值点，可得，从而可得出答案.
【详解】解：，
因为，所以，
又因为函数在内恰有个极值点，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
39．B
【分析】由有个不等实根，可得，可得的取值范围，设函数的极值点为，，由根与系数的关系可得，则与的所有极值之和，由单调性可得的范围，即可求解.
【详解】由题意得，
因为有极值，所以有个不等实根，
即，即，
因为，解得．
令，
由得，
设的极值点为，，则，为方程的根，
则，，
因为
，
所以，
令，易得在上单调递减，且，
所以．
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是判断出有个不等实根，，计算
的值，对求导可得的极值，利用函数的单调性解不等式.