2023年高考数学二轮复习重点基础练习：专题十八 考点48 坐标系与参数方程（A卷）

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专题十八 考点48 坐标系与参数方程（A卷）1.已知曲线C的参数方程为(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为.(I)求曲线C的极坐标方程，曲线E的直角坐标方程；(Ⅱ)若曲线与曲线C在第一象限的交点为A，与曲线E在第一象限的交点为B，求.2.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(其中φ为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(I)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(Ⅱ)射线与曲线，分别交于点(均异于极点)，当时，求的最小值.3.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(α为参数，且，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求曲线的极坐标方程；(Ⅱ)设为曲线上的两点，且，求面积的最小值.4.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆的极坐标方程为(a是大于0的常数).在平面直角坐标系中，圆的参数方程为(θ为参数).(I)求圆的直角坐标方程和圆的极坐标方程；(Ⅱ)已知直线与圆，圆交于两点(异于原点)，且两圆外切，试求实数a的值及.5.在平面直角坐标系中，曲线C的方程为.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l经过点，且与极轴所成的角为α.(I)求曲线C与直线l的参数方程；(Ⅱ)设直线l与曲线C交于两点，若，求直线l的普通方程.6.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，.（I）求曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）若经过点P的直线l：（t为参数），与曲线C交于A，B两点，若，求的取值范围.7.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（I）求曲线和的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线上的一点，点Q是曲线上的一点，求最小值及最小时点P的直角坐标.8.已知曲线（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（I）求曲线C的普通方程、直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点，若直线l与曲线C交于A，B两点，求的值.9.直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数）.以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是.（1）求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线与相交于点A，与圆C相交于点B（异于坐标原点O），当时，求的最大值.10.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，把曲线C上各点的横、纵坐标均压缩为原来的，得到曲线.曲线的参数方程为(为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线与的极坐标方程；(2)设点P是曲线上的一点，此时参数，记曲线与y轴正半轴的交点为T，求的面积.
答案以及解析1.答案：(I)；(Ⅱ)解析：(I)由曲线C的参数方程为(φ为参数)得，即，故曲线C的极坐标方程为.由，得，所以曲线E的直角坐标方程为.(Ⅱ)联立曲线与曲线C的极坐标方程得，联立曲线与曲线E的极坐标方程得，所以.2.答案：(I)；(Ⅱ)解析：(I)由题可得曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为.(Ⅱ)曲线的极坐标方程为，所以.又因为，所以.因为，所以，所以当时，有最小值，最小值为.3.答案：(I)(Ⅱ)解析：(I)化简曲线的参数方程得(α为参数，且)，平方相加消去参数α得.，，∴曲线的普通方程为.将代入得.， ∴曲线的极坐标方程.(Ⅱ)依题意设点的极坐标分别为，代入曲线的极坐标方程得，，，∴当时，即时，面积有最小值.4.答案：(I)；(Ⅱ)；解析：(I)由得，将代入上式，得圆的直角坐标方程是.由(θ为参数)得(θ为参数)，两式两边平方并相加可得圆的普通方程是，即.由，得圆的极坐标方程是.(Ⅱ)圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，若圆与圆外切，则，可得，即，则圆的极坐标方程为，即.设两点对应的极径分别为，联立可得；联立可得，则.5.答案：(I)(t为参数)(Ⅱ)或.解析：：(I)由曲线C的普通方程可知曲线C是一个圆心为(0，0)，半径为3的圆，所以圆C的参数方程为(θ为参数).依题意知点P的直角坐标为，故直线l的参数方程为(t为参数).(Ⅱ)将直线l的参数方程(t为参数)代入，得.设点对应的参数分别为，则，则，所以.所以，所以，所以或，所以或，所以直线l的普通方程为或，即或.6.答案：(I)(II)解析：(I)根据曲线C的极坐标方程为，，整理得.故曲线C的直角坐标方程为.(II)将直线l：(t为参数)代入，可得.设A，B两点对应的参数分别为，，由韦达定理得，，则，故可得.因为，所以或，故的取值范围为.7.答案：（I）曲线的直角坐标方程为；曲线的直角坐标方程为（Ⅱ）解析：（I）由方程得，故曲线的直角坐标方程为.由曲线的极坐标方程可，化为直角坐标方程得，即曲线的直角坐标方程为.（Ⅱ）易知是以为圆心，1为半径的圆，则圆心到直线的距离，所以的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径，即，此时直线PQ与直线垂直，且经过圆心，所以直线PQ的方程为，与联立，解得或（舍），所以点P的直角坐标为.8.答案：（I）曲线C的普通方程；直线l的直角坐标方程为（Ⅱ）1解析：（I）将曲线C的参数方程（为参数）消去参数，得曲线C的普通方程为，即.由得，将，代入得直线l的直角坐标方程为.（Ⅱ）由题意得点在直线l上，设直线l的参数方程为（t为参数），代入，得，，所以，，由参数t的几何意义得.9.答案：（1）直线l的极坐标方程为，曲线C的直角坐标方程为（2）解析：（1）将直线l的参数方程（t是参数）消去参数得.将，代入得.将，代入曲线C的极坐标方程得.（2）因为的极坐标方程为，则，，所以.因为，所以，所以当，即时，有最大值，最大值为.10.答案：(1)，；(2).解析：(1)曲线C的参数方程为(为参数)，把曲线C上各点的横、纵坐标均压缩为原来的，则曲线的参数方程为(为参数)，则曲线的普通方程为，故曲线的极坐标方程为.曲线的参数方程为(为参数)，所以，，所以，曲线的普通方程为，即，因此，曲线的极坐标方程为；(2)将代入曲线的参数方程可得点，曲线与y轴正半轴的交点为，故的面积为.