2022-2023学年江苏省南通市崇川区启秀中学九年级（上）第二次月考数学试卷（12月份）(解析版)

2022-2023学年江苏省南通市崇川区启秀中学九年级（上）第二次月考数学试卷（12月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    如图，若，则下列结论中，与相等的是(    )

A.
B.
C.
D.

2.    如图，中，，，，点，分别在，上，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

3.    两个相似三角形对应中线的长分别为和，若较大三角形的面积是，则较小的三角形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    如图，已知点是的边上的一点，根据下列条件，可以得到∽的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.    在中，，那么的值是(    )

A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 不能确定

6.    如图所示，在平面直角坐标系中，，，，以为位似中心，把在点同侧按相似比：放大，放大后的图形记作，则的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

7.    如图，在中，，于点，下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

8.    如图，为跷跷板的中点．支柱与地面垂直，垂足为点，当跷跷板的一端着地时，跷跷板与地面的夹角为，测得，则的长为．(    )

A.  B.  C.  D.

9.    如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角和等腰直角，与、分别交于点、，与相交于点，连接，下列结论错误的是(    )

A. ∽ B. ：：
C.  D.

10. 如图，把两个含角的两个直角三角板按如图所示拼接在一起，点是边的中点，连接交于点，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）

11. 已知，则______．
12. 如图，已知∽，，，，则______．

13. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点，，，均为格点，连接，相交于点设小正方形的边长为，则的长为______．

14. 在中，若，，都是锐角，则的度数是______．
15. 如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时处与灯塔的距离为______ 海里结果保留根号．

16. 如图，为的直径，弦、交于点，若，，则______．

17. 已知中，，，，则的面积等于______．
18. 如图，点在半径为的内，，为上一动点，当取最大值时，的长等于______．

三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
20. 本小题分
    如图，利用标杆测量楼高，点，，在同一直线上，，，垂足分别为，若测得，，，楼高是多少？

21. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
    以原点为位似中心，位似比为：，在轴的左侧，画出放大后的图形；
    的面积为______．

22. 本小题分
    如图，为了测出某塔的高度，在塔前的平地上选择一点，用测角仪测得塔顶的仰角为，在、之间选择一点、、三点在同一直线上用测角仪测得塔顶的仰角为，且间的距离为．
    求点到的距离；
    求塔高结果用根号表示．

23. 本小题分
    如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．
    求证：是的切线；
    求证：；
    点是的中点，交于点，若，求的值．

24. 本小题分
    如图，四边形中，，平分，．
    求证：；
    求证：点是的中点；
    若，，求的长．

25. 本小题分
    我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形，
    写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：______，
    如图，在梯形中，，，垂足为求证：，即四边形是等平方和四边形．
    
    如果将图中的绕点按逆时针方向旋转度后得到图，那么四边形能否成为等平方和四边形？若能，请你证明；若不能，请说明理由．
26. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，四边形为矩形，，，点与点关于轴对称，点，分别是线段，上的动点点不与点，重合，且．
    求的长和点的坐标；
    说明与相似；
    当为等腰三角形时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据得到：．
故选：．
根据，结合平行线分线段成比例定理可知：：，：：，由此可得出结论．
本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
，
，
，，，
．
故选：．
通过，为公共角，证明∽，然后利用相似三角形对应边成比例求出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意两三角形的相似比是：：：，
则面积比为：，
已知大三角形面积为，
则小三角形的面积为．
故选：．
首先根据中线的比求得相似比，然后根据面积的比等于相似比的平方求得答案即可．
本题比较容易，考查相似三角形的性质．利用相似三角形的性质时，要注意相似比的顺序，同时也不能忽视面积比与相似比的关系．相似比是联系周长、面积、对应线段等的媒介，也是相似三角形计算中常用的一个比值．
 

4.【答案】 

【解析】解：当，
又，
∽，
即时，可以得到∽．
故选：．
利用相似三角形的判定利用且夹角相等，进而得出答案．
此题考查了相似三角形的判定．熟记定理是关键，注意数形结合思想的应用．
 

5.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
，
，
的值是：大于，
故选：．
根据锐角三角函数的定义求出与的值，然后进行计算即可判断．
本题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：以为位似中心，把按相似比：放大，放大后的图形记作，
，
点是线段的中点，
，，
的坐标为．
故选：．
根据位似比得到，根据线段中点的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，掌握位似比的概念是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
在中，，，
故A、不符合题意；
在中，，
故C符合题意；
，，
，
在中，，
，
故D不符合题意；
故选：．
根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义即可判断，，再在中，利用锐角三角函数的定义即可判断，最后利用同角的余角相等可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义即可求出，即可判断．
本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：为跷跷板的中点，，
，
在中，，
则，
故选：．
根据正弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握正弦的定义是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：和都是等腰直角三角形，
，，，，
，，
，
，
∽，故选项A不符合题意；
∽，
，
，
∽，
，故选项B不符合题意；
，
点，点，点，点四点共圆，
，，故选项C不符合题意，选项D符合题意，
故选：．
先证明∽，∽，由相似三角形的性质依次判断可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，如图，

设，
，，
，，
点是边的中点，
．
，，
，
．
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
故选：．
连接，设，利用含角的直角三角形的性质和勾股定理在两个直角三角形中用的代数式表示出线段，，再利用直角三角形的性质和的以对角线的判定与性质得到，进而得出，利用平行线的判定与性质和相似三角形的性质得出，最后利用比例的性质即可求得结论．
本题主要考查了含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，比例的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质和相似三角形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
根据比例的性质，由，得，即，即可求出答案．
本题考查了比例的性质，熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
：：，
，
∽，
，
，
．
故答案为：．
先利用比例性质得到：：，再证明∽，然后利用相似比可计算出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
∽，
，
设，则，
，
解得：．
故答案为：．
先根据勾股定理计算的长，再根据∽，对应边成比例，得到，所以设，则，从而求出的长．
本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，都是锐角，
，，

，
故答案为：．
根据特殊锐角三角函数值求出、，再根据三角形内角和定理求出答案即可．
本题考查特殊锐角三角函数值、三角形内角和定理，掌握特殊锐角三角函数值以及三角形内角和定理是正确解答的前提．
 

15.【答案】 

【解析】解：过作于，如图所示：
由题意得：，，海里，
在中，，
海里，
在中，，
海里，
故答案为：．
过点作，在中由锐角三角函数定义求出的长，再在中由锐角三角函数定义求出的长即可．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题以及锐角三角函数定义；熟练掌握锐角三角函数定义，求出的长是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，

，，
∽，
，
设，则，
为的直径，
，
，
，
故答案为：．
连接，利用同弧所对的圆周角相等可得，从而利用两角相等的两个三角形相似可得∽，然后利用相似三角形的性质可得，从而可得设，则，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用勾股定理求出的长，最后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】或 

【解析】解：作交或延长线于点，
如图，当、位于异侧时，

在中，，，
，，
在中，，
，
则，
；
如图，当、在的同侧时，

由知，，，
则，
．
综上，的面积是或，
故答案为或．
作交或延长线于点，分、位于异侧和同侧两种情况，先在中求得、的值，再在中利用勾股定理求得的长，继而就两种情况分别求出的长，根据三角形的面积公式求解可得．
本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理．
 

18.【答案】 

【解析】解：方法：作于，如图：

，，
当最大时，即时，最大，
此时，
方法：如图：

点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆图中小圆，
当与小圆相切时，最大，
此时．
故答案为：．
作于，根据正弦的定义得到，由于，则当最大时，即时，最大，利用勾股定理求出即可．
本题考查了锐角三角函数、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数、勾股定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】将特殊锐角三角函数值代入计算即可；
根据算术平方根的定义，再将特殊锐角三角函数值代入计算即可．
本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．
 

20.【答案】解：，，
，
∽，
，
已知，，，
，
，
答：楼高是． 

【解析】根据平行线的判定得到，然后，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，证得∽是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：

．
故答案为：．
连接并延长，截取，连接并延长，截取，连接并延长，截取，确定出；
根据三角形的面积公式即可得到结论．
此题考查了作图位似变换，画位似图形的一般步骤为：确定位似中心，分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
 

22.【答案】解：过点作于点，
，，
，，
即点到的距离为；

在中，
，
，
，
，
，
则，
在中，，
．
答：塔高为． 

【解析】过点作于点，然后根据，，可求得点到的距离；
先求出的度数，然后求出的长度，然后根据即可求出的高度．
本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形并解直角三角形．
 

23.【答案】证明：，
．
又，，
．
又是的直径，
．
．
即，
是的半径．
是的切线．

证明：，
，
．
又，，
，
．
．

解：连接，，
点是的中点，
，
．
，
．
，
∽．
．
．
又是的直径，，
，．
，
．
． 

【解析】已知在圆上，故只需证明与垂直即可；根据圆周角定理，易得，即；故是的切线；
是直径；故只需证明与半径相等即可；
连接，，由圆周角定理可得，进而可得∽，故B；代入数据可得．
此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用．
 

24.【答案】证明：平分，
，
又，
∽，
，
．

证明：，
，
，
，
，
又，
，，
，
，
，
，
，
即点是的中点．

解：，
，
，且，，
，
，
是直角三角形，
根据勾股定理，得，
，
两直线平行，同旁内角互补，
，
即是直角三角形，
根据勾股定理，得，
，
，
∽，
，
，且，
解得． 

【解析】证明∽即可解决问题．
证明和分别是等腰三角形即可解决问题
利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质解决问题即可．
本题属于四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形及等腰三角形的性质，属于中考常考题型．
 

25.【答案】菱形或正方形 

【解析】解：菱形或正方形；分

证明：，

；；；．
即四边形是等平方和四边形．

解：四边形是等平方和四边形．
证明：原梯形记为，
依题意旋转后得四边形，连接、交于点，

，
∽，
，
，，
，
，
，
又，
∽；

又，
，
由的结论得：．
即四边形是等平方和四边形．
据题中定义，只要邻边相等的平行四边形即符合要求，则菱形或正方形都符合要求．
根据和勾股定理易证得即四边形是等平方和四边形．
作出原梯形，连接、交于，首先证明∽，再证明∽，可得，以下同的证法即得到即四边形是等平方和四边形．
本题考查学生对一个新的定义的理解，涉及到相似三角形的判定及性质、勾股定理的、菱形、正方形的性质等知识点，是一道考查学生综合能力的好题．
 

26.【答案】解：四边形为矩形，
，，，
在中，，，由勾股定理，得
．
．
点与点关于轴对称，
．
，
；

点与点关于轴对称，
，
．
，，
，
，三角形外角性质
．
在与中，
，
∽．

当为等腰三角形时，有以下三种情况：
当时，
∽，
≌
，
，
；
当时，如图所示，过点作于，则点为中点，
．
∽，
，
，
解得，
，
；
当时，则有，
，
，即此时点与点重合，这与已知条件矛盾．
综上所述，当为等腰三角形时，点的坐标为或． 

【解析】根据矩形的性质和勾股定理就可以求出的值，由轴对称的性质就可以求出从而可以求出的坐标；
欲证与相似，只需要证明两个对应角相等即可．如图，在与中，易知，，从而问题解决；
当为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论：
当时，此时与相似比为，则有；
当时，此时过点作于，则点为中点，根据三角函数值可以求出与的关系，再∽的性质就可以求出结论；
当时，点与点重合，这与已知条件矛盾，故此种情况不存在．
本题综合考查了矩形、等腰三角形、直角三角形等平面几何图形在坐标平面内的性质与变换，相似三角形的判定与性质应用是其核心．难点在于第问，当为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论，注意不要漏解．