山西省大同市第一中学校南校2022-2023学年八年级上学期阶段性综合素养评价（四）数学试卷

山西省大同市第一中学校南校2022-2023学年八年级上学期阶段性综合素养评价（四）数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．篆体是我国汉字古代书体之一．下列篆体字“美”，“丽”，“北”，“京”中，不是轴对称图形的为（　　）

A． B． C． D．

2．分式的值为0，则

A．x=－2 B．x=±2 C．x=2 D．x=0

3．若，则m的值为（　　）

A．-8 B．2 C．-2 D．-5

4．下列计算正确的是（ ）

A． B． C． D．

5．下列各式从左到右的变形正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．下列变形中，从左到右不是因式分解的是（    ）．

A． B．

C． D．

7．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（    ）

A． B． C． D．

8．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是完全对称式．下列三个代数式：①（a﹣b）2；②（2a﹣b）（2a+b）；③a（a+b）．其中是完全对称式的是（　　）

A．③ B．①③ C．②③ D．①

9．若a，b为等腰△ABC的两边，且满足|a﹣5|+＝0，则△ABC的周长为（　　）

A．9 B．12 C．15或12 D．9或12

10．已知x+＝3，则下列三个等式：①x2+＝7，②x﹣，③2x2﹣6x＝﹣2中，正确的个数有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

二、填空题

11．分解因式：______．

12．已知点A（m，3）与点B（2，n）关于y轴对称，则mn＝_____．

13．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=8cm，则阴影部分的面积是_____cm2．

14．要使代数式有意义，x的取值范围是__________．

15．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为___．

三、解答题

16．先化简，再求值： ，其中x=-1．

17．解方程：．

18．两位同学将一个二次三项式（其中a、b、c均为常数，且）分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成．

(1)求原多项式的二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值．

(2)将原多项式分解因式．

19．如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形．

（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2；

（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．

20．如图，在中，，，的垂直平分线分别交于点D，E．

(1)求证：是等腰三角形；

(2)若的周长是13，，求的长．

21．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的2倍．如果由甲、乙队先合做20天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．

(1)这项工程的规定时间是多少天？

(2)已知甲队每天的施工费用为6000元，乙队每天的施工费用为3000元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？

22．已知，，为上一点，为上一点，．

(1)如果，，那么__________°．

(2)如果，，那么__________°，__________°．

(3)猜想和之间的关系式，并说明理由．

23．探索研究：已知：和都是等边三角形．

(1)如图1，若点A、C、E在一条直线上时，我们可以得到结论：线段与的数量关系为：__________，线段与所成的锐角度数为__________°；

(2)如图2，当点A、C、E不在一条直线上时，请证明（1）中的结论仍然成立；

参考答案：

1．B

【详解】分析：根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．

详解：A.是轴对称图形，不合题意；

B.不是轴对称图形，符合题意；

C.是轴对称图形，不合题意；

D.是轴对称图形，不合题意；

故选B.

点睛：本题考查的是轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解题的关键.

2．C

【分析】根据分式的值为0，分子等于0，分母不等于0解答．

【详解】根据分式的值为0的条件，要使，

则有，即

解得，．

故选：C．

【点睛】本题考查分式的值为0，分子等于0，分母不等于0，熟记概念是关键．

3．B

【分析】利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应项的系数相等列式求解即可．

【详解】解：∵，

∴．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，恒等原理等，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，恒等的两个代数式对应项系数相等，是求解的关键．

4．C

【分析】利用积的乘方法则、单项式的除法法则、0指数幂的意义，分别计算各个选项，确定出正确答案．

【详解】（ ab4）4=a4b16≠a4b8；（ a2）3÷（a3）2=a6÷a6=1≠0；（-x）6÷（-x3）=x6÷（-x3）=-x3；当x≠0时，x0=1．综上正确的是C．

故选C．

【点睛】本题考查了积的乘方法则、单项式的除法法则、0指数幂的意义，掌握法则是关键．切记非0数的0次幂等于1，0的0次幂没有意义．

5．D

【详解】分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为零的数，分式仍然成立．根据这个性质可得，

A不符合性质，是错误的，不符合题意；

当a=0时，B和C都是错误的，不符合题意；

而+1≥1，

∴D成立，符合题意．

故答案为D

6．B

【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．

【详解】解：A、原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项不符合题意；

B、，原式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故本选项符合题意；

C、，原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项不符合题意；

D、，原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法互为逆运算，要注意区分．

7．C

【分析】根据作图方法可知可用证明得到．

【详解】解：由作图方法可知，

∴，

∴

故选C．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，作与已知角相等的角的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键．

8．D

【分析】根据题目提供的完全对称式的定义,对各小题分析判断即可

【详解】①∵（a﹣b）2=（a﹣b）2，∴（a﹣b）2是完全对称式；

②∵（2a﹣b）（2a+b）=4a2-b2，（2b﹣a）（2b+a）=4b2-a2，∴（2a﹣b）（2a+b）≠（2b﹣a）（2b+a），∴（2a﹣b）（2a+b）不是完全对称式；

③∵a（a+b）=a2+ab，b（b+a）=b2+ab，∴a（a+b）≠b（b+a），∴a（a+b）不是完全对称式．

故选D.

【点睛】本题考查了完全对称式的定义,读懂题目信息是解题的关键.

9．B

【分析】根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据b是腰长和底边长两种情况讨论求解．

【详解】解：根据题意得a-5=0，b-2=0，

解得a=5，b=2，

（1）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、5，

不能组成三角形；

（2）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、5、5，

能组成三角形，

周长为2+5+5=12．

故选B．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．

10．C

【详解】∵，∴，整理得：，故①正确；

=±，故②错误；

方程两边同时除以2x得：，整理得：，故③正确，

故选C．

【点睛】本题主要考查的是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．

11．

【分析】先提公因式3，再利用平方差公式进行二次分解即可．

【详解】解：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．

12．-8

【分析】根据关于y轴对称点的坐标性质得出横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可得出m，n的值，即可得出答案．

【详解】解：∵点A（m，3）与点B（2，n）关于y轴对称，

∴m=-2，n=3．

则mn＝ =-8，

故答案为-8．

【点睛】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的坐标特点，熟练掌握其性质是解题关键．

13．8

【分析】根据含30度角的直角三角形的性质求出AC的长，然后证明∠AFC＝45°，得到CF的长，再利用三角形面积公式计算即可．

【详解】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∠E＝90°，AB＝8cm，

∴AC＝4cm，BC∥ED，

∴∠AFC＝∠D＝45°，

∴AC＝CF＝4cm，

∴阴影部分的面积＝×4×4＝8（cm2），

故答案为：8．

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是求出AC＝CF＝4cm．

14．且

【分析】根据二次根式有意义的条件可得，根据分式有意义的条件可得，再解不等式即可．

【详解】解：由题意得：且，

解得：且，

故答案为：且．

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．牢记分式、二次根式成立的条件是解题的关键．

15．45°

【分析】根据勾股定理得到AB，BC，AC的长度，再判断△ABC是等腰直角三角形，进而得出结论．

【详解】解：如图，连接AC．

由题意，AC＝ ，BC＝，AB＝，

∴AC＝BC，AB2＝AC2+BC2，

∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝∠CAB＝45°．

故答案为：45°．

【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．

16．，．

【分析】根据分式的混合运算法则进行化简，再代入条件计算即可．

【详解】原式=

=

=

当x=-1时，原式===．

【点睛】本题考查分式的化简求值问题，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．

17．x=﹣3.

【详解】试题分析：首先去掉分母，观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解.

试题解析：方程两边同乘以，得，

解得.

经检验，是原方程的根.

∴原方程的解为.

考点：解分式方程.

18．(1)，，

(2)

【分析】（1）根据题意分别进行计算即可；

（2）再根据十字相乘法进行因式分解即可．

【详解】（1）∵，而一位同学因看错了一次项系数而分解成，

∴，，

又∵，而另一位同学因看错了常数项而分解成，

∴，，

∴，，．

（2）原多项式为，

所以．

【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法、完全平方公式是正确解答的前提．

19．解：（1）.

（2）.

【详解】解：（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 

∴． 

S2=（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）； 

（2）根据题意得： 

（a+b）（a-b）= ．

20．(1)见解析

(2)

【分析】（1）先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据线段垂直平分线的性质得到，则，即可利用三角形外角的性质推出，由此即可证明结论；

（2）根据三角形周长公式得到，由得到，再由已知条件即可得到答案．

【详解】（1）证明：∵，，

∴．            

∵是的垂直平分线，

∴，            

∴，            

∴，          

∴，

∴，

∴是等腰三角形；

（2）解：∵的周长是13，

∴，       

∵，

∴，即，        

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．

21．(1)这项工程的规定时间是35天

(2)该工程的费用为210000元

【分析】（1）设这项工程的规定时间是天，根据题意列出方程，求解即可；

（2）先计算出甲乙两队合作的天数，再计算费用即可．

【详解】（1）解：设这项工程的规定时间是天，

根据题意得：．

解得：．

经检验是原分式方程的解．

答：这项工程的规定时间是35天．

（2）解：该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：（天），

则该工程施工费用是：（元）．

答：该工程的费用为210000元．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．

22．(1)10

(2)40，20

(3)猜想：．理由见解析

【分析】（1）先求出，再利用等腰三角形的性质求出，，根据三角形的外角性质求出，减去，即可得出结论；

（2）先利用等腰三角形的性质求出，进而求出，即可得出结论；

（3）利用等腰三角形的性质和三角形外角和定理即可得出结论．

【详解】（1）解：，，

，

，

，

，，

．

，，

，

．

故答案为：10；

（2）解：，，

，

，，

，

，

，

，

故答案为：40，20；

（3）猜想：．理由如下：

设，，

，，

，．

，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了等腰三角形的等边对等角的性质，三角形的内角和为的性质以及三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．

23．(1)相等，60

(2)见解析

【分析】（1）根据等边三角形的性质证明，，证明通过三角形内角和定理求出线段与所成的锐角度数．

（2）根据和都是等边三角形的性质证明≌（SAS），得到，，再通过三角形内角和即可证得．

【详解】（1）解：∵，

∴，

在和中

∴

∴，，

∵

∴，

∴，

∴线段与所成的锐角度数为．

（2）解：如图2，

∵和都是等边三角形，

∴，

，

∴，

即，

在和中，，

∴≌（SAS），

∴，，

∴．

【点睛】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟悉等边三角形的性质和三角形内角和定理．