河南省商丘市永城市实验中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

河南省商丘市永城市实验中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若点是反比例函数图象上一点，则此函数图象一定经过点（    ）

A． B． C． D．

2．萌萌将如图所示的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，所拼成的多边形中为中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

3．在如图所示的人眼成像的示意图中，可能没有蕴含的初中数学知识是（    ）

A．位似图形 B．相似三角形的判定 C．旋转 D．平行线的性质

4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（    ）

A． B．1 C．2 D．3

5．如图，AB是的直径，过点A作的切线，连接，与交于点D，E是上一点，连接．若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

6．如图，在矩形中，M是边的中点，N为线段与的交点，则（    ）

A． B． C． D．

7．为庆祝党的二十大胜利召开，某学校举行作文比赛，题目有“伟大的中国共产党”“科技托起强国梦”“家乡的新变化”“时代赋予我们的使命”（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个题目）．比赛时，将A，B，C，D这四个字母分别写在4张无差别不透明的卡片的正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小青先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由小云从中随机抽取一张卡片，进行比赛．则小青和小云抽中不同题目的概率为（    ）

A． B． C． D．

8．在中，，以点A为顶点作三角形（阴影部分），使这个三角形与相似，且相似比为，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是（    ）

A． B． C． D．

9．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象（    ）

A．经过第一、二、三、四象限 B．仅经过第一、二、四象限

C．仅经过第三、四象限 D．仅经过第一、二象限

10．如图，直线与坐标轴分别相交于A，B两点，过A，B两点作矩形，，双曲线在第一象限经过C，D两点，则k的值是（    ）

A．6 B． C． D．27

二、填空题

11．如图，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是．如果A，B，C三个面分别向下放在地上，地面所受压强分别为，，，压强的计算公式为，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则，，的大小关系为______（用小于号连接）．

12．如图，与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，若点的坐标为，则点的坐标为______．

13．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（），若线段的长为，则BP的长为______．

14．已知二次函数，当时，函数y的最小值为，则m的值为______．

15．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D在线段上，以点D为圆心，为半径作，且与的一条直角边和斜边相切，则x的值为______.

三、解答题

16．（1）如图，，若，，求的长．

（2）下面是某同学解方程的部分运算过程：

①该同学的解答从第______步开始出错；

②请写出正确的解答过程．

17．如图，点A在反比例函数的图象上，且点A的横坐标为6，作垂直于x轴，垂足为B，连接，．

(1)求的长．

(2)求k的值．

18．如图，，与交于点E，且．

(1)求的长．

(2)求证：．

19．如图，在平面直角坐标系中，，轴，，双曲线经过点B，将绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D在x轴的正半轴上．若的对应线段恰好经过点O．

(1)求双曲线的解析式．

(2)小彬通过观察图形得出一个结论：点C在双曲线上．请你证明这个结论的正确性．

20．如图，四边形内接于，是直径，D是的中点．

(1)求证：．

(2)连接，若，求的长．

21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点A的坐标为，点B的坐标为．

(1)求反比例函数与一次函数的解析式．

(2)结合图象，请直接写出不等式的解集．

(3)在y轴上是否存在一点P，使得与相似，且点P不与原点O重合？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

22．小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为15元，该款“中国结”的批发单价y（元）与一次性批发量x（x为正整数）（件）之间满足如图所示的函数关系．

(1)当时，求y与x的函数关系式．

(2)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付7280元，求此次批发量．

(3)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”x（）件，小黄获得的利润为w元，当x为何值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少元？

23．【形成概念】

在一个三角形中，如果一个角是另一个角的两倍，我们就把这种三角形叫做倍角三角形．

【特例感知】

(1)请举出一个你熟悉的倍角三角形，并写出此三角形的三边之比．

(2)如图，在中，，，，的对边分别记作a，b，c，试探究三边的等量关系．

【问题解决】

(3)若有一个倍角三角形的两边长分别为3，4，直接写出此三角形的第三边长．

参考答案：

1．D

【分析】将点代入，求出k的值，再根据对各项进行逐一检验即可．

【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，

∴，

A．，不符合题意；

B．，不符合题意；

C．，不符合题意；

D．，符合题意；

∴只有点在反比例函数图象上．

故选：D．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征.只要点在函数的图象上，则点的坐标一定满足函数的解析式．反之，只要点的坐标满足函数解析式，则点就一定在函数的图象上．

2．B

【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．

【详解】A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意.

故选：B．

【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分能够完全重合．

3．C

【分析】根据位似图形，相似三角形的判定，旋转的概念，平行线的性质逐一判断即可得到答案．

【详解】解：两棵树是相似图形，而且对应点的连线相交一点，对应边互相平行，

这两个图形是位似图形，

本题蕴含的初中数学知识有位似图形，相似三角形的判定，平行线的性质，

故选C．

【点睛】本题考查了位似图形，相似三角形的判定，旋转的概念，平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键．

4．A

【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围，对照四个选项即可得出结论．

【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

，

解得：，故A正确．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．

5．A

【分析】根据切线与过切点的直径，可得，为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余可求，利用圆周角定理即可求解．

【详解】解：∵是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线，

∴，

∴为直角三角形，

∴，

∴，

∴．

故选A．

【点睛】本题考查切线的性质，直角三角形性质，圆周角性质，掌握切线的性质，直角三角形性质，圆周角定理是解题关键．

6．D

【分析】根据矩形性质得到，，再根据M是边的中点，得到，证明，得到，最后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案．

【详解】解：四边形是矩形，

，，

是边的中点，

，

，

，

，

，

故选D．

【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．

7．C

【分析】利用列表法或树状图，求出所有可能的结果数及两人抽中不同题目的结果数，即可求得概率．

【详解】列表如下：

由上表知，所有可能的结果数有16种，其中两人抽中不同题目的结果数有12种，则小青和小云抽中不同题目的概率为．

故选：C．

【点睛】本题考查了用列表法或树状图求事件的概率，关键是根据所列的表或所画的树状图得到所有可能的结果数及其中事件发生的结果数．

8．D

【分析】根据相似三角形的性质逐一判断即可．

【详解】A、，则，此选项是符合要求的作图，故不符合题意；

B、，则，此选项是符合要求的作图，故不符合题意；

C、，则，此选项是符合要求的作图，故不符合题意；

D、，由勾股定理得：，则，此选项是不符合要求的作图，故符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相似三角形的相似比等于对应边的比是关键．

9．A

【分析】由图可知，反比例函数位于二、四象限，则根据反比例函数的性质可知，再结合二次函数的图象和性质即可作答．

【详解】解：由图可知，反比例函数位于二、四象限，

∴，

∴，开口向下，与y轴的交点为(0,2),

∴经过一、二、三、四象限．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质以及二次函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数和二次函数的图象和性质是解题的关键．

10．B

【分析】过点D作x轴的垂线，垂足为E，由条件易得是等腰直角三角形，由进而可求得点D的坐标，则可求得k的值．

【详解】解：过点D作x轴的垂线，垂足为E，如图，

对于，令，则；令，则；

，

，

四边形是矩形，

，

，

，

，

，，

，

由勾股定理得：，

，

；

点在双曲线上，

；

故选：B．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，求反比例函数的比例系数，直线与坐标轴的交点，矩形的性质等知识，其中求出点D的坐标是关键．

11．

【分析】根据这块砖的重量不变可得压力F的大小不变，且，再根据反比例函数的性质（增减性）即可得到答案．

【详解】解：这块砖的重量不变，

压力F的大小都不变，且，

，

随S的增大而减小，

A，B，C三个面的面积比是，

，，，的大小关系是：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．

12．

【分析】根据位似变换的性质解答即可．

【详解】∵与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，点的坐标为，

∴点的坐标为，

∴点的坐标为．

故答案为：

【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或者，也考查了位似的性质．

13．

【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答．

【详解】解：∵点P是的黄金分割点（），线段的长为，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了黄金分割的比例线段，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．

14．##

【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到m的值，本题得以解决．

【详解】解：，

∴该函数的对称轴是直线，

当时，该函数取得最大值，该函数图象开口向下，

令，

解得或

∵当时，此函数的最小值为，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

15．或

【分析】分两种情况考虑：与直角边、斜边都相切；与直角边、斜边都相切；利用角平分线的判定定理、勾股定理及相似三角形的性质即可完成求解．

【详解】如图，与直角边、斜边都相切时，则是的角平分线，

过点C作于点F，则，

，

，

，

由题意得：，，，

，

由勾股定理得：，

，

由勾股定理得：，

即，

解得：；

如图，与直角边、斜边都相切时，则点D在的角平分线，

连接并延长交于点G，过G作于点H，过D作于点E，

是的角平分线，，

，

，

，

，

，

，

由勾股定理得：，

即：，

解得：，

，

即，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

；

综上，x的取值为或．

故答案为：或．

【点睛】本题考查了切线的性质，角平分线的判定定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，注意分类讨论，构造适当的辅助线是解题的关键．

16．（1）10，（2）①四，见解析

【分析】（1）由平行线分线段成比例定理即可求得；

（2）①逐步检查，即可找到错误的地方，从而完成解答；

②按照配方法的步骤进行即可．

【详解】（1）解：，

，

，

，

；

（2）解：①检查知，第四步开始出错，

故答案为：四；

②移项，得，

配方，得，

即，

两边开平方，得，

解得：，，

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，配方法解一元二次方程等知识，掌握这两个知识是关键．

17．(1)

(2)

【分析】（1）由点A的横坐标及的面积可求得的长；

（2）由反比例函数比例系数的几何意义即可求得k的值．

【详解】（1）解：点A的横坐标为6，

，

，

，

；

（2）解：，

，

，

由题意知，反比例函数的图象在第四象限，

．

【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数比例系数k的几何意义，熟悉这些知识是解题的关键．

18．(1)18

(2)见解析

【分析】（1）由可得，由相似三角形的性质即可求得结果；

（2）由，且公共，即可证明．

【详解】（1）解：，

，

，

，

，

即的长为18．

（2）证明：，，

，且公共，

．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是根据题目灵活选取相似三角形的判定方法．

19．(1)

(2)见解析

【分析】（1）根据平行线的性质得出，再由旋转的性质及等边三角形的判定得出是等边三角形，，利用等边三角形的性质及勾股定理确定，代入解析式求解即可确定函数解析式；

（2）根据三角形内角和定理得出，，再由旋转的性质确定，确定相应k的值相等，即可证明

【详解】（1）解：∵轴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴是等边三角形，

∴，，

过点B作轴，

∴，

∴，

∴；

∵双曲线经过点B，

∴．

∴双曲线的解析式为．

（2）∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴点C在双曲线上．

【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，结合图象，熟练运用反比例函数的基本性质是解题关键．

20．(1)见解析

(2)

【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角，垂径定理即可证得结论；

（2）连接，证明，由相似三角形的性质、勾股定理即可求得结果．

【详解】（1）证明：是直径，

，

是的中点，

，

；

（2）解：连接，如图，

，

，

是的中点，

，，

，

，

，

，

即，

是直径，

，

由勾股定理得：，

．

【点睛】本题是圆的简单综合，考查了直径所对的圆周角是直角，同弧（等弧）所对的圆周角相等，垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，题目虽然容易，关键是能够灵活运用这些知识．

21．(1)；；

(2)或；

(3)在y轴上存在一点P，使得与相似，

【分析】（1）把A坐标代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；把B坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出B坐标，由A与B坐标，利用待定系数法确定出直线AB解析式即可；

（2）根据题意得出不等式的解集即为直线在反比例函数下面的部分，结合图象即可得出结果；

（3）过点C作，交y轴于点P，根据直线解析式确定出C与D坐标，得到的长，由，得比例求出的长，由求出的长，即可确定出P坐标．

【详解】（1）解：把A代入反比例解析式得：，即，

则反比例解析式为；

∵点B的坐标为，

∴，

解得：，

∴，

把A与B坐标代入一次函数解析式得：，

解得：，

∴一次函数的解析式为；

（2）解：由（1）得A，，

∵，即为直线在反比例函数下面的部分，

∴或；

（3）解： P与O不重合，在y轴上存在一点P，使得与相似，理由为：过点C作，交y轴于点P，如图所示，

∵C、D两点在直线上，

当时，，当时，，

∴C、D的坐标分别为，，

∴，，，

∵，

∴=，即，

解得：，

∴，

则点P的坐标为．

综上所示，P的坐标为．

【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例解析式与一次函数解析式，相似三角形的性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

22．(1)，其中

(2)280件

(3)当时，小黄获得的利润最大，最大利润是3125元

【分析】（1）由待定系数法即可求解；

（2）首先可判断出购买的数量小于400而大于200，则由数量单价=付款额，列出关于x的一元二次方程即可求解；

（3）分及两种情况分别计算所获的最大利润，再比较即可．

【详解】（1）解：由图知，当时，线段过点及，

设过这两点的线段解析式为：，

则有：，

解得：，

即，其中；

（2）解：由图知，当x=200时，所付款为：（元），当x=400时，所付款为：（元），而，则购买数量位于200与400之间；

由题意得：，

即，

解得：，（舍去），

即此次批发量为280件；

（3）解：当时，

即，

当时，w有最大值，且最大值为3125；

当时，批发价固定，批发量越大，则利润越大，则当时，利润最大，且最大利润为：（元）

由于，

所以当时，小黄获得的利润最大，最大利润是3125元．

【点睛】本题是函数与方程的综合，考查了待定系数法求一次函数的解析式，解一元二次方程，二次函数的图象与性质等知识，正确理解题意，准确列出方程或函数关系式是关键，注意数形结合．

23．(1)见解析

(2)

(3)第三边长可为或或或

【分析】（1）直接根据“倍角三角形”求解即可；

（2）构造相似三角形来证明；延长至D，是得；那么，再加上公共角，即可证得，由此得到所求的结论；

（3）分6种情况根据（2）的结论直接计算即可．

【详解】（1）解：在中， ，，如图，

设，则，

由勾股定理得：

∴．

在中， ，，如图，

∴

设，则，

由勾股定理得：

∴．

（2）延长至点D，使，连接，

∴为等腰三角形

∴，，

∴

在和中

∵

∴，

∴，

∴，即

∴，

（3）由大边对大角，小边对小角可知，

∵，

∴，

又∵三角形两边之和大于第三边

∴第三边小于7

由（2）结论，

①当，时，，解得(舍去)

②当，时，，

解得或（舍），

∵，

∴成立；

③当时，，

解得：；

∵，

∴成立；

④当时，，

解得或 (舍去)

∵，

∴成立；

 ⑤当时，，

解得或，

∵，

∴成立；

 ⑥当时，，

解得或(舍去) ，

∵，

∴成立；

∴第三边长可为或或或．

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质得出（2）的结论是解本题的关键，要注意的是（3）题的情况较多，一定要分类讨论，不要漏解．