河南省漯河市源汇区实验中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

河南省漯河市源汇区实验中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如图，索玛立方块是由丹麦数学家皮亚特·海恩发明的，它是由7个不规则的积木单元，拼成一个的立方体，有400多种拼法，则下列四个积木单元中，俯视图面积最大的是（    ）

A． B． C． D．

2．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（　　）

A． B． C． D．

3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　）

A． B． C． D．

4．在Rt△ABC中，，若，，则的值为（　　）

A． B． C． D．

5．如图，已知，，，那么的长等于（　　）

A．2 B． C．4 D．

6．如图，中，于D，一定能确定为直角三角形的条件的个数是（　　）

①，②，③，④，⑤．

A．1 B．2 C．3 D．4

7．如图，在平行四边形中，点E在边上，连接，交对角线于点F，如果，，那么的值为（　　）

A．2 B． C．3 D．4

8．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，点A，B，E在x轴上，若，则点G的坐标为（　　）

A． B． C． D．

9．如图，已知点A，B分别在反比例函数，的图象上，且，，则k的值为（　　）

A． B． C．12 D．

10．如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，将沿折叠，点B落在点F处，连接，则（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

11．若且，则的值为___________．

12．已知反比例函数，当自变量时，函数值y的取值范围是_______．

13．在中，若，，都是锐角，则是___________三角形．

14．如图，点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线AB交x轴于点C，若，四边形AMNB的面积是3，则k的值为___________．

15．在中，，，点D，E是线段上的两个动点（不与A，B，C重合）沿翻折使得点A的对应点F恰好落在直线上，当与的一条边垂直的时候，线段的长为___________．

三、解答题

16．计算

(1)；

(2)．

17．如图是由9个正方体堆成的几何体，画出这一几何体的三视图．

18．已知：反比例函数的图象过点．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)若点在该函数图象上，求m的值．

19．如图，中，，是锐角，且，，，求的面积．

20．近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱，灯臂，灯罩，，CD、DE分别可以绕点C、D上下调节一定的角度．经使用发现：当，且时，台灯光线最佳．求此时点D到桌面AB的距离．（精确到0.1cm，参考数值：，，）

21．如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线相交于点P，轴于点C，且，点A的坐标为．

(1)求一次函数的解析式；

(2)求双曲线的解析式；

(3)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的横坐标．

22．如图，在矩形中对角线、相交于点F，延长到点E，使得四边形是一个平行四边形，平行四边形的对角线分别交、于点G、点H．

(1)证明：；

(2)若，，则线段的长度．

23．如图①，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，交于点E，则加工成的正方形零件的边长为多少？

小颖解得此题的答案为，小颖善于反思，她又提出了如下的问题：

(1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形由两个并排放置的正方形组成．如图②，此时，这个矩形零件的相邻两边长又分别是多少？

(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图③，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值以及这个矩形面积达到最大值时矩形零件的相邻两边长又分别是多少？

参考答案及解析

1．D

【分析】根据俯视图中正方形的个数作出判断即可．

【详解】解：A、B、C三个选项中俯视图都是由3个小正方形组成，D选项俯视图中有4个小正方形组成，因此俯视图面积最大的是D选项中的图形，故D正确．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了几何体的俯视图，解题的关键是分别判断出四个选项俯视图中正方形的个数．

2．B

【分析】根据反比例函数定义：形如的函数是反比例函数，即可得到答案．

【详解】解：A、当时，不是反比例函数，故本选项不符合题意；

B、由可得是反比例函数，故本选项符合题意；

C、不是反比例函数，故本选项不符合题意；

D、不是反比例函数，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟记正比例函数，反比例函数以及一次函数、二次函数的定义是解题的关键，是基础题，难度不大．

3．A

【分析】根据a，b的取值分类讨论即可．

【详解】解：若a＜0，b＜0，

则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故A选项符合题意；

若a＜0，b＞0，

则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数（ab≠0）位于二、四象限，故B选项不符合题意；

若a＞0，b＞0，

则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故C选项不符合题意；

若a＞0，b＜0，

则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数（ab≠0）位于二、四象限，故D选项不符合题意．

故选：A．

【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的图像及性质，掌握系数a，b与反比例函数和一次函数的图像的关系是解决此题的关键．

4．B

【分析】先根据勾股定理求出得长，再根据锐角三角函数正弦的定义解答即可．

【详解】如图，

根据勾股定理得，，

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键．

5．B

【分析】根据平行线分线段成比例的性质，求解即可．

【详解】解：∵

∴，即

解得

故选：B

【点睛】此题考查了平行线分线段成比例的性质，解题的关键是利用这一性质正确列出式子．

6．B

【分析】根据直角三角形两锐角互余即可判断①③⑤，根据三角形相似即可判断②④．

【详解】解：由题意可得，

∵，

∴ ，，

当时，

，故①符合题意；

当时，，故③不符合题意；

当时，，

，可得，即可得，故②符合题意；

当时，根据三角形相似无法得到，故④不符合题意；

当，

∴，中最大的角等于，不是90°．，故⑤不符合题意．

综上所述，一定能确定为直角三角形的条件的有①②，共2个．

故选：B．

【点睛】本题考查三角形相似性质与判定，直角三角形两锐角互余，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

7．B

【分析】根据三角形面积的关系推出，再根据平行四边形的性质，从而推出，进而利用相似三角形的性质求解即可．

【详解】解：设中边上的高为，

则，，

，

，

平行四边形中，

∴

，

,即，解得，

，

，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识点，解题的关键是结合图形由三角形面积的关系推出．

8．A

【分析】由题意可得出，再利用位似图形的性质结合相似比得出的长，进而得出的长，从而可得的长，即可得出答案．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，且，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴点G的坐标为．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，利用相似的性质正确得出两正方形的边长是解题关键．

9．D

【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，则，根据相似三角形面积比等于相似比的平方及反比例函数k的几何意义可求解问题．

【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：

，

，

，

，

，

∴，

∵，

∴，

∵点A在反比例函数上，

∴由反比例函数k的几何意义可知，

∴，

∴，

∵反比例函数在第四象限，

∴，

故选D．

【点睛】本题主要考查反比例函数系数的几何意义及相似三角形的性质与判定，熟知反比例函数系数的几何意义是解题的关键．

10．D

【分析】过点E作于点H，由折叠的性质得，，由点E是的中点，得到，得到是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到，可证得，可求得，，据此即可求得．

【详解】解：过点E作于点H，

∴，

由折叠的性质得：，，

∵点E是的中点，

∴，

∴，

∴，

∵

∴，

在矩形中，∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

解得，，

∴，

故选：D

【点睛】本题考查了图形的折叠问题，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．

11．##0.6

【分析】根据题意可得，再代入，即可求解．

【详解】解：∵，

∴，

∴

．

故答案为：

【点睛】本题考查比例的基本性质，能够熟练掌握整体代入思想是解决本题的关键．

12．##

【分析】根据反比例函数的性质得图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，而当时，，所以当时，．

【详解】解：∵反比例函数的解析式为，，

∴图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，

时，，

∴当时，．

故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式．

13．等腰

【分析】根据绝对值和平方的非负性可得，，，求得，，即可求解．

【详解】解：由可得

，

即，，

解得，，则

则为等腰三角形，

故答案为：等腰

【点睛】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．

14．

【分析】根据三角形面积公式得到，，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后利用去绝对值求解．

【详解】解：∵点A、B在反比例函数y的图象上，

∴，

∵四边形的面积是3，

∵反比例函数的图象在第二四象限，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．

15．或

【分析】设，则，分两种情况讨论：，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到比例式，进而得出的长．

【详解】∵中，，，

∴，

设，则，

①如图，当时，，

∴，

∴，

∴，即 ，

解得；

②如图，当时，，而，

∴，

∴，即，

解得；

综上所述，线段的长为或，

故答案为：或．

【点睛】考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是依据相似三角形的对应边成比例列比例式求解．

16．(1)2

(2)

【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再按照实数混合运算法则进行计算即可；

（2）先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再按照实数混合运算法则进行计算即可．

【详解】（1）解：

；

（2）

．

【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质．

17．见解析

【分析】根据三视图的作法作图即可．

【详解】解：如图所示．

【点睛】本题考查三视图的作法，熟练掌握三视图的作法是解题的关键．

18．(1)

(2)4

【分析】（1）将点代入求解即可；

（2）将点代入（1）求出的表达式中即可求出的值．

【详解】（1）∵反比例函数的图象经过，

∴将代入，得，

所以反比例函数解析式为；

（2）∵点在这个函数图像上，

∴把代入得，

所以的值为4．

【点睛】此题考查了反比例函数图像上点的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的性质．

19．132

【分析】根据已知得该三角形为直角三角形，利用三角函数公式求出各边的值，再利用三角形的面积公式求解．

【详解】过点C作

如图：

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了解直角三角形，解此题的关键是进行合理的推断得出三角形为直角三角形．

20．

【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数，即可得到的长，再根据，即可求得的长，从而可以解答本题．

【详解】解：过点D作，垂足为G，过点C作，垂足为F，如图所示，

∵，

∴，

∴四边形为矩形，

∴，，

又∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

答：点D到桌面AB的距离约为．

【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握作出适当的辅助线构建直角三角形是解题的关键．

21．(1)

(2)

(3)或

【分析】（1）把A坐标代入直线解析式求出a的值，确定出直线解析式．

（2）把代入直线解析式求出x的值，确定出P坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出双曲线解析式；

（3）设，代入反比例解析式得到，分两种情况考虑：当时；当，由相似得比例求出m的值，进而确定出n的值，即可得出Q坐标．

【详解】（1）解：把代入中，得，

∴，

（2）∵，

∴把代入中，

得，

即，

把代入中，

得，

则双曲线解析式为；

（3）如图，轴于点H，连接；设，

∵在双曲线上，

∴，

∵点B在上，

∴．

当时，

可得，即，

解得或（舍去），

∴；

当时，

可得，即，

解得或（舍），

∴，

综上所述，或．

【点睛】此题考查一次函数与反比例函数综合，涉及的知识有：相似三角形的性质，待定系数法确定直线解析式，待定系数法确定反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

22．(1)见详解．

(2)．

【分析】（1）首先利用矩形和平行四边形平行的性质得出和，然后利用相似三角形对应边成比例，即可得证；

（2）利用平行四边形对角线的性质以及勾股定理和相似三角形的性质进行等量转换，即可得解．

【详解】（1）证明：∵是矩形，且，

∴．

∴．

又∵是平行四边形，且

∴，

∴．

∴．

∴．

（2）∵四边形为平行四边形，，相交点，

∴，，

∴在直角三角形中，，

∴，，

又∵，

∴．

∴

∴．

【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题．

23．(1)，

(2)这个矩形面积的最大值为15，此时矩形零件的相邻两边长分别是3和5

【分析】（1）设，则，根据平行得出，根据线段的比值得出y的值，然后得出边长；

（2）设，矩形面积为S ，则，根据相似三角形的性质，可得，然后根据矩形的面积求出S与a的函数关系式，再根据二次函数的性质得出最大值，即可求解．

【详解】（1）解：设，则，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，解得，

∴，，

即这个矩形零件的相邻两边长又分别是，；

（2）解：设，矩形面积为S ，则，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，解得：，

∴，

∵，

∴当时，S有最大值，最大值为15，

此时，

即这个矩形面积的最大值为15，此时矩形零件的相邻两边长分别是3和5．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的实际应用，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，根据题意，列出函数关系式是解题的关键．