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2022年中考数学分类汇编22讲专题09 二次函数
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这是一份2022年中考数学分类汇编22讲专题09 二次函数，文件包含专题09二次函数-老师版docx、专题09二次函数-学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共110页， 欢迎下载使用。
专题09 二次函数
一．选择题
1．（2022·陕西）已知二次函数的自变量对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将抛物线配成顶点式，求出对称轴为，再求出抛物线与x轴的两个交点坐标为和，根据开口向上即可判断．
【详解】解：抛物线，
∴对称轴，顶点坐标为，
当时，，
解得或，
∴抛物线与轴的两个交点坐标为：，，
∴当，，时，，故选：．
【点睛】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．
2．（2022·山东潍坊）抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c的值．
【详解】解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，
∴x2+x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=1-4c=0，
解得：c=．故选：B．
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键．
3．（2022·湖南郴州）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，是大值是5 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．
【详解】解：对于y=（x-1）2+5，
∵a=1>0，故抛物线开口向上，故A错误；
顶点坐标为（1，5），故B错误；
该函数有最小值，是小值是5，故C错误；
当时，y随x的增大而增大，故D正确，故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
4．（2022·山东青岛）已知二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，且经过点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】图象开口向下，得a<0， 对称轴为直线，得b=2a，则b<0，图象经过，根据对称性可知，图象经过点，故c>0，当x=1时，a+b+c=0，将b=2a代入，可知3a+c=0．
【详解】解：∵图象开口向下，
∴a<0，
∵对称轴为直线，
∴b=2a，
∴b<0，故A不符合题意；
根据对称性可知，图象经过，
∴图象经过点，
∴c>0，故B不符合题意；
当x=1时，a+b+c=0，故C不符合题意；
将将b=2a代入，可知3a+c=0，故D符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，对称轴及对称性，与坐标轴的交点，熟练地掌握二次函数的图象特征是解决问题的关键．
5．（2022·黑龙江哈尔滨）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果．
【详解】∵二次函数解析式为 ，
∴顶点坐标为；故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键．
6．（2022·浙江湖州）把抛物线y=x2向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是( )
A．y=-3 B．y=+3 C．y= D．y=
【答案】B
【分析】根据二次函数图像平移规律：上加下减，可得到平移后的函数解析式.
【详解】∵抛物线y=x2向上平移3个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y=x2+3.故答案为：B.
【点睛】本题考查二次函数的平移，熟记平移规律是解题的关键.
7．（2022·湖北武汉）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】D
【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出m＜0，n＜0，即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限．
【详解】解：∵抛物线的顶点（-m，n）在第四象限，
∴-m＞0，n＜0，
∴m＜0，
∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号．
8．（2022·广西玉林）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：
①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．
【详解】解：①将二次函数向右平移2个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
②将二次函数向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
③将二次函数向下平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
④将二次函数沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
综上所述：正确的个数为4个；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
9．（2022·湖南岳阳）已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】A
【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与轴的交点坐标，再分两种情况：或，根据二次函数的性质求得的不同取值范围便可．
【详解】解：∵二次函数，
∴对称轴为，抛物线与轴的交点为，
∵点是该函数图象上一点，当时，，
∴①当时，对称轴，
此时，当时，，即，
解得；
②当时，对称轴，
当时，随增大而减小，
则当时，恒成立；
综上，的取值范围是：或．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．
10．（2022·四川宜宾）已知抛物线的图象与x轴交于点、，若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，设抛物线的解析式为，进而求得顶点的的坐标，结合图形可知当顶点纵坐标小于或等于-3满足题意，即可求解．
【详解】解：抛物线的图象与x轴交于点、，
设抛物线的解析式为
顶点坐标为，
,以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则圆的半径为3，如图，
解得
故选：A
【点睛】本题考查了圆的的性质，二次函数图象的性质，求得抛物线的顶点纵坐标的范围是解题的关键．
11．（2022·山东威海）如图，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是( )
A．b＞0
B．a+b＞0
C．x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根
D．点（x1，y1），（x2，y2）在二次函数的图像上，当x1＞x2＞2时，y2＜y1＜0
【答案】D
【分析】根据二次函数的图像和性质作出判断即可．
【详解】解：根据图像知，当时，，
故B选项结论正确，不符合题意，
，，故A选项结论正确，不符合题意；
由题可知二次函数对称轴为，
，，
故B选项结论正确，不符合题意；
根据图像可知是关于的方程的一个根，
故选项结论正确，不符合题意，
若点，在二次函数的图像上，
当时，，故D选项结论不正确，符合题意，故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
12．（2022·广西）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由反比例函数图象得出b>0，再分当a>0，a<0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一和第三象限内，
∴b>0，
若a<0，则->0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；
当a>0，则-<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c<0，
又∵a>0，则-a<0，当c<0,a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，
故只有D选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查函数图象与系数的关系，熟练掌握反比例函数图象、一次函数图象、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
13．（2022·山东潍坊）如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分0≤x≤1，1
∵∠A=60°，AE=AF=x，
∴AG=x，
由勾股定理得FG=x，
∴y=AE×FG=x2，图象是一段开口向上的抛物线；
当1
∵∠DAH=60°，AE=x，AD=1，DF= x-1，
∴AH=，
由勾股定理得DH=，
∴y=(DF+AE)×DH=x-，图象是一条线段；
当2≤x≤3时，过点E作EI⊥CD于点I，
∵∠C=∠DAB=60°，CE=CF=3-x，
同理求得EI=(3-x)，
∴y= AB×DH -CF×EI=-(3-x)2=-x2+x-，图象是一段开口向下的抛物线；
观察四个选项，只有选项A符合题意，故选：A．
【点睛】本题考查了利用分类讨论的思想求动点问题的函数图象；也考查了平行四边形的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式以及一次函数和二次函数的图象．
14．（2022·辽宁）如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作交于点Q，将沿直线折叠得到，设动点P的运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意易得，，则有，进而可分当点P在AB中点的左侧时和在AB中点的右侧时，然后分类求解即可．
【详解】解：∵，
∴，由题意知：，∴，
由折叠的性质可得：，
当点P与AB中点重合时，则有，
当点P在AB中点的左侧时，即，
∴与重叠部分的面积为；
当点P在AB中点的右侧时，即，如图所示：
由折叠性质可得：，，
∴，∴，∴，
∴与重叠部分的面积为；
综上所述：能反映与重叠部分的面积S与t之间函数关系的图象只有D选项；故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象及三角函数，熟练掌握二次函数的图象及三角函数是解题的关键．
15．（2022·贵州铜仁）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察图象，先设 ，，，根据已知条件及证明，得出，利用根与系数的关系知，最后得出答案．
【详解】设 ，，，
∵二次函数的图象过点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
令，
根据根与系数的关系知，
∴，
故 故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与关于方程之间的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键．
16．（2022·黑龙江牡丹江）若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4） B．（－2，－4） C．（－4，2） D．（4，－2）
【答案】A
【详解】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（－2，4）代入，得，
∴二次函数解析式为．
∴所给四点中，只有（2，4）满足．故选A．
17．（2022·内蒙古通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为故选D．
【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．
18．（2022·四川遂宁）如图，D、E、F分别是三边上的点，其中，BC边上的高为6，且DE//BC，则面积的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，设，根据，证明，根据相似三角形对应高的比等于相似比得到，列出面积的函数表达式，根据配方法求最值即可．
【详解】
如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，
设，
，
，
，
，
，
∴,
，
当时，S有最大值，最大值为6，故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值，熟练掌握知识点是解题的关键．
19．（2022·四川自贡）已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥−2 ；②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a=．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，可判断①；根据二次函数的增减性判断②；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断④．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，
∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c) ，
∴C≥-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；
令y=0，则ax2+bx+c=0，
设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=，
∴CD2=( x1-x2) 2=( x1+x2) 2-4x1x2，
根据顶点坐标公式，，
∴，即，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD=AB=1-（-3)=4，
∴=42=16，解得a=，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．故选：D．
．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y轴上的情况．
20．（2022·江苏泰州）已知点在下列某一函数图像上，且那么这个函数是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出y1、y2、y3的值，比较大小即可得出答案．
【详解】解：A．把点代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1
C． 把点代入y=，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2
【点睛】此题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数，解题的关键是掌握函数值的大小变化和
函数的性质．
21．（2022·广西贺州）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．
【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．
22．（2022·内蒙古包头）已知实数a，b满足，则代数式的最小值等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】由已知得b=a+1，代入代数式即得a2-4a+9变形为(a-2)2+5，再根据二次函数性质求解．
【详解】解：∵b-a=1，
∴b=a+1，
∴a2+2b-6a+7
=a2+2(a+1)-6a+7
=a2-4a+9
=(a-2)2+5，
∵(a-2)2≥0，
∴当a=2时，代数式a2+2b-6a+7有最小值，最小值为5，故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的最值，通过变形将代数式化成(a-2)2+5是解题的关键．
23．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，二次函数的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①；②；③；④若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m>4；⑤当x<0时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据二次函数图象与性质逐个结论进行分析判断即可．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为，
∴
∴故①正确；
∵函数图象开口向下，对称轴为，函数最大值为4，
∴函数的顶点坐标为（-1，4）
当x=-1时，
∴
∴，
∵二次函数的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，
∴<<2
∴<4+a<2
∴，故②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴
∴，故③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（-1，4）且方程有两个不相等的实数根，
∴
∴，故④错误；
由图象可得，当x>-1时，y随x的增大而减小，故⑤错误．
所以，正确的结论是①②③，共3个，故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
24．（2022·湖北鄂州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图像顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．
【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则a＜0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P（1，m）∴，b=-2a∵a＜0∴b＞0
∵抛物线与y轴的交点在正半轴∴c＞0∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线经过点A（2，1）∴1＝a·22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正确；
④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下
∴x>1时，y随x的增大而减小，即④正确；
⑤∵a＜0∴at2+bt-（a+b）= at2-2at-a+2a= at2-2at+a=a（t2-2t+1）= a（t-1）2≤0
∴at2+bt≤a+b，则⑤正确综上，正确的共有4个．故答案为C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
25．（2022·四川雅安）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（ ）
①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6．
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【答案】B
【分析】由二次函数的开口向上，函数有最小值，可判断①，由二次函数的增减性可判断②，由二次函数图象的平移可判断③，由二次函数与x轴的交点坐标可判断④，从而可得答案．
【详解】解： y＝（x﹣2）2﹣9，图象的开口向上，
∴当x＝2时，y取得最小值﹣9；故①符合题意；
y＝（x﹣2）2﹣9的对称轴为，而 故②符合题意；
将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣5，故③不符合题意；
当时，则 解得： 而
故④符合题意；故选B
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，掌握“二次函数的图象与性质”是解本题的关键．
二．填空题
26．（2022·辽宁营口）如图1，在四边形中，，动点P，Q同时从点A出发，点P以的速度沿向点B运动（运动到B点即停止），点Q以的速度沿折线向终点C运动，设点Q的运动时间为，的面积为，若y与x之间的函数关系的图像如图2所示，当时，则____________．
【答案】
【分析】根据题意以及函数图像可得出，则点在上运动时，为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式得出当面积最大为时，此时，则，当时，过点作于点，则此时，分别表示出相关线段可得y与x之间的函数解析式，将代入解析式求解即可．
【详解】解：过点作，垂足为，
在中，
∵，，
∴，
∵点P的速度为，点Q的速度为，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴点在上运动时，为等腰直角三角形，
∴，
∴当点在上运动时，，
由图像可知，当此时面积最大，或（负值舍去），
∴，
当时，过点作于点，如图：
此时，
在中，，，
∴，，，
∴，
即，
所以当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，求出各段函数的函数关系式是解答本题的关键．
27．（2022·江苏无锡）把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：________．
【答案】m>3
【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意得到不等式m-3>0，据此即可求解．
【详解】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4，
此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），
函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，m-3），
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴m-3>0，
解得：m>3，
故答案为：m>3．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
28．（2022·福建）已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为______．
【答案】8
【分析】先求出抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点，然后根据，得出，列出关于n的方程，解方程即可。
【详解】解： 把y=0代入得：，
解得：，，
把y=0代入得：，
解得：，，
∵，
∴，
∴，
即，
，
令，则，
解得：，，
当时，，解得：，
∵，
∴不符合题意舍去；
当时，，解得：，
∵，
∴符合题意；
综上分析可知，n的值为8．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用n表示出，列出关于n的方程是解题的关键．
29．（2022·湖北荆州）规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______．
【答案】或
【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得．
【详解】解：函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，
函数（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，
当k=0时，函数解析为，它的“Y函数”解析式为，它们的图象与x轴只有一个交点，
当时，此函数是二次函数，
它们的图象与x轴都只有一个交点，
它们的顶点分别在x轴上，
，得，
故k+1=0，解得k=-1，
故原函数的解析式为，
故它的“Y函数”解析式为，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
30．（2022·贵州黔东南）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______．
【答案】
【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点为（-1，-2），
将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），
旋转后的抛物线为，
再向下平移5个单位，即．
∴新抛物线的顶点（1，-3）
故答案是：（1，-3）．
【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键．
31．（2022·黑龙江大庆）已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为____________．
【答案】1或
【分析】函数图象与坐标轴恰有两个公共点，则分两种情况：第一种情况，函数图象过原点；第二种情况，函数图象与x轴只有一个交点，分别计算即可
【详解】当函数图象过原点时，函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，
此时满足，解得；
当函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时，
此时满足，解得或，
当是，函数变为与y轴只有一个交点，不合题意；
综上可得，或时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点．
故答案为：1或
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质．
32．（2022·山东聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．
【答案】121
【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．
【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得：
，
解得，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
，
∵1<0，
∴当时，w有最大值为121，
故答案为：121．
【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．
33．（2022·广西贵港）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有_______个．
【答案】3
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点(-2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点(1,0)，代入可得：，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．
【详解】∵抛物线的对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0)，
∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1,0)，
∴代入(-2,0)、(1,0)得：，
解得：，故③正确；
∵抛物线开口朝下，
∴，
∴，，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根，
∴方程的判别式，故②正确；
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
即，故④正确；
∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数，在时，y随x的增大而减小，
∵，
∴，故⑤错误，
故正确的有：②③④，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，特别是根据对称轴求出抛物线与x轴的交点是解答本题的关键．
34．（2022·辽宁）如图，抛物线与x轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有___________．（填写代表正确结论的序号）
【答案】①②##②①
【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据x＝-2时判定②，由抛物线图像性质判定④．
【详解】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；
②x＝-2时，函数值小于0，则4a-2b+c＜0，故正确；
③与x轴交于点和点，则对称轴，故，故③错误；
④当时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而减大．故④错误；
综上所述，正确的为①②．
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
35．（2022·四川广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．
【答案】##
【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得，
∴，∴，∴抛物线解析式为：；
当水面下降，水面宽为8米时，有
把代入解析式，得；
∴水面下降米；故答案为：；
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
36．（2022·内蒙古呼和浩特）在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和，抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是______．
【答案】或
【分析】根据抛物线求出对称轴，轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线CD的表达式，分两种情况讨论：当时，当时，利用抛物线的性质可知，当越大，则抛物线的开口越小，即可求解．
【详解】解：抛物线的对称轴为：，当时，，故抛物线与轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线CD的表达式，
当时，且抛物线过点时，
，解得（舍去），
当，抛物线与线段只有一个公共点时，
即顶点在直线CD上，则，解得，
当时，且抛物线过点时，
，解得，
由抛物线的性质可知，当越大，则抛物线的开口越小，且抛物线与线段只有一个公共点，
∴，且，
解得，
综上所述，的取值范围为或，
故答案为或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
37．（2022·黑龙江牡丹江）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________．
【答案】或（答出这两种形式中任意一种均得分）
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．
故答案为y=2（x+1）2﹣2．
考点：二次函数图象与几何变换．
38．（2022·内蒙古赤峰）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为_________．
【答案】（0，1）
【分析】先求出A、B、C、D的坐标，根据CD∥x轴即可求出点关于直线的对称点坐标．
【详解】∵抛物线交轴于、两点，交轴于点，
∴当时，；
当时，
∴
∴OA=OC=5
∴
∵是抛物线上的点
∴，解得
当时，与A重合；
当时，；
∴CD∥x轴，
∴
设点关于直线的对称点M，则
∴M在y轴上，且△DCM是等腰直角三角形
∴DC=CM=6
∴M点坐标为（0，1）
故答案为：（0，1）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是根据对称得到△DCM是等腰直角三角形．
39．（2022·吉林长春）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为_______．
【答案】##
【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若；若，即可求解．
【详解】解：，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
若，当时，y随x的增大而减小，
此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意，
若，当时，函数值y最小，最小值为1，
∴，解得：或（舍去）；
综上所述，a的值为．故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
三．解答题
40．（2022·山东潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图．
小亮认为，可以从y=kx+b(k>0) ，y=(m>0) ，y=−0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．
(1)小莹认为不能选．你认同吗？请说明理由；
(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；
(3)根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？
【答案】(1)认同，理由见解析
(2)①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)；②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1；
(3)在2024年或2025年总年产量最大，最大是7.6吨．
【分析】（1）根据年产量变化情况，以及反比例函数的性质即可判断；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）设总年产量为w，依题意得w=−0.1x2+x+1+0.5x+1，利用二次函数的性质即可求解．
(1)
解：认同，理由如下：
观察①号田的年产量变化：每年增加0.5吨，呈一次函数关系；
观察②号田的年产量变化：经过点（1，1.9），（2，2.6），（3，3.1），
∵1×1.9=1.9，2×2.6=5.2，1.9≠5.2，
∴不是反比例函数关系，
小莹认为不能选是正确的；
(2)
解：由（1）知①号田符合y=kx+b(k>0)，
由题意得，
解得：，
∴①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)；
检验，当x=4时，y=2+1=3，符合题意；
②号田符合y=−0.1x2+ax+c，
由题意得，
解得：，
∴②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1；
检验，当x=4时，y=-1.6+4+1=3.4，符合题意；
(3)
解：设总年产量为w，
依题意得：w=−0.1x2+x+1+0.5x+1=−0.1x2+1.5x+2
=−0.1(x2-15x+-)+2
=−0.1(x-7.5)2+7.625，
∵−0.1<0，∴当x=7.5时，函数有最大值，
∴在2024年或2025年总年产量最大，最大是7.6吨．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的应用，待定系数法求函数式，二次函数的性质，反比例函数的性质，理解题意，利用二次函数的性质是解题的关键．
41．（2022·广西贺州）如图，抛物线过点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)点P坐标为；
(3)存在，
【分析】（1）把代入即可的得出抛物线解析式；
（2）依题意可得出即P点在的平分线上且在抛物线的对称轴上利用等腰三角形的性质，即可得出P点的坐标；
（2）利用铅垂线ME，即可表达出，再由即可列出方程求解．
(1)
根据题意，得
，
解得，
抛物线解析式为：．
(2)
由（1）得，
点，且点，
．
∵当是以BC为底边的等腰三角形
∴PC=PB，
∵OP=OP，
∴，
∴，
设抛物线的对称轴与轴交于H点，则，
∴，
∴，
∵抛物线对称轴，
∴，
∴，
．
点P坐标为．
(3)
存在．
理由如下：过点M作轴，交BC于点E，交x轴于点F．
设，则，
设直线BC的解析式为：，依题意，得：
，
解得，
直线BC的解析式为：，
当时，，
点E的坐标为，
∵点M在第一象限内，且在BC的上方，
，
，
．
∵，
，
解得．
【点睛】此题考查了求抛物线的解析式、等腰三角形的存在性问题，三角形的面积，掌握待定系数法求抛物线的解析式，等腰三角形与函数的特征，三角形面积与函数的做法是解题的关键．
42．（2022·广东）如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作交于点Q．
(1)求该抛物线的解析式；(2)求面积的最大值，并求此时P点坐标．
【答案】(1)
(2)2；P（-1，0）
【分析】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；
（2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由列出函数式求解即可．
(1)
解：∵点A（1，0），AB=4，
∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为；
(2)
解：由（1）得抛物线的解析式为，
顶点式为：，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，
设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P，
由解得：，
∵P在线段AB上，
∴，
∴n的取值范围为-6＜n＜2，
则
∴当n=-2时，即P（-1，0）时，最大，最大值为2．
【点睛】本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
43．（2022·湖南永州）已知关于的函数．
(1)若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值；
(2)若，，时，函数的图象与轴有交点，求的取值范围．
(3)阅读下面材料：
设，函数图象与轴有两个不同的交点，，若，两点均在原点左侧，探究系数，，应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面：
①因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以；
②因为，两点在原点左侧，所以对应图象上的点在轴上方，即；
③上述两个条件还不能确保，两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需．
综上所述，系数，，应满足的条件可归纳为：
请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：
若函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，求的取值范围．
【答案】(1)或，0
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，然后化顶点式即可求得最小值；
（2）利用函数的图象与轴有交点△≥0，即可得出结论；
（3）根据a＞0、a=0、a＜0，分别讨论，再利用△，x=1处函数值的正负、函数对称轴画出草图，结合图象分析即可．
(1)
根据题意，得
解之，得，所以
函数的表达式或，当时，的最小值是-8．
(2)
根据题意，得而函数的图象与轴有交点，所以所以．
(3)
函数的图象
图1： 即，
所以，的值不存在．
图2： 即的值.
图3： 即
所以的值不存在
图4：即
所以的值不存在．
图5：
即
所以的值为
图6：函数与轴的交点为
所以的值为0成立．
综上所述，的取值范围是或．
【点睛】本题考查二次函数的应用．（1）中掌握待定系数法是解题关键；（2）中掌握二次函数与x轴交点个数与△的关系是解题关键；（3）中需注意分类讨论，结合图象分析更加直观．
44．（2022·北京）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为(1)当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值；
(2)点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围．
【答案】(1)（0，2）；2
(2)的取值范围为，的取值范围为
【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点关于对称轴为对称，可得t的值，即可求解；
（2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求解．
(1)
解：当时，，
∴当x=0时，y=2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；
∵，
∴点关于对称轴为对称，
∴；
(2)
解：当x=0时，y=c，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
∴抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ，
∵1＜3，
∴2t＞3，即（不合题意，舍去），
当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，，
此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴，解得：，
∵1＜3，
∴2t＞3，即，
∴，
∵，，对称轴为，
∴，
∴，解得：，
∴的取值范围为，的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
45．（2022·贵州遵义）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．
(1)写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标；
(2)若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，．
①当时，求点的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
【答案】(1)，顶点为
(2)①或；②或．
【分析】（1）根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）①设，则，，根据题意建立方程解方程即可求解；
②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可．
(1)
解：抛物线的“关联抛物线”为，
根据题意可得，的解析式
顶点为
(2)
解：①设，则，
∴
当时，
解得，
当时，方程无解
或
②的解析式
顶点为，对称轴为
，
当时，即时，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
解得（，舍去）
当时，且即时，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
解得（，舍去）
当时，即时，抛物线开向上，对称轴右侧随的增大而增大，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
即
即
解得（舍去）
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．
46．（2022·湖北十堰）已知抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；(2)点是抛物线上一动点（不与点，，重合），作轴，垂足为，连接．①如图1，若点在第三象限，且，求点的坐标；②直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求四边形的周长．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）把点，代入，即可求解；
（2）①过点C作CQ⊥DP于点Q，可得△CPQ为等腰直角三角形，从而得到PQ=CQ，设点，则OD=-m，，再由四边形OCQD为矩形，可得QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，从而得到，即可求解；②过点E作EM∥x轴于点M，先求出直线BC的解析式为，证得四边形为菱形，可得，然后根据△CEM∽△CBO，设点，则点，然后分三种情况讨论，即可求解．
(1)
解：把点，代入得：
，解得：，
∴抛物线解析式为；
(2)
解：①如图，过点C作CQ⊥DP于点Q，
∵点C（0，-3），
∴OC=3，
∵，
∴△CPQ为等腰直角三角形，
∴CQ=PQ，
设点，则OD=-m，，
∵轴，
∴∠COD=∠ODQ=∠CQD=90°，
∴四边形OCQD为矩形，
∴QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，
∴，
∴，
解得：或0（舍去），
∴点；
②如图，过点E作EM∥x轴于点M，
令y=0，，
解得：（舍去），
∴点B（-4，0），
∴OB=4，
∴，
设直线BC的解析式为，
把点B（-4，0），C（0，-3）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
∵点关于直线的对称点落在轴上时，
∴，，，
∵DP⊥x轴，
∴PD∥CE′，
∴，
∴，
∴CE=PE，
∴，
∴四边形为菱形，
∵EM∥x轴，
∴△CEM∽△CBO，
∴，
设点， 则点，
当点P在y轴左侧时，EM=-t，
当-4＜t＜0时，，
∴，
∴，
解得：或0（舍去），
∴，
∴四边形的周长为；
当点P在y轴右侧时，EM=-t，
当t≤-4时，，
∴，解得：或0（舍去），
此时，
∴四边形的周长为；
当点P在y轴右侧，即t＞0时，EM=t，，
∴，解得：或0，
不符合题意，舍去；
综上所述，四边形的周长为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质和菱形的判定方法；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用相似比计算线段的长和解一元二次方程是解题的关键．
47．（2022·河南）红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【答案】(1)
(2)2或6m
【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解；
（2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解．
(1)
解：根据题意可知抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为，
(2)
由，令，
得，
解得，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
48．（2022·浙江台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
(1)若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
【答案】(1)①；②；③
(2)
【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；
②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线，计算即可；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可．
(1)
（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．
图1
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
③如图2，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是．
(2)
的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴，
解得，
代入，得．
所以的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．
49．（2022·河北）如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧．
(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程．
【答案】(1)对称轴为直线，的最大值为4，
(2)5
【分析】（1）由的性质得开口方向，对称轴和最值，把代入中即可得出a的值；
（2）由，得出抛物线是由抛物线C：向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点移动的最短路程．
(1)
，
∴对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，有最大值，即的最大值为4，
把代入中得：
，
解得：或，
∵点在C的对称轴右侧，
∴；
(2)
∵，
∴是由向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，
平移距离为，
∴移动的最短路程为5．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的性质以及平移的方法是解题的关键．
50．（2022·四川雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）．
(1)求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；(3)在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．
【答案】(1)
(2)E的坐标为：或或或
(3)BP的最小值为：
【分析】（1）根据题意可设抛物线为再代入C的坐标可得函数解析式，化为顶点式可得顶点坐标；
（2）如图，由可得抛物线的对称轴为：设 而A（﹣1，0），C（0，-3），再利用勾股定理分别表示 再分三种情况讨论即可；
（3）如图，连结AD，记AD的中点为H，由 则在以H为圆心，HA为半径的圆H上，不与A，D重合，连结BH，交圆H于P，则PB最短，再求解H的坐标，结合勾股定理可得答案．
(1)
解： 二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴设二次函数为：
把C（0，﹣3）代入抛物线可得：
解得：
∴抛物线为：
(2)
如图，由
可得抛物线的对称轴为：
设 而A（﹣1，0），C（0，-3），
当时，，
解得 即
当时，
解得： 即
当时，
整理得：
解得：
综上：E的坐标为：或或或
(3)
如图，连结AD，记AD的中点为H，由
则在以H为圆心，HA为半径的圆H上，不与A，D重合，
连结BH，交圆H于P，则PB最短，
即BP的最小值为：
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，勾股定理的应用，二次函数与圆的综合，判断PB最小时，P的位置是解本题的关键．
51．（2022·江苏泰州）如图，二次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数的图像相交于点B(3，1).
(1)求这两个函数的表达式；(2)当随的增大而增大且时，直接写出的取值范围；
(3)平行于轴的直线l与函数的图像相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数的图像相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；
（2）由图像直接得出结论即可；
（3）根据点和点的坐标得出两三角形等高，再根据面积相等得出，进而确定点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，求出点的坐标即可．
(1)
解：二次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数的图像相交于点，
，，
解得，，
二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
(2)
解：二次函数的解析式为，
对称轴为直线，
由图像知，当随的增大而增大且时，；
(3)
解：由题意作图如下：
当时，，
，
，
的边上的高与的边上的高相等，
与的面积相等，
，
即点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当时，，
．
【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的综合题，熟练掌握二次函数和反比例函数的图像及性质，三角形的面积，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．
53．（2022·浙江丽水）如图，已知点在二次函数的图像上，且．
(1)若二次函数的图像经过点．①求这个二次函数的表达式；②若，求顶点到的距离；
(2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①将点代入中即可求出二次函数表达式；
②当时，此时为平行x轴的直线，将代入二次函数解析式中求出，再由求出直线为，最后根据二次函数顶点坐标即可求解；
（2）分两种情形：若M，N在对称轴的异侧，；若M、N在对称轴的异侧，，x1<2，分别求解即可．
(1)
解：①将点代入中，
∴，解得，
∴二次函数的表达式为：；
②当时，此时为平行x轴的直线，
将代入二次函数中得到：，
将代入二次函数中得到：，
∵，
∴=，
整理得到：，
又∵，代入上式得到：，解出，
∴，即直线为：，
又二次函数的顶点坐标为(2，-1)，
∴顶点(2,-1)到的距离为；
(2)
解：若M，N在对称轴的异侧，，
∴x1+3>2，
∴x1>-1，
∵
∴，
∴-1<，
∵函数的最大值为y1=a（x1-2）2-1，最小值为-1，
∴y-（-1）=1，
∴a=，
∴，
∴；
若M、N在对称轴的异侧，，x1<2，
∵，
∴，
∵函数的最大值为y=a（x2-2）2-1，最小值为-1，
∴y-（-1）=1，
∴a=，
∴，
∴，
综上所述，a的取值范围为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像与性质及二次函数的最值等问题：当开口向上(向下)时，自变量的取值离对称轴越远，其对应的函数值就越大(越小) ．
54．（2022·山东临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
下图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其解析式为．
(1)求b、c的值；
(2)进一步研究发现运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？
【答案】(1)，
(2)① ②时，最大，为
【分析】（1）根据题中所给信息，得出，，利用待定系数法列出关于的二元一次方程组求解即可得出结论；
（2）①根据题意得到当运动员在起跳点腾空时，；空中飞行5s后着陆，，设出一次函数表达式，利用待定系数法求出函数关系式即可；②作轴交抛物线于，交于，利用待定系数法确定直线的函数表达式，再由（1）得出抛物线表达式，求出，表示出运动员离着陆坡的竖直距离，根据抛物线的性质得出当时，有最大值为．
(1)
解：过作于，于，如图所示：
，
着陆坡AC的坡角为30°，即，
，
在中，，
则，
，
，即，，
将，代入得，解得；
(2)
解：①由（1）知，根据运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，设一次函数关系式为，
当运动员在起跳点腾空时，；空中飞行5s后着陆，，
，解得，
水平方向移动距离与飞行时间的一次函数关系式为；
②作轴交抛物线于，交于，如图所示：
设直线的表达式为，将，代入得，解得，即直线的表达式为，
由（1）知抛物线表达式为，
，
运动员离着陆坡的竖直距离，
由可知抛物线开口向下，当时，有最大值为．
【点睛】本题考查用二次函数及一次函数解决实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图像与性质、二次函数求最值等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键．
55．（2022·山东威海）探索发现
(1)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D，连接AD．
①如图1，直线DC交直线x＝1于点E，连接OE．求证：AD∥OE；
②如图2，点P（2，﹣5）为抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G．直线DP交直线x＝1于点H，连接HG．求证：AD∥HG；
(2)通过上述两种特殊情况的证明，你是否有所发现？请仿照（1）写出你的猜想，并在图3上画出草图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），顶点为点D．点M为该抛物线上一动点（不与点A，B，D重合），_______．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)猜想：作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x=1于Q，则QN∥AD，证明见解析
【分析】（1）①将点A和B点的坐标代入抛物线的解析式，从而求得a，b的值，从而得出抛物线的解析式，从而得出点D和点C坐标，进而求得E点坐标和AD的解析式，再求出OE的解析式，从而得出结论；
②方法①求得GH的解析式，进而得出结论；
（2）作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x=1于Q，则QN∥AD，方法同①相同可推出结论．
(1)
解：（1）①由题意得，
，
∴，
∴y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴D（-1，4），C（0，3），
设直线CD的解析式为：y=mx+n，
∴，
∴，
∴y=-x+3，
∴当x=1时，y=-1+3=2，
∴E（1，2），
∴直线OE的解析式为：y=2x，
设直线AD的解析式为y=cx+d，
∴，
∴，
∴y=2x+6，
∴OE∥AD；
②设直线PD的解析式为：y=ex+f，
∴，
∴，
∴y=-3x+1，
∴当x=1时，y=-3×1+1=-2，
∴H（1，-2），
设直线GH的解析式为：y=gx+h，
∴，
∴，
∴y=2x-4，
∴AD∥HG；
(2)
猜想：作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x=1于Q，连接NQ，则QN∥AD，如图，
证明如下：
设M（m，-m2-2m+3），
设直线DM的解析式为y=px+q，
∴，
∴，
∴y=-（m+1）x+（-m+3），
∴当x=1时，y=-m-1-m+3=-2m+2，
∴Q（1，-2m+2），
设直线NQ的解析式为：y=ix+j，
∴，
∴，
∴y=2x-2m，
∴QN∥AD．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，求一次函数解析式，一次函数图象性质等知识，解决问题的关键是掌握一次函数平移的性质．
56．（2022·内蒙古赤峰）【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．
【问题解决】
(1)若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是_________（可省略单位），水池2面积的最大值是_________；
(2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_________，此时的值是_________；
(3)当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_________；
(4)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值；
(5)假设水池的边的长度为，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积关于的函数解析式为：．若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求的值．
【答案】(1)；9
(2)C，E；1，4；
(3)或
(4)
(5)
【分析】（1）将函数解析式化为顶点式即可解决问题；
（2）交点即为面积相等的点，联立方程组，求出交点坐标即可；
（3）观察函数图象，结合点C，点E的坐标可得结论；
（4）求出面积差的函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；
（5）根据面积相等列出一元二次方程，依据，求出b的值即可．
(1)
∵
∴抛物线的顶点坐标为（3，9），对称轴为x=3，
∵水池2的面积随长度的增加而减小，
∴长度的取值范围是；水池2面积的最大值是9；
故答案为：；9；
(2)
由图象得，两函数交于点C，E，
所以，表示两个水池面积相等的点是C，E；
联立方程组
解得，
∴x的值为1或4，
故答案为：C，E；1或4
(3)
由（3）知，C（1，5），E（4，8），
又直线在抛物线上方时，或，
所以，水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或，
故答案为或；
(4)
在范围内，两个水池面积差，
∵
∴函数有最大值，
∵
∴当时，函数有最大值，为
即，当时，面积最大值为
(5)
∵水池3与水池2的面积相等，
∴，
整理得，
∵有唯一值，
∴
解得，
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键．
57．（2022·黑龙江）如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，
【分析】（1）将点，点，代入抛物线得，求出的值，进而可得抛物线的解析式．
（2）将解析式化成顶点式得，可得点坐标，将代入得，，可得点坐标，求出的值，根据可得，设，则，求出的值，进而可得点坐标．
(1)
解：∵抛物线过点，点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：．
(2)
解：存在．
∵，
∴，
将代入得，，
∴，
∴到线段的距离为1，，
∴，
∴，
设，
则，
整理得，，
解得，或，
∴，，
∴存在点P，使的面积是面积的4倍，点P的坐标为，．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
58．（2022·贵州贵阳）已知二次函数y=ax2+4ax+b．
(1)求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；
(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(−1，e)，(−3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；
(3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当−2≤m≤1时，n的取值范围是−1≤n≤1，求二次函数的表达式．
【答案】(1)二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)；
(2)当a<0时，e=f> c>d；当a>0时，e=f< c
【分析】（1）利用配方法即可求解；
（2）由对称轴为直线x=-2，AB=6，得到A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，画出草图，分两种情况，利用数形结合求解即可；
（3）分两种情况，利用数形结合求解即可．
(1)
解：∵y=ax2+4ax+b=a(x2+4x+4-4)+b= a(x+2)2+b-4a，
∴二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)；
(2)
解：由（1）知二次函数的图象的对称轴为直线x=-2，
又∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，
∴A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，
当a<0时，画出草图如图：
∴e=f> c>d；
当a>0时，画出草图如图：
∴e=f< c
解：∵点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，
当a<0时，
根据题意：当m=-2时，函数有最大值为1，当m=1时，函数值为-1，
即，解得：，
∴二次函数的表达式为y=x2x+．
当a>0时，
根据题意：当m=-2时，函数有最小值为-1，当m=1时，函数值为1，
即，解得：，
∴二次函数的表达式为y=x2x-．
综上，二次函数的表达式为y=x2x-或y=x2x+．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式等知识和方法，解第（2）（3）题时应注意分类讨论，求出所有符合条件的结果．
59．（2022·山东青岛）已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．(1)求m的值；(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
【答案】(1)m=1
(2)二次函数的图象与x轴有两个交点，理由见解析．
【分析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2−3即可求得m的值；
（2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案．
(1)
解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4) ，
∴4=4+2m+m2−3，
即m2+2m−3=0，
解得：m1=1，m2=−3，
又∵m>0，
∴m=1；
(2)
解：由（1）知二次函数y=x2+x−2，
∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0，
∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．
【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键．
60．（2022·四川内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)，点D的坐标为（﹣2，2）；
(3)点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．
【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题；
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，可用待定系数法求出直线AC的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，从而可以用m的代数式表示出DG，然后利用得到，可得出关于m的二次函数，运用二次函数的最值即可解决问题；
（3）根据S△PCB：S△PCA=即可求解．
(1)
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
(2)
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图．
设直线AC的解析式为y＝kx+t，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为．
设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，
∴
∴，
∵DE⊥AC，DH⊥AB，
∴∠EDG+∠DGE＝∠AGH+∠CAO＝90°，
∵∠DGE＝∠AGH，
∴∠EDG＝∠CAO，
∴＝＝，
∴，
∴，
∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得最大值．
此时，
即点D的坐标为（﹣2，2）；
(3)
如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝，
则EB：AE＝1：5或5：1
则AE＝5或1，
即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，
解得：n＝﹣2或，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝x+2，
联立方程组或，
解得：x＝6或﹣（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数、图形面积计算等，解决问题的关键是将面积比转化为线段比．
61．（2022·湖北武汉）抛物线交轴于A，两点（A在的左边），是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点．
(1)直接写出A，两点的坐标；
(2)如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点），使，两点到的距离相等，求出所有满足条件的点的横坐标；
(3)如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为．求的值（用含的式子表示）．
【答案】(1)，；
(2)0，或；
(3)．
【分析】（1）令求出x的值即可知道A，两点的坐标；
（2）求出直线的解析式为，分情况讨论：①若点在下方时，②若点在上方时；
（3）设点的横坐标为．过点的直线解析式为．联立，得． 利用A，B点的横坐标求出，，设直线的解析式为，求出，进一步求出，即可求出答案．
(1)
解：令，解得：，，
∴，．
(2)
解：∵，
∴，
∴直线的解析式为．
①若点在下方时，
过点作的平行线与抛物线的交点即为．
∵，，
∴的解析式为．
联立，
解得，，（舍）．
∴点的横坐标为0．
②若点在上方时，点关于点的对称点为．
过点作的平行线，则与抛物线的交点即为符合条件的点．
直线的解析式为．
联立，得，
解得，，．
∴点，的横坐标分别为，．
∴符合条件的点的横坐标为：0，或．
(3)
解：设点的横坐标为．过点的直线解析式为．
联立，得．
设，是方程两根，则．（*）
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
设直线的解析式为，
同（*）得，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，难度较大，需要掌握函数与x轴交点坐标，（1）的
关键是令进行求解；（2）的关键是分点在下方和在上方时两种情况讨论：（3）的关键是求出OP，FP．
62．（2022·湖南常德）如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为．
(1)求此抛物线的解析式；(2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为15时，求的坐标；(3)在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值
【答案】(1)
(2)
(3) 的最大值为
【分析】（1）根据题意可设抛物线为再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）设 且 记OA与对称轴的交点为Q，设直线为： 解得： 可得直线为： 则 利用列方程，再解方程即可；
（3）如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P的坐标．
(1)
解： 抛物线经过点，
∴设抛物线为：
抛物线过，且它的对称轴为．
解得：
∴抛物线为：
(2)
解：如图，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，
设 且 记OA与对称轴的交点为Q，
设直线为：
解得：
直线为：
解得：或
∵ 则
(3)
如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，
设AB为： 代入A、B两点坐标，
解得：
∴AB为：
解得：
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定最大时P的位置是解本题的关键．
63．（2022·湖南娄底）如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点．
(1)请直接写出点，，的坐标；(2)点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．(3)点是抛物线上的动点，作//交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；(2)，面积的最大值；
(3)存在，或或．
【分析】（1）令得到，求出x即可求得点A和点B的坐标，令，则即可求点C的坐标；
（2）过P作轴交BC于Q，先求出直线BC的解析式，根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，的面积最大，利用三角形面积公式求解；（3）根据点是抛物线上的动点，作//交轴于点得到，设，当点F在x轴下方时，当点F在x轴的上方时，结合点，利用平行四边形的性质来列出方程求解．
(1)解：令，则，
解得，，∴，，
令，则，∴；
(2)解：过P作轴交BC于Q，如下图．
设直线BC为，将、代入得
，解得，∴直线BC为，
根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，的面积最大，
∵， ∴ ，，
∴，
∵，∴时，PQ最大为，
而，∴的面积最大为；
(3)解：存在．∵点是抛物线上的动点，作//交轴于点，如下图．
∴，设．
当点F在x轴下方时，∵，即，∴，
解得（舍去），，∴．
当点F在x轴的上方时，令，则 ，
解得，， ∴或．
综上所述，满足条件的点F的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数与平行四边形、二次函数与面积等问题的综合题，主要考查求点的坐标，平行四边形的性质，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等．
64．（2022·广东深圳）二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
(1)的值为 ；
(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出与的交点坐标；
(3)点在新的函数图象上，且两点均在对称轴的同一侧，若则 （填“”或“”或“”）
【答案】(1)
(2)图见解析，和
(3)或
【分析】（1）把点代入即可求解．
（2）根据描点法画函数图象可得平移后的图象，在根据交点坐标的特点得一元二次方程，解出方程即可求解．
（3）根据新函数的图象及性质可得：当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，进而可求解．
【解析】(1)解：当时，，
∴．
(2)平移后的图象如图所示：
由题意得：，解得，
当时，，则交点坐标为：，
当时，，则交点坐标为：，
综上所述：与的交点坐标分别为和．
(3)由平移后的二次函数可得：对称轴，，
∴当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大，
∴当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，
当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，
综上所述：点在新函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若，则或，故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
专题09 二次函数
一．选择题
1．（2022·陕西）已知二次函数的自变量对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将抛物线配成顶点式，求出对称轴为，再求出抛物线与x轴的两个交点坐标为和，根据开口向上即可判断．
【详解】解：抛物线，
∴对称轴，顶点坐标为，
当时，，
解得或，
∴抛物线与轴的两个交点坐标为：，，
∴当，，时，，故选：．
【点睛】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．
2．（2022·山东潍坊）抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c的值．
【详解】解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，
∴x2+x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=1-4c=0，
解得：c=．故选：B．
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键．
3．（2022·湖南郴州）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，是大值是5 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．
【详解】解：对于y=（x-1）2+5，
∵a=1>0，故抛物线开口向上，故A错误；
顶点坐标为（1，5），故B错误；
该函数有最小值，是小值是5，故C错误；
当时，y随x的增大而增大，故D正确，故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
4．（2022·山东青岛）已知二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，且经过点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】图象开口向下，得a<0， 对称轴为直线，得b=2a，则b<0，图象经过，根据对称性可知，图象经过点，故c>0，当x=1时，a+b+c=0，将b=2a代入，可知3a+c=0．
【详解】解：∵图象开口向下，
∴a<0，
∵对称轴为直线，
∴b=2a，
∴b<0，故A不符合题意；
根据对称性可知，图象经过，
∴图象经过点，
∴c>0，故B不符合题意；
当x=1时，a+b+c=0，故C不符合题意；
将将b=2a代入，可知3a+c=0，故D符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，对称轴及对称性，与坐标轴的交点，熟练地掌握二次函数的图象特征是解决问题的关键．
5．（2022·黑龙江哈尔滨）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果．
【详解】∵二次函数解析式为 ，
∴顶点坐标为；故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键．
6．（2022·浙江湖州）把抛物线y=x2向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是( )
A．y=-3 B．y=+3 C．y= D．y=
【答案】B
【分析】根据二次函数图像平移规律：上加下减，可得到平移后的函数解析式.
【详解】∵抛物线y=x2向上平移3个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y=x2+3.故答案为：B.
【点睛】本题考查二次函数的平移，熟记平移规律是解题的关键.
7．（2022·湖北武汉）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】D
【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出m＜0，n＜0，即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限．
【详解】解：∵抛物线的顶点（-m，n）在第四象限，
∴-m＞0，n＜0，
∴m＜0，
∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号．
8．（2022·广西玉林）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：
①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．
【详解】解：①将二次函数向右平移2个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
②将二次函数向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
③将二次函数向下平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
④将二次函数沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
综上所述：正确的个数为4个；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
9．（2022·湖南岳阳）已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】A
【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与轴的交点坐标，再分两种情况：或，根据二次函数的性质求得的不同取值范围便可．
【详解】解：∵二次函数，
∴对称轴为，抛物线与轴的交点为，
∵点是该函数图象上一点，当时，，
∴①当时，对称轴，
此时，当时，，即，
解得；
②当时，对称轴，
当时，随增大而减小，
则当时，恒成立；
综上，的取值范围是：或．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．
10．（2022·四川宜宾）已知抛物线的图象与x轴交于点、，若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，设抛物线的解析式为，进而求得顶点的的坐标，结合图形可知当顶点纵坐标小于或等于-3满足题意，即可求解．
【详解】解：抛物线的图象与x轴交于点、，
设抛物线的解析式为
顶点坐标为，
,以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则圆的半径为3，如图，
解得
故选：A
【点睛】本题考查了圆的的性质，二次函数图象的性质，求得抛物线的顶点纵坐标的范围是解题的关键．
11．（2022·山东威海）如图，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是( )
A．b＞0
B．a+b＞0
C．x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根
D．点（x1，y1），（x2，y2）在二次函数的图像上，当x1＞x2＞2时，y2＜y1＜0
【答案】D
【分析】根据二次函数的图像和性质作出判断即可．
【详解】解：根据图像知，当时，，
故B选项结论正确，不符合题意，
，，故A选项结论正确，不符合题意；
由题可知二次函数对称轴为，
，，
故B选项结论正确，不符合题意；
根据图像可知是关于的方程的一个根，
故选项结论正确，不符合题意，
若点，在二次函数的图像上，
当时，，故D选项结论不正确，符合题意，故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
12．（2022·广西）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由反比例函数图象得出b>0，再分当a>0，a<0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一和第三象限内，
∴b>0，
若a<0，则->0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；
当a>0，则-<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c<0，
又∵a>0，则-a<0，当c<0,a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，
故只有D选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查函数图象与系数的关系，熟练掌握反比例函数图象、一次函数图象、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
13．（2022·山东潍坊）如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分0≤x≤1，1
∵∠A=60°，AE=AF=x，
∴AG=x，
由勾股定理得FG=x，
∴y=AE×FG=x2，图象是一段开口向上的抛物线；
当1
∵∠DAH=60°，AE=x，AD=1，DF= x-1，
∴AH=，
由勾股定理得DH=，
∴y=(DF+AE)×DH=x-，图象是一条线段；
当2≤x≤3时，过点E作EI⊥CD于点I，
∵∠C=∠DAB=60°，CE=CF=3-x，
同理求得EI=(3-x)，
∴y= AB×DH -CF×EI=-(3-x)2=-x2+x-，图象是一段开口向下的抛物线；
观察四个选项，只有选项A符合题意，故选：A．
【点睛】本题考查了利用分类讨论的思想求动点问题的函数图象；也考查了平行四边形的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式以及一次函数和二次函数的图象．
14．（2022·辽宁）如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作交于点Q，将沿直线折叠得到，设动点P的运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意易得，，则有，进而可分当点P在AB中点的左侧时和在AB中点的右侧时，然后分类求解即可．
【详解】解：∵，
∴，由题意知：，∴，
由折叠的性质可得：，
当点P与AB中点重合时，则有，
当点P在AB中点的左侧时，即，
∴与重叠部分的面积为；
当点P在AB中点的右侧时，即，如图所示：
由折叠性质可得：，，
∴，∴，∴，
∴与重叠部分的面积为；
综上所述：能反映与重叠部分的面积S与t之间函数关系的图象只有D选项；故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象及三角函数，熟练掌握二次函数的图象及三角函数是解题的关键．
15．（2022·贵州铜仁）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察图象，先设 ，，，根据已知条件及证明，得出，利用根与系数的关系知，最后得出答案．
【详解】设 ，，，
∵二次函数的图象过点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
令，
根据根与系数的关系知，
∴，
故 故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与关于方程之间的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键．
16．（2022·黑龙江牡丹江）若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4） B．（－2，－4） C．（－4，2） D．（4，－2）
【答案】A
【详解】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（－2，4）代入，得，
∴二次函数解析式为．
∴所给四点中，只有（2，4）满足．故选A．
17．（2022·内蒙古通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为故选D．
【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．
18．（2022·四川遂宁）如图，D、E、F分别是三边上的点，其中，BC边上的高为6，且DE//BC，则面积的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，设，根据，证明，根据相似三角形对应高的比等于相似比得到，列出面积的函数表达式，根据配方法求最值即可．
【详解】
如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，
设，
，
，
，
，
，
∴,
，
当时，S有最大值，最大值为6，故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值，熟练掌握知识点是解题的关键．
19．（2022·四川自贡）已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥−2 ；②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a=．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，可判断①；根据二次函数的增减性判断②；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断④．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，
∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c) ，
∴C≥-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；
令y=0，则ax2+bx+c=0，
设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=，
∴CD2=( x1-x2) 2=( x1+x2) 2-4x1x2，
根据顶点坐标公式，，
∴，即，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD=AB=1-（-3)=4，
∴=42=16，解得a=，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．故选：D．
．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y轴上的情况．
20．（2022·江苏泰州）已知点在下列某一函数图像上，且那么这个函数是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出y1、y2、y3的值，比较大小即可得出答案．
【详解】解：A．把点代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1
C． 把点代入y=，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2
【点睛】此题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数，解题的关键是掌握函数值的大小变化和
函数的性质．
21．（2022·广西贺州）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．
【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．
22．（2022·内蒙古包头）已知实数a，b满足，则代数式的最小值等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】由已知得b=a+1，代入代数式即得a2-4a+9变形为(a-2)2+5，再根据二次函数性质求解．
【详解】解：∵b-a=1，
∴b=a+1，
∴a2+2b-6a+7
=a2+2(a+1)-6a+7
=a2-4a+9
=(a-2)2+5，
∵(a-2)2≥0，
∴当a=2时，代数式a2+2b-6a+7有最小值，最小值为5，故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的最值，通过变形将代数式化成(a-2)2+5是解题的关键．
23．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，二次函数的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①；②；③；④若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m>4；⑤当x<0时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据二次函数图象与性质逐个结论进行分析判断即可．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为，
∴
∴故①正确；
∵函数图象开口向下，对称轴为，函数最大值为4，
∴函数的顶点坐标为（-1，4）
当x=-1时，
∴
∴，
∵二次函数的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，
∴<<2
∴<4+a<2
∴，故②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴
∴，故③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（-1，4）且方程有两个不相等的实数根，
∴
∴，故④错误；
由图象可得，当x>-1时，y随x的增大而减小，故⑤错误．
所以，正确的结论是①②③，共3个，故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
24．（2022·湖北鄂州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图像顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．
【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则a＜0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P（1，m）∴，b=-2a∵a＜0∴b＞0
∵抛物线与y轴的交点在正半轴∴c＞0∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线经过点A（2，1）∴1＝a·22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正确；
④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下
∴x>1时，y随x的增大而减小，即④正确；
⑤∵a＜0∴at2+bt-（a+b）= at2-2at-a+2a= at2-2at+a=a（t2-2t+1）= a（t-1）2≤0
∴at2+bt≤a+b，则⑤正确综上，正确的共有4个．故答案为C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
25．（2022·四川雅安）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（ ）
①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6．
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【答案】B
【分析】由二次函数的开口向上，函数有最小值，可判断①，由二次函数的增减性可判断②，由二次函数图象的平移可判断③，由二次函数与x轴的交点坐标可判断④，从而可得答案．
【详解】解： y＝（x﹣2）2﹣9，图象的开口向上，
∴当x＝2时，y取得最小值﹣9；故①符合题意；
y＝（x﹣2）2﹣9的对称轴为，而 故②符合题意；
将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣5，故③不符合题意；
当时，则 解得： 而
故④符合题意；故选B
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，掌握“二次函数的图象与性质”是解本题的关键．
二．填空题
26．（2022·辽宁营口）如图1，在四边形中，，动点P，Q同时从点A出发，点P以的速度沿向点B运动（运动到B点即停止），点Q以的速度沿折线向终点C运动，设点Q的运动时间为，的面积为，若y与x之间的函数关系的图像如图2所示，当时，则____________．
【答案】
【分析】根据题意以及函数图像可得出，则点在上运动时，为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式得出当面积最大为时，此时，则，当时，过点作于点，则此时，分别表示出相关线段可得y与x之间的函数解析式，将代入解析式求解即可．
【详解】解：过点作，垂足为，
在中，
∵，，
∴，
∵点P的速度为，点Q的速度为，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴点在上运动时，为等腰直角三角形，
∴，
∴当点在上运动时，，
由图像可知，当此时面积最大，或（负值舍去），
∴，
当时，过点作于点，如图：
此时，
在中，，，
∴，，，
∴，
即，
所以当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，求出各段函数的函数关系式是解答本题的关键．
27．（2022·江苏无锡）把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：________．
【答案】m>3
【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意得到不等式m-3>0，据此即可求解．
【详解】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4，
此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），
函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，m-3），
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴m-3>0，
解得：m>3，
故答案为：m>3．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
28．（2022·福建）已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为______．
【答案】8
【分析】先求出抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点，然后根据，得出，列出关于n的方程，解方程即可。
【详解】解： 把y=0代入得：，
解得：，，
把y=0代入得：，
解得：，，
∵，
∴，
∴，
即，
，
令，则，
解得：，，
当时，，解得：，
∵，
∴不符合题意舍去；
当时，，解得：，
∵，
∴符合题意；
综上分析可知，n的值为8．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用n表示出，列出关于n的方程是解题的关键．
29．（2022·湖北荆州）规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______．
【答案】或
【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得．
【详解】解：函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，
函数（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，
当k=0时，函数解析为，它的“Y函数”解析式为，它们的图象与x轴只有一个交点，
当时，此函数是二次函数，
它们的图象与x轴都只有一个交点，
它们的顶点分别在x轴上，
，得，
故k+1=0，解得k=-1，
故原函数的解析式为，
故它的“Y函数”解析式为，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
30．（2022·贵州黔东南）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______．
【答案】
【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点为（-1，-2），
将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），
旋转后的抛物线为，
再向下平移5个单位，即．
∴新抛物线的顶点（1，-3）
故答案是：（1，-3）．
【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键．
31．（2022·黑龙江大庆）已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为____________．
【答案】1或
【分析】函数图象与坐标轴恰有两个公共点，则分两种情况：第一种情况，函数图象过原点；第二种情况，函数图象与x轴只有一个交点，分别计算即可
【详解】当函数图象过原点时，函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，
此时满足，解得；
当函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时，
此时满足，解得或，
当是，函数变为与y轴只有一个交点，不合题意；
综上可得，或时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点．
故答案为：1或
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质．
32．（2022·山东聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．
【答案】121
【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．
【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得：
，
解得，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
，
∵1<0，
∴当时，w有最大值为121，
故答案为：121．
【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．
33．（2022·广西贵港）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有_______个．
【答案】3
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点(-2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点(1,0)，代入可得：，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．
【详解】∵抛物线的对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0)，
∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1,0)，
∴代入(-2,0)、(1,0)得：，
解得：，故③正确；
∵抛物线开口朝下，
∴，
∴，，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根，
∴方程的判别式，故②正确；
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
即，故④正确；
∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数，在时，y随x的增大而减小，
∵，
∴，故⑤错误，
故正确的有：②③④，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，特别是根据对称轴求出抛物线与x轴的交点是解答本题的关键．
34．（2022·辽宁）如图，抛物线与x轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有___________．（填写代表正确结论的序号）
【答案】①②##②①
【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据x＝-2时判定②，由抛物线图像性质判定④．
【详解】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；
②x＝-2时，函数值小于0，则4a-2b+c＜0，故正确；
③与x轴交于点和点，则对称轴，故，故③错误；
④当时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而减大．故④错误；
综上所述，正确的为①②．
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
35．（2022·四川广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．
【答案】##
【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得，
∴，∴，∴抛物线解析式为：；
当水面下降，水面宽为8米时，有
把代入解析式，得；
∴水面下降米；故答案为：；
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
36．（2022·内蒙古呼和浩特）在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和，抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是______．
【答案】或
【分析】根据抛物线求出对称轴，轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线CD的表达式，分两种情况讨论：当时，当时，利用抛物线的性质可知，当越大，则抛物线的开口越小，即可求解．
【详解】解：抛物线的对称轴为：，当时，，故抛物线与轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线CD的表达式，
当时，且抛物线过点时，
，解得（舍去），
当，抛物线与线段只有一个公共点时，
即顶点在直线CD上，则，解得，
当时，且抛物线过点时，
，解得，
由抛物线的性质可知，当越大，则抛物线的开口越小，且抛物线与线段只有一个公共点，
∴，且，
解得，
综上所述，的取值范围为或，
故答案为或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
37．（2022·黑龙江牡丹江）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________．
【答案】或（答出这两种形式中任意一种均得分）
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．
故答案为y=2（x+1）2﹣2．
考点：二次函数图象与几何变换．
38．（2022·内蒙古赤峰）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为_________．
【答案】（0，1）
【分析】先求出A、B、C、D的坐标，根据CD∥x轴即可求出点关于直线的对称点坐标．
【详解】∵抛物线交轴于、两点，交轴于点，
∴当时，；
当时，
∴
∴OA=OC=5
∴
∵是抛物线上的点
∴，解得
当时，与A重合；
当时，；
∴CD∥x轴，
∴
设点关于直线的对称点M，则
∴M在y轴上，且△DCM是等腰直角三角形
∴DC=CM=6
∴M点坐标为（0，1）
故答案为：（0，1）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是根据对称得到△DCM是等腰直角三角形．
39．（2022·吉林长春）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为_______．
【答案】##
【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若；若，即可求解．
【详解】解：，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
若，当时，y随x的增大而减小，
此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意，
若，当时，函数值y最小，最小值为1，
∴，解得：或（舍去）；
综上所述，a的值为．故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
三．解答题
40．（2022·山东潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图．
小亮认为，可以从y=kx+b(k>0) ，y=(m>0) ，y=−0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．
(1)小莹认为不能选．你认同吗？请说明理由；
(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；
(3)根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？
【答案】(1)认同，理由见解析
(2)①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)；②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1；
(3)在2024年或2025年总年产量最大，最大是7.6吨．
【分析】（1）根据年产量变化情况，以及反比例函数的性质即可判断；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）设总年产量为w，依题意得w=−0.1x2+x+1+0.5x+1，利用二次函数的性质即可求解．
(1)
解：认同，理由如下：
观察①号田的年产量变化：每年增加0.5吨，呈一次函数关系；
观察②号田的年产量变化：经过点（1，1.9），（2，2.6），（3，3.1），
∵1×1.9=1.9，2×2.6=5.2，1.9≠5.2，
∴不是反比例函数关系，
小莹认为不能选是正确的；
(2)
解：由（1）知①号田符合y=kx+b(k>0)，
由题意得，
解得：，
∴①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)；
检验，当x=4时，y=2+1=3，符合题意；
②号田符合y=−0.1x2+ax+c，
由题意得，
解得：，
∴②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1；
检验，当x=4时，y=-1.6+4+1=3.4，符合题意；
(3)
解：设总年产量为w，
依题意得：w=−0.1x2+x+1+0.5x+1=−0.1x2+1.5x+2
=−0.1(x2-15x+-)+2
=−0.1(x-7.5)2+7.625，
∵−0.1<0，∴当x=7.5时，函数有最大值，
∴在2024年或2025年总年产量最大，最大是7.6吨．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的应用，待定系数法求函数式，二次函数的性质，反比例函数的性质，理解题意，利用二次函数的性质是解题的关键．
41．（2022·广西贺州）如图，抛物线过点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)点P坐标为；
(3)存在，
【分析】（1）把代入即可的得出抛物线解析式；
（2）依题意可得出即P点在的平分线上且在抛物线的对称轴上利用等腰三角形的性质，即可得出P点的坐标；
（2）利用铅垂线ME，即可表达出，再由即可列出方程求解．
(1)
根据题意，得
，
解得，
抛物线解析式为：．
(2)
由（1）得，
点，且点，
．
∵当是以BC为底边的等腰三角形
∴PC=PB，
∵OP=OP，
∴，
∴，
设抛物线的对称轴与轴交于H点，则，
∴，
∴，
∵抛物线对称轴，
∴，
∴，
．
点P坐标为．
(3)
存在．
理由如下：过点M作轴，交BC于点E，交x轴于点F．
设，则，
设直线BC的解析式为：，依题意，得：
，
解得，
直线BC的解析式为：，
当时，，
点E的坐标为，
∵点M在第一象限内，且在BC的上方，
，
，
．
∵，
，
解得．
【点睛】此题考查了求抛物线的解析式、等腰三角形的存在性问题，三角形的面积，掌握待定系数法求抛物线的解析式，等腰三角形与函数的特征，三角形面积与函数的做法是解题的关键．
42．（2022·广东）如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作交于点Q．
(1)求该抛物线的解析式；(2)求面积的最大值，并求此时P点坐标．
【答案】(1)
(2)2；P（-1，0）
【分析】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；
（2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由列出函数式求解即可．
(1)
解：∵点A（1，0），AB=4，
∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为；
(2)
解：由（1）得抛物线的解析式为，
顶点式为：，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，
设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P，
由解得：，
∵P在线段AB上，
∴，
∴n的取值范围为-6＜n＜2，
则
∴当n=-2时，即P（-1，0）时，最大，最大值为2．
【点睛】本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
43．（2022·湖南永州）已知关于的函数．
(1)若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值；
(2)若，，时，函数的图象与轴有交点，求的取值范围．
(3)阅读下面材料：
设，函数图象与轴有两个不同的交点，，若，两点均在原点左侧，探究系数，，应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面：
①因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以；
②因为，两点在原点左侧，所以对应图象上的点在轴上方，即；
③上述两个条件还不能确保，两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需．
综上所述，系数，，应满足的条件可归纳为：
请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：
若函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，求的取值范围．
【答案】(1)或，0
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，然后化顶点式即可求得最小值；
（2）利用函数的图象与轴有交点△≥0，即可得出结论；
（3）根据a＞0、a=0、a＜0，分别讨论，再利用△，x=1处函数值的正负、函数对称轴画出草图，结合图象分析即可．
(1)
根据题意，得
解之，得，所以
函数的表达式或，当时，的最小值是-8．
(2)
根据题意，得而函数的图象与轴有交点，所以所以．
(3)
函数的图象
图1： 即，
所以，的值不存在．
图2： 即的值.
图3： 即
所以的值不存在
图4：即
所以的值不存在．
图5：
即
所以的值为
图6：函数与轴的交点为
所以的值为0成立．
综上所述，的取值范围是或．
【点睛】本题考查二次函数的应用．（1）中掌握待定系数法是解题关键；（2）中掌握二次函数与x轴交点个数与△的关系是解题关键；（3）中需注意分类讨论，结合图象分析更加直观．
44．（2022·北京）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为(1)当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值；
(2)点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围．
【答案】(1)（0，2）；2
(2)的取值范围为，的取值范围为
【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点关于对称轴为对称，可得t的值，即可求解；
（2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求解．
(1)
解：当时，，
∴当x=0时，y=2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；
∵，
∴点关于对称轴为对称，
∴；
(2)
解：当x=0时，y=c，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
∴抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ，
∵1＜3，
∴2t＞3，即（不合题意，舍去），
当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，，
此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴，解得：，
∵1＜3，
∴2t＞3，即，
∴，
∵，，对称轴为，
∴，
∴，解得：，
∴的取值范围为，的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
45．（2022·贵州遵义）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．
(1)写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标；
(2)若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，．
①当时，求点的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
【答案】(1)，顶点为
(2)①或；②或．
【分析】（1）根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）①设，则，，根据题意建立方程解方程即可求解；
②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可．
(1)
解：抛物线的“关联抛物线”为，
根据题意可得，的解析式
顶点为
(2)
解：①设，则，
∴
当时，
解得，
当时，方程无解
或
②的解析式
顶点为，对称轴为
，
当时，即时，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
解得（，舍去）
当时，且即时，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
解得（，舍去）
当时，即时，抛物线开向上，对称轴右侧随的增大而增大，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
即
即
解得（舍去）
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．
46．（2022·湖北十堰）已知抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；(2)点是抛物线上一动点（不与点，，重合），作轴，垂足为，连接．①如图1，若点在第三象限，且，求点的坐标；②直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求四边形的周长．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）把点，代入，即可求解；
（2）①过点C作CQ⊥DP于点Q，可得△CPQ为等腰直角三角形，从而得到PQ=CQ，设点，则OD=-m，，再由四边形OCQD为矩形，可得QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，从而得到，即可求解；②过点E作EM∥x轴于点M，先求出直线BC的解析式为，证得四边形为菱形，可得，然后根据△CEM∽△CBO，设点，则点，然后分三种情况讨论，即可求解．
(1)
解：把点，代入得：
，解得：，
∴抛物线解析式为；
(2)
解：①如图，过点C作CQ⊥DP于点Q，
∵点C（0，-3），
∴OC=3，
∵，
∴△CPQ为等腰直角三角形，
∴CQ=PQ，
设点，则OD=-m，，
∵轴，
∴∠COD=∠ODQ=∠CQD=90°，
∴四边形OCQD为矩形，
∴QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，
∴，
∴，
解得：或0（舍去），
∴点；
②如图，过点E作EM∥x轴于点M，
令y=0，，
解得：（舍去），
∴点B（-4，0），
∴OB=4，
∴，
设直线BC的解析式为，
把点B（-4，0），C（0，-3）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
∵点关于直线的对称点落在轴上时，
∴，，，
∵DP⊥x轴，
∴PD∥CE′，
∴，
∴，
∴CE=PE，
∴，
∴四边形为菱形，
∵EM∥x轴，
∴△CEM∽△CBO，
∴，
设点， 则点，
当点P在y轴左侧时，EM=-t，
当-4＜t＜0时，，
∴，
∴，
解得：或0（舍去），
∴，
∴四边形的周长为；
当点P在y轴右侧时，EM=-t，
当t≤-4时，，
∴，解得：或0（舍去），
此时，
∴四边形的周长为；
当点P在y轴右侧，即t＞0时，EM=t，，
∴，解得：或0，
不符合题意，舍去；
综上所述，四边形的周长为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质和菱形的判定方法；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用相似比计算线段的长和解一元二次方程是解题的关键．
47．（2022·河南）红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【答案】(1)
(2)2或6m
【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解；
（2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解．
(1)
解：根据题意可知抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为，
(2)
由，令，
得，
解得，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
48．（2022·浙江台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
(1)若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
【答案】(1)①；②；③
(2)
【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；
②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线，计算即可；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可．
(1)
（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．
图1
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
③如图2，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是．
(2)
的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴，
解得，
代入，得．
所以的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．
49．（2022·河北）如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧．
(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程．
【答案】(1)对称轴为直线，的最大值为4，
(2)5
【分析】（1）由的性质得开口方向，对称轴和最值，把代入中即可得出a的值；
（2）由，得出抛物线是由抛物线C：向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点移动的最短路程．
(1)
，
∴对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，有最大值，即的最大值为4，
把代入中得：
，
解得：或，
∵点在C的对称轴右侧，
∴；
(2)
∵，
∴是由向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，
平移距离为，
∴移动的最短路程为5．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的性质以及平移的方法是解题的关键．
50．（2022·四川雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）．
(1)求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；(3)在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．
【答案】(1)
(2)E的坐标为：或或或
(3)BP的最小值为：
【分析】（1）根据题意可设抛物线为再代入C的坐标可得函数解析式，化为顶点式可得顶点坐标；
（2）如图，由可得抛物线的对称轴为：设 而A（﹣1，0），C（0，-3），再利用勾股定理分别表示 再分三种情况讨论即可；
（3）如图，连结AD，记AD的中点为H，由 则在以H为圆心，HA为半径的圆H上，不与A，D重合，连结BH，交圆H于P，则PB最短，再求解H的坐标，结合勾股定理可得答案．
(1)
解： 二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴设二次函数为：
把C（0，﹣3）代入抛物线可得：
解得：
∴抛物线为：
(2)
如图，由
可得抛物线的对称轴为：
设 而A（﹣1，0），C（0，-3），
当时，，
解得 即
当时，
解得： 即
当时，
整理得：
解得：
综上：E的坐标为：或或或
(3)
如图，连结AD，记AD的中点为H，由
则在以H为圆心，HA为半径的圆H上，不与A，D重合，
连结BH，交圆H于P，则PB最短，
即BP的最小值为：
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，勾股定理的应用，二次函数与圆的综合，判断PB最小时，P的位置是解本题的关键．
51．（2022·江苏泰州）如图，二次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数的图像相交于点B(3，1).
(1)求这两个函数的表达式；(2)当随的增大而增大且时，直接写出的取值范围；
(3)平行于轴的直线l与函数的图像相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数的图像相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；
（2）由图像直接得出结论即可；
（3）根据点和点的坐标得出两三角形等高，再根据面积相等得出，进而确定点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，求出点的坐标即可．
(1)
解：二次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数的图像相交于点，
，，
解得，，
二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
(2)
解：二次函数的解析式为，
对称轴为直线，
由图像知，当随的增大而增大且时，；
(3)
解：由题意作图如下：
当时，，
，
，
的边上的高与的边上的高相等，
与的面积相等，
，
即点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当时，，
．
【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的综合题，熟练掌握二次函数和反比例函数的图像及性质，三角形的面积，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．
53．（2022·浙江丽水）如图，已知点在二次函数的图像上，且．
(1)若二次函数的图像经过点．①求这个二次函数的表达式；②若，求顶点到的距离；
(2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①将点代入中即可求出二次函数表达式；
②当时，此时为平行x轴的直线，将代入二次函数解析式中求出，再由求出直线为，最后根据二次函数顶点坐标即可求解；
（2）分两种情形：若M，N在对称轴的异侧，；若M、N在对称轴的异侧，，x1<2，分别求解即可．
(1)
解：①将点代入中，
∴，解得，
∴二次函数的表达式为：；
②当时，此时为平行x轴的直线，
将代入二次函数中得到：，
将代入二次函数中得到：，
∵，
∴=，
整理得到：，
又∵，代入上式得到：，解出，
∴，即直线为：，
又二次函数的顶点坐标为(2，-1)，
∴顶点(2,-1)到的距离为；
(2)
解：若M，N在对称轴的异侧，，
∴x1+3>2，
∴x1>-1，
∵
∴，
∴-1<，
∵函数的最大值为y1=a（x1-2）2-1，最小值为-1，
∴y-（-1）=1，
∴a=，
∴，
∴；
若M、N在对称轴的异侧，，x1<2，
∵，
∴，
∵函数的最大值为y=a（x2-2）2-1，最小值为-1，
∴y-（-1）=1，
∴a=，
∴，
∴，
综上所述，a的取值范围为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像与性质及二次函数的最值等问题：当开口向上(向下)时，自变量的取值离对称轴越远，其对应的函数值就越大(越小) ．
54．（2022·山东临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
下图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其解析式为．
(1)求b、c的值；
(2)进一步研究发现运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？
【答案】(1)，
(2)① ②时，最大，为
【分析】（1）根据题中所给信息，得出，，利用待定系数法列出关于的二元一次方程组求解即可得出结论；
（2）①根据题意得到当运动员在起跳点腾空时，；空中飞行5s后着陆，，设出一次函数表达式，利用待定系数法求出函数关系式即可；②作轴交抛物线于，交于，利用待定系数法确定直线的函数表达式，再由（1）得出抛物线表达式，求出，表示出运动员离着陆坡的竖直距离，根据抛物线的性质得出当时，有最大值为．
(1)
解：过作于，于，如图所示：
，
着陆坡AC的坡角为30°，即，
，
在中，，
则，
，
，即，，
将，代入得，解得；
(2)
解：①由（1）知，根据运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，设一次函数关系式为，
当运动员在起跳点腾空时，；空中飞行5s后着陆，，
，解得，
水平方向移动距离与飞行时间的一次函数关系式为；
②作轴交抛物线于，交于，如图所示：
设直线的表达式为，将，代入得，解得，即直线的表达式为，
由（1）知抛物线表达式为，
，
运动员离着陆坡的竖直距离，
由可知抛物线开口向下，当时，有最大值为．
【点睛】本题考查用二次函数及一次函数解决实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图像与性质、二次函数求最值等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键．
55．（2022·山东威海）探索发现
(1)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D，连接AD．
①如图1，直线DC交直线x＝1于点E，连接OE．求证：AD∥OE；
②如图2，点P（2，﹣5）为抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G．直线DP交直线x＝1于点H，连接HG．求证：AD∥HG；
(2)通过上述两种特殊情况的证明，你是否有所发现？请仿照（1）写出你的猜想，并在图3上画出草图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），顶点为点D．点M为该抛物线上一动点（不与点A，B，D重合），_______．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)猜想：作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x=1于Q，则QN∥AD，证明见解析
【分析】（1）①将点A和B点的坐标代入抛物线的解析式，从而求得a，b的值，从而得出抛物线的解析式，从而得出点D和点C坐标，进而求得E点坐标和AD的解析式，再求出OE的解析式，从而得出结论；
②方法①求得GH的解析式，进而得出结论；
（2）作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x=1于Q，则QN∥AD，方法同①相同可推出结论．
(1)
解：（1）①由题意得，
，
∴，
∴y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴D（-1，4），C（0，3），
设直线CD的解析式为：y=mx+n，
∴，
∴，
∴y=-x+3，
∴当x=1时，y=-1+3=2，
∴E（1，2），
∴直线OE的解析式为：y=2x，
设直线AD的解析式为y=cx+d，
∴，
∴，
∴y=2x+6，
∴OE∥AD；
②设直线PD的解析式为：y=ex+f，
∴，
∴，
∴y=-3x+1，
∴当x=1时，y=-3×1+1=-2，
∴H（1，-2），
设直线GH的解析式为：y=gx+h，
∴，
∴，
∴y=2x-4，
∴AD∥HG；
(2)
猜想：作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x=1于Q，连接NQ，则QN∥AD，如图，
证明如下：
设M（m，-m2-2m+3），
设直线DM的解析式为y=px+q，
∴，
∴，
∴y=-（m+1）x+（-m+3），
∴当x=1时，y=-m-1-m+3=-2m+2，
∴Q（1，-2m+2），
设直线NQ的解析式为：y=ix+j，
∴，
∴，
∴y=2x-2m，
∴QN∥AD．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，求一次函数解析式，一次函数图象性质等知识，解决问题的关键是掌握一次函数平移的性质．
56．（2022·内蒙古赤峰）【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．
【问题解决】
(1)若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是_________（可省略单位），水池2面积的最大值是_________；
(2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_________，此时的值是_________；
(3)当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_________；
(4)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值；
(5)假设水池的边的长度为，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积关于的函数解析式为：．若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求的值．
【答案】(1)；9
(2)C，E；1，4；
(3)或
(4)
(5)
【分析】（1）将函数解析式化为顶点式即可解决问题；
（2）交点即为面积相等的点，联立方程组，求出交点坐标即可；
（3）观察函数图象，结合点C，点E的坐标可得结论；
（4）求出面积差的函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；
（5）根据面积相等列出一元二次方程，依据，求出b的值即可．
(1)
∵
∴抛物线的顶点坐标为（3，9），对称轴为x=3，
∵水池2的面积随长度的增加而减小，
∴长度的取值范围是；水池2面积的最大值是9；
故答案为：；9；
(2)
由图象得，两函数交于点C，E，
所以，表示两个水池面积相等的点是C，E；
联立方程组
解得，
∴x的值为1或4，
故答案为：C，E；1或4
(3)
由（3）知，C（1，5），E（4，8），
又直线在抛物线上方时，或，
所以，水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或，
故答案为或；
(4)
在范围内，两个水池面积差，
∵
∴函数有最大值，
∵
∴当时，函数有最大值，为
即，当时，面积最大值为
(5)
∵水池3与水池2的面积相等，
∴，
整理得，
∵有唯一值，
∴
解得，
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键．
57．（2022·黑龙江）如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，
【分析】（1）将点，点，代入抛物线得，求出的值，进而可得抛物线的解析式．
（2）将解析式化成顶点式得，可得点坐标，将代入得，，可得点坐标，求出的值，根据可得，设，则，求出的值，进而可得点坐标．
(1)
解：∵抛物线过点，点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：．
(2)
解：存在．
∵，
∴，
将代入得，，
∴，
∴到线段的距离为1，，
∴，
∴，
设，
则，
整理得，，
解得，或，
∴，，
∴存在点P，使的面积是面积的4倍，点P的坐标为，．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
58．（2022·贵州贵阳）已知二次函数y=ax2+4ax+b．
(1)求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；
(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(−1，e)，(−3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；
(3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当−2≤m≤1时，n的取值范围是−1≤n≤1，求二次函数的表达式．
【答案】(1)二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)；
(2)当a<0时，e=f> c>d；当a>0时，e=f< c
【分析】（1）利用配方法即可求解；
（2）由对称轴为直线x=-2，AB=6，得到A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，画出草图，分两种情况，利用数形结合求解即可；
（3）分两种情况，利用数形结合求解即可．
(1)
解：∵y=ax2+4ax+b=a(x2+4x+4-4)+b= a(x+2)2+b-4a，
∴二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)；
(2)
解：由（1）知二次函数的图象的对称轴为直线x=-2，
又∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，
∴A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，
当a<0时，画出草图如图：
∴e=f> c>d；
当a>0时，画出草图如图：
∴e=f< c
解：∵点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，
当a<0时，
根据题意：当m=-2时，函数有最大值为1，当m=1时，函数值为-1，
即，解得：，
∴二次函数的表达式为y=x2x+．
当a>0时，
根据题意：当m=-2时，函数有最小值为-1，当m=1时，函数值为1，
即，解得：，
∴二次函数的表达式为y=x2x-．
综上，二次函数的表达式为y=x2x-或y=x2x+．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式等知识和方法，解第（2）（3）题时应注意分类讨论，求出所有符合条件的结果．
59．（2022·山东青岛）已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．(1)求m的值；(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
【答案】(1)m=1
(2)二次函数的图象与x轴有两个交点，理由见解析．
【分析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2−3即可求得m的值；
（2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案．
(1)
解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4) ，
∴4=4+2m+m2−3，
即m2+2m−3=0，
解得：m1=1，m2=−3，
又∵m>0，
∴m=1；
(2)
解：由（1）知二次函数y=x2+x−2，
∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0，
∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．
【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键．
60．（2022·四川内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)，点D的坐标为（﹣2，2）；
(3)点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．
【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题；
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，可用待定系数法求出直线AC的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，从而可以用m的代数式表示出DG，然后利用得到，可得出关于m的二次函数，运用二次函数的最值即可解决问题；
（3）根据S△PCB：S△PCA=即可求解．
(1)
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
(2)
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图．
设直线AC的解析式为y＝kx+t，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为．
设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，
∴
∴，
∵DE⊥AC，DH⊥AB，
∴∠EDG+∠DGE＝∠AGH+∠CAO＝90°，
∵∠DGE＝∠AGH，
∴∠EDG＝∠CAO，
∴＝＝，
∴，
∴，
∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得最大值．
此时，
即点D的坐标为（﹣2，2）；
(3)
如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝，
则EB：AE＝1：5或5：1
则AE＝5或1，
即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，
解得：n＝﹣2或，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝x+2，
联立方程组或，
解得：x＝6或﹣（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数、图形面积计算等，解决问题的关键是将面积比转化为线段比．
61．（2022·湖北武汉）抛物线交轴于A，两点（A在的左边），是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点．
(1)直接写出A，两点的坐标；
(2)如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点），使，两点到的距离相等，求出所有满足条件的点的横坐标；
(3)如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为．求的值（用含的式子表示）．
【答案】(1)，；
(2)0，或；
(3)．
【分析】（1）令求出x的值即可知道A，两点的坐标；
（2）求出直线的解析式为，分情况讨论：①若点在下方时，②若点在上方时；
（3）设点的横坐标为．过点的直线解析式为．联立，得． 利用A，B点的横坐标求出，，设直线的解析式为，求出，进一步求出，即可求出答案．
(1)
解：令，解得：，，
∴，．
(2)
解：∵，
∴，
∴直线的解析式为．
①若点在下方时，
过点作的平行线与抛物线的交点即为．
∵，，
∴的解析式为．
联立，
解得，，（舍）．
∴点的横坐标为0．
②若点在上方时，点关于点的对称点为．
过点作的平行线，则与抛物线的交点即为符合条件的点．
直线的解析式为．
联立，得，
解得，，．
∴点，的横坐标分别为，．
∴符合条件的点的横坐标为：0，或．
(3)
解：设点的横坐标为．过点的直线解析式为．
联立，得．
设，是方程两根，则．（*）
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
设直线的解析式为，
同（*）得，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，难度较大，需要掌握函数与x轴交点坐标，（1）的
关键是令进行求解；（2）的关键是分点在下方和在上方时两种情况讨论：（3）的关键是求出OP，FP．
62．（2022·湖南常德）如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为．
(1)求此抛物线的解析式；(2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为15时，求的坐标；(3)在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值
【答案】(1)
(2)
(3) 的最大值为
【分析】（1）根据题意可设抛物线为再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）设 且 记OA与对称轴的交点为Q，设直线为： 解得： 可得直线为： 则 利用列方程，再解方程即可；
（3）如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P的坐标．
(1)
解： 抛物线经过点，
∴设抛物线为：
抛物线过，且它的对称轴为．
解得：
∴抛物线为：
(2)
解：如图，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，
设 且 记OA与对称轴的交点为Q，
设直线为：
解得：
直线为：
解得：或
∵ 则
(3)
如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，
设AB为： 代入A、B两点坐标，
解得：
∴AB为：
解得：
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定最大时P的位置是解本题的关键．
63．（2022·湖南娄底）如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点．
(1)请直接写出点，，的坐标；(2)点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．(3)点是抛物线上的动点，作//交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；(2)，面积的最大值；
(3)存在，或或．
【分析】（1）令得到，求出x即可求得点A和点B的坐标，令，则即可求点C的坐标；
（2）过P作轴交BC于Q，先求出直线BC的解析式，根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，的面积最大，利用三角形面积公式求解；（3）根据点是抛物线上的动点，作//交轴于点得到，设，当点F在x轴下方时，当点F在x轴的上方时，结合点，利用平行四边形的性质来列出方程求解．
(1)解：令，则，
解得，，∴，，
令，则，∴；
(2)解：过P作轴交BC于Q，如下图．
设直线BC为，将、代入得
，解得，∴直线BC为，
根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，的面积最大，
∵， ∴ ，，
∴，
∵，∴时，PQ最大为，
而，∴的面积最大为；
(3)解：存在．∵点是抛物线上的动点，作//交轴于点，如下图．
∴，设．
当点F在x轴下方时，∵，即，∴，
解得（舍去），，∴．
当点F在x轴的上方时，令，则 ，
解得，， ∴或．
综上所述，满足条件的点F的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数与平行四边形、二次函数与面积等问题的综合题，主要考查求点的坐标，平行四边形的性质，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等．
64．（2022·广东深圳）二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
(1)的值为 ；
(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出与的交点坐标；
(3)点在新的函数图象上，且两点均在对称轴的同一侧，若则 （填“”或“”或“”）
【答案】(1)
(2)图见解析，和
(3)或
【分析】（1）把点代入即可求解．
（2）根据描点法画函数图象可得平移后的图象，在根据交点坐标的特点得一元二次方程，解出方程即可求解．
（3）根据新函数的图象及性质可得：当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，进而可求解．
【解析】(1)解：当时，，
∴．
(2)平移后的图象如图所示：
由题意得：，解得，
当时，，则交点坐标为：，
当时，，则交点坐标为：，
综上所述：与的交点坐标分别为和．
(3)由平移后的二次函数可得：对称轴，，
∴当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大，
∴当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，
当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，
综上所述：点在新函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若，则或，故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
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