2023年中考数学一轮复习 学案讲义 专题2方程与不等式 第10课时 分式方程及其应用（知识梳理+经典练习）

这是一份2023年中考数学一轮复习 学案讲义 专题2方程与不等式 第10课时 分式方程及其应用（知识梳理+经典练习），共19页。学案主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

定义:分母中含未知数的方程叫做分式方程.
2.分式方程的解法
去分母法:方程两边同乘各分式的最简公分母，,化为整式方程,再求根﹑验根.
检验方法:
解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应做如下检验:
将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解﹔否则,这个解不是原分式方程的解.
换元法:用换元思想将原方程变形,然后去分母,化为整式方程,求出新方程的解,最后代入换元的式子,求方程的根,最后验根.
3.列分式方程解决应用问题
易错点:
列分式方程的应用题要检验两次,第一次是对原方程检验,第二次是对实际意义检验.
第10课时分式方程及其应用
姓名：___________学号：___________
一、单选题
1．下列方程不是分式方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知是分式方程的解，那么实数的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．方程的解是（ ）
A．B．C．D．
4．关于x的分式方程3＝0有解，则实数m应满足的条件是（ ）
A．m＝﹣2B．m≠﹣2C．m＝2D．m≠2
5．已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（ ）
A．﹣2B．﹣3C．﹣2或﹣3D．0或3
6．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
7．关于x的方程的解为正数，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
8．若关于的分式方程有增根，则的值是 （ ）
A．B．-1C．1D．
9．甲、乙两人沿着总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为，则下列方程中正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品?设原计划平均每天可生产箱药品，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ）
A．B．C．D．
12．定义，则方程的解为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．方程的解是_______．
14．关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是_____．
15．若关于x的方程无解，则m的值为__．
16．若关于x的方程＝2+有增根，那么m＝_____
17．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____．
18．A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米小时，则根据题意，可列方程_____．
19．为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同．设B种奖品的单价是x元，则可列分式方程为________．
20．在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同．摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是__________．
三、解答题
21．文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本.
（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？
（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完.）
22．某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
23．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元.
(1)第一批饮料进货单价多少元？
(2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
24．为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？
25．解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
参考答案
1．B
【分析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】
解：A、方程分母中含有未知数x，是分式方程，故本选项不符合题意；
B、方程分母中不含有未知数x，不是分式方程，故本选项符合题意；
C、方程分母中含有未知数x，是分式方程，故本选项不符合题意；
D、方程分母中含有未知数x，是分式方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
2．B
【分析】
将代入原方程，即可求出值．
【详解】
解：将代入方程中，得
解得： ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了方程解的概念．使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．“有根必代”是这类题的解题通法．
3．C
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：去分母得：5（x+3）=x-1，
去括号得：5x+15=x-1，
解得：x=-4，
检验：把x=-4代入得：（x-1）（x+3）≠0，
∴分式方程的解为x=-4．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
4．B
【分析】
解分式方程得：即，由题意可知，即可得到.
【详解】
解：
方程两边同时乘以得：，
∴，
∵分式方程有解，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B.
【点睛】
本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键.
5．C
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】
解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，
整理，得：（m+2）x＝﹣3，
解得：，
①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解，
②∵关于x的分式方程﹣1＝无解，
∴或，
即无解或3（m+2）＝﹣3，
解得m＝﹣2或﹣3．
∴m的值是﹣2或﹣3．
故选C．
【点睛】
本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分母不等于0的条件．
6．B
【分析】
根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解．
【详解】
解：由关于的分式方程可得：，且，
∵方程的解为非负数，
∴，且，
解得：且，
故选B．
【点睛】
本题主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．
7．C
【分析】
先对分式方程去分母，再根据题意进行计算，即可得到答案.
【详解】
解：分式方程去分母得：，
解得：，
根据题意得：，且，
解得：，且．
故选C．
【点睛】
本题考查分式方程，解题的关键是掌握分式方程的求解方法.
8．D
【分析】
首先解出分式方程的解，然后根据增根找到的值，代入分式方程的解中求解即可．
【详解】
，
解得．
∵关于的分式方程有增根，
，
，
，
解得，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查分式方程，掌握增根产生的原因是关键．
9．D
【分析】
根据题意可直接进行求解．
【详解】
解：由题意得：；
故选D．
【点睛】
本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．
10．D
【分析】
设原计划平均每天可生产箱药品，则实际每天生产箱药品，再根据“生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同”建立方程求解即可．
【详解】
解：设原计划平均每天可生产箱药品，则实际每天生产箱药品，
原计划生产4500箱所需要的时间为：，
现在生产6000箱所需要的时间为：，
由题意得：；
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
11．A
【分析】
根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答．
【详解】
解：由题意得：，
故选A.
【点睛】
本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键．
12．B
【分析】
根据新定义,变形方程求解即可
【详解】
∵,
∴变形为,
解得 ，
经检验 是原方程的根，
故选B
【点睛】
本题考查了新定义问题，根据新定义把方程转化一般的分式方程，并求解是解题的关键
13．
【分析】
根据分式方程的解法步骤解出即可．
【详解】
左右同乘2(x+1)得: 2x=3
解得x=．
经检验x=是方程的跟．
故答案为: ．
【点睛】
本题考查解分式方程,关键在于熟练掌握分式方程的解法步骤．
14．且
【分析】
直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．
【详解】
去分母得：，
解得：，
，
解得：，
当时，不合题意，
故且．
故答案为且．
【点睛】
此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意义是解题关键．
15．-1或5或
【分析】
直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案.
【详解】
去分母得：，
可得：，
当时，一元一次方程无解，
此时，
当时，
则，
解得：或.
故答案为：或或.
【点睛】
此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键.
16．-4
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x−1＝0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】
解：方程两边都乘以x−1，得：x＋2＝2（x−1）−m−1，
∵方程有增根，
∴x＝1，
将x＝1代入x＋2＝2（x−1）−m−1得：
m＝−4，
故答案为：−4．
【点睛】
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
17．
【分析】
根据“第二次每人所得与第一次相同，”列分式方程即可得到结论．
【详解】
解：根据题意得，，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关键．
18．
【分析】
直接利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可．
【详解】
解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，
可列方程：．
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出两车所用时间是解题关键．
19．
【分析】
设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，利用数量=总价÷单价，结合用300元购买A种奖品的件数与用240元购买B种奖品的件数相同，即可得出关于x的分式方程．
【详解】
解：设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，
依题意得：，
故答案为：
【点睛】
本题考查了根据实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
20．6
【分析】
估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为 ，然后根据概率公式构建方程求解即可．
【详解】
解：设袋中红球的个数是x个，根据题意得：
，
解得：x=6，
经检验：x=6是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是6个．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是熟练掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
21．（1）甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元；（2）甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大.
【分析】
（1）乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元，根据“用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本”列出方程求解即可；
（2）设甲种图书进货本，总利润元，根据题意列出不等式及一次函数，解不等式求出解集，从而确定方案，进而求出利润最大的方案．
【详解】
（1）设乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元．由题意得：
，
解得：．
经检验，是原方程的解．
所以，甲种图书售价为每本元，
答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元．
（2）设甲种图书进货本，总利润元，则
．
又∵，
解得：．
∵随的增大而增大，
∴当最大时最大，
∴当本时最大，
此时，乙种图书进货本数为（本）．
答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系或不等关系是解应用题的关键．
22．（1）甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；（2）他们最多可购买11棵乙种树苗．
【分析】
（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；
（2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可．
【详解】
（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，
依题意有 ，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，
x+10=30+10=40，
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；
（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有
30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，
解得y≤11，
∵y为整数，
∴y最大为11，
答：他们最多可购买11棵乙种树苗．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系与不等关系列出方程或不等式是解决问题的关键.
23．（1）第一批饮料进货单价为8元.(2) 销售单价至少为11元.
【详解】
【分析】（1）设第一批饮料进货单价为元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的3倍，列方程进行求解即可；
（2）设销售单价为元，根据两批全部售完后，获利不少于1200元，列不等式进行求解即可得.
【详解】（1）设第一批饮料进货单价为元，则：
解得：
经检验：是分式方程的解
答：第一批饮料进货单价为8元.
（2）设销售单价为元，则：
，
化简得：，
解得：，
答：销售单价至少为11元.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关键.
24．（1）乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．（2）10天.
【分析】
（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为x米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，根据总费用=甲队每天所需费用×工作时间+乙队每天所需费用×工作时间结合总费用不超过145万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】
（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为x米，
根据题意得：，
解得：x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，
∴x=×40=60，
答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米；
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，
根据题意得：7m+5×≤145，
解得：m≥10，
答：至少安排甲队工作10天．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．（1）；（2）；（3）无解；（4）
【分析】
（1）方程两边都乘以2x(x+3)，将分式方程化为整式方程，解这个方程，检验即可；
（2）方程两边都乘以3(x+1)，将分式方程化为整式方程，解这个方程，检验即可；
（3）方程两边都乘以(x+1) (x-1)，将分式方程化为整式方程，解这个方程，检验即可；
（4）方程两边都乘以x (x+1) (x-1)，将分式方程化为整式方程，解这个方程，检验即可．
【详解】
解（1），
方程两边都乘以2x(x+3)，得：，
解这个方程得：
检验：当x=1时，，
∴x=1是原分式方程的解；
（2），
方程两边都乘以3(x+1)，得：，
解这个方程得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解；
（3），
方程两边都乘以 (x+1) (x-1)，得：，
解这个方程得：，
检验：当x=1时，，
∴x=1不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解；
（4）
方程两边都乘以x(x+1) (x-1)，得：，
解这个方程得：
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
【点睛】
本题考查分式方程的解法，掌握解分式方程的方向与步骤是解题关键．