2023年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）第04讲 几何初步、相交线、平行线

第04讲  几何初步、相交线、平行线易错点梳理

易错点01  对几何体的分类不明确而出错

图形的各部分不都在同一平面内的是立体图形，图形的各部分都在同一平面内的是平面图形。

易错点02  射线的表示易忽视字母的顺序

用两个大写字母表示射线时，应把表示端点的字母写在前面。

易错点03  尺规作图忘记保留作图痕迹

尺规作图时，要保留作图痕迹，并且写出作图结论。

易错点04  度分秒的计算混淆十进制和六十进制

在进行有关度分秒的计算时，要满60进1。

易错点05  混淆平行线的判定与性质

性质是由平行线得到相关角的关系，判定是由相关角的关系得到平行线。

易错点06  对平移的概念理解错误

在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，经过平移后的图形与原来的图形相比只是位置发生了变化，其余什么都没有改变。

考向01  几何图形的展开图

例题1：（2021·广西百色·中考真题）下列展开图中，不是正方体展开图的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【思路分析】根据正方体的展开图特征解题．

【解析】解：A.是正方体的展开图，故A不符合题意；B.是正方体的展开图，故B不符合题意；C.是正方体的展开图，故C不符合题意；D.不是正方体的展开图，故D符合题意，故选：D．

【点拨】本题考查正方体的展开图，熟知正方体的11种展开图是解题关键．

例题2：（2021·辽宁大连·中考真题）某几何体的展开图如图所示，该几何体是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【思路分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．

【解析】解：由该几何体的展开图可知该几何体是圆锥；故选D．

【点拨】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握简单几何体的展开图是解题的关键．

考向02  平面图形的认识

例题3：（2021·山东枣庄·中考真题）小明有一个呈等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图的九个空格，下面有四种积木的搭配，其中不能放入的有（    ）

A．搭配① B．搭配② C．搭配③ D．搭配④

【答案】D

【思路分析】将每个搭配的两组积木进行组合，检验是否可得出图中剩下的九个空格的形状，由此即可得出答案．

【解析】解：搭配①、②、③两组积木组合在一起，均可组合成图中剩下的九个空格的形状，只有搭配④不能，

故选：D．

【点拨】本题考查了图形的剪拼，解题关键是培养学生的空间想象能力以及组合意识．

例题4：（2021·四川乐山·中考真题）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示．19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆成的“叶问蹬”图．则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为（ ）

A．3 B． C．2 D．

【答案】A

【思路分析】根据由边长为4的正方形分割制作的七巧板，可得共5种图形，然后根据阴影部分的构成图形，计算阴影部分面积即可．

【解析】解：如下图所示，由边长为4的正方形分割制作的七巧板，共有以下几种图形：

①腰长是的等腰直角三角形，

②腰长是的等腰直角三角形，

③腰长是的等腰直角三角形，

④边长是的正方形，

⑤边长分别是2和，顶角分别是和的平行四边形，

根据图2可知，图中抬起的“腿”（即阴影部分）是由一个腰长是的等腰直角三角形，和一个边长分别是2和，顶角分别是和 的平行四边形组成，

如下图示，

根据平行四边形的性质可知，顶角分别是和的平行四边形的高是，且 ，

∴一个腰长是的等腰直角三角形的面积是：，

顶角分别是和的平行四边形的面积是：，

∴阴影部分的面积为：，故选：A．

【点拨】本题考查了七巧板中的图形的构成和面积计算，熟悉七巧板中图形的分类是解题的关键．

考向03  直线、射线、线段

例题5：（2021·内蒙古·中考真题）已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（   ）

A．1 B．3 C．1或3 D．2或3

【答案】C

【思路分析】先分C在AB上和C在AB的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可．

【解析】解：如图：当C在AB上时，AC=AB-BC=2,

∴AD=AC=1

如图：当C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=6,

∴AD=AC=3

故选C．

【点拨】本题主要考查了线段的和差、中点的定义以及分类讨论思想，灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键．

例题6：（2021·浙江台州·中考真题）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（   ）

A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短

C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线

【答案】A

【思路分析】根据线段的性质即可求解．

【解析】解：两地距离显示的是两点之间的线段，因为两点之间线段最短，所以导航的实际可选路线都比两地距离要长，故选：A．

【点拨】本题考查线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键．

考向04  角

例题7：（2021·山东济南·中考真题）如图，，，平分，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【思路分析】由题意易得，然后根据角平分线的定义可得，进而根据平行线的性质可求解．

【解析】解：∵，，

∴，，

∵平分，

∴，

∴；故选B．

【点拨】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键．

例题8：（2021·广西百色·中考真题）已知∠α＝25°30′，则它的余角为（    ）

A．25°30′ B．64°30′ C．74°30′ D．154°30′

【答案】B

【思路分析】根据互为余角相加等于以及度分秒的进率计算即可．

【解析】解：∵∠α＝25°30′，∴它的余角为，故选：B．

【点拨】本题主要考查余角的性质以及度分秒的计算，熟知度分秒的进率为60是解题的关键．

考向05  相交线及其形成的角

例题9：（2021·广西桂林·中考真题）如图，直线a，b相交于点O，∠1＝110°，则∠2的度数是（　　）

A．70° B．90° C．110° D．130°

【答案】C

【思路分析】根据对顶角的性质即可求解．

【解析】∵直线a，b相交于点O，∠1＝110°，∴∠2=∠1＝110°，故选：C．

【点拨】此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知对顶角的性质．

例题10：（2021·广西贺州·中考真题）如图，下列两个角是同旁内角的是（    ）

A．与 B．与 C．与 D．与

【答案】B

【思路分析】根据同旁内角的概念求解即可．

【解析】解：由图可知，∠1与∠3是同旁内角，∠1与∠2是内错角，∠4与∠2是同位角，故选：B．

【点拨】本题考查了同旁内角的概念，属于基础题，熟练掌握同位角，同旁内角，内错角的概念是解决本题的关键．

考向06  平行线的判定与性质

例题11：（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，AM∥BN，∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，则∠CBN的度数是（    ）

A．35° B．45° C．55° D．65°

【答案】C

【思路分析】过C点作CF∥AM，利用平行线的性质解答即可．

【解析】解：过C点作CF∥AM，

∵AM∥BN，

∴AM∥CF∥BN，

∴∠MAC＝∠ACF，∠CBN＝∠FCB，

∵∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，

∴∠CBN＝∠FCB＝∠ACB﹣∠ACF＝∠ACB﹣∠MAC＝90°﹣35°＝55°，故选：C．

【点拨】本题主要考查了平行线的性质和判定，根据题意构造平行线，并熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．

例题12：（2021·四川内江·中考真题）如图，，，，则的度数为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【思路分析】根据平行线的性质以及三角形外角的性质可得结果．

【解析】解：如图，

，，，

，

，

．故选：．

【点拨】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟知两直线平行，内错角相等以及三角的外角等于与它不相邻的两个内角的度数．

考向07  命题与证明

例题13：（2021·山东日照·中考真题）下列命题：①的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；②天气预报说明天的降水概率是，则明天一定会下雨；④若一个多边形的各内角都等于，则它是正五边形，其中真命题的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【思路分析】利用算术平方根的定义、菱形的对称性、概率的意义及多边形的内角和等知识分别判断后即可确定正确的选项．

【解析】解：①的算术平方根是，故原命题错误，是假命题；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，是真命题；②天气预报说明天的降水概率是，则明天下雨可能性很大，但不确定是否一定下雨，故原命题错误，是假命题；④若一个多边形的各内角都等于，各边也相等，则它是正五边形，故原命题错误，是假命题；真命题有1个，故选：B．

【点拨】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解算术平方根的定义、菱形的对称性、概率的意义及多边形的内角和等知识，难度不大．

例题14：（2021·广东广州·中考真题）下列命题中，为真命题的是（    ）

（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形

（2）对角线互相垂直的四边形是菱形

（3）对角线相等的平行四边形是菱形

（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形

A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）

【答案】B

【思路分析】正确的命题叫真命题，根据定义解答．

【解析】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故（1）是真命题；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故（2）不是真命题；对角线相等的平行四边形是矩形，故（3）不是真命题；有一个角是直角的平行四边形是矩形，故（4）是真命题；故选：B．

【点拨】此题考查真命题的定义，熟记定义并正确掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．

一、单选题

1．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解：由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知，这个几何体是三棱柱．故选：C．

2．（2021·山东·济宁学院附属中学二模）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（　　）

A．30海里 B．海里 C．20海里 D．海里

【答案】D

【分析】解：如图：由题意得，AC＝60×0.5＝30海里，

∵CD∥BF，
∴∠CBF＝∠DCB＝60°，又∠ABF＝15°，
∴∠ABC＝45°，
∵AE∥BF，
∴∠EAB＝∠FBA＝15°，又∠EAC＝75°，
∴∠CAB＝90°，

∴，

∴BC＝AC＝30海里，故选：D．

3．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝65°，则∠2的度数为（　　）

A．65° B．35° C．15° D．25°

【答案】D

【分析】解：如图，

∵直尺的两边互相平行，∠1＝65°，

∴∠3＝∠1＝65°，

又∵∠3与∠2互余，

∴∠2＝90°﹣65°＝25°．故选：D．

4．（2021·河北·三模）如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中α和β互为补角的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】解：A、∠α与∠β相等，不互补，故本选项不合题意；B、∠α与∠β互余，故本选项不合题意；C、∠α与∠β相等，不互补，故本选项不合题意；D、∠α和∠β互补，故本选项符合题意，故选：D．

5．（2021·广西玉林·一模）已知：∠，则∠的余角是（   ）

A．39° B．49° C．59° D．139°

【答案】B

【分析】：根据余角的概念，这个角的余角为：90°-41°=49°．故选：B．

6．（2021·安徽·合肥市五十中学东校三模）如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（    ）

A．114° B．142° C．147° D．156°

【答案】C

【分析】∵CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，

∴，

∵a∥b，

∴，

又∵BC平分∠ABD，

∴，

∴；故答案选C．

7．（2021·山东·济宁学院附属中学二模）如图，直线，将含有45°角的三角板的直角顶点C放在直线b上，若，则的度数是（　　）

A．25° B．20 C．35 D．30

【答案】A

【分析】解：过作直线，

直线，

∴，

，，

，

，故选：A．

8．（2021·河北竞秀·一模）在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q，并折出过点Q且与l垂直的直线．这样的直线能折出（    ）

A．0条 B．1条 C．2条 D．3条

【答案】B

【分析】解：根据垂线的性质，这样的直线只能作一条，故选：B．

9．（2021·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室二模）下列说法错误的个数是（       ）

①永不相交的两条直线叫做平行线

②13名同学中至少有两名同学的出生月份相同是必然事件

③周长相等的所有的等腰直角三角形全等

④每个内角都相等的多边形是正多边形

⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】①同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，故①错误；②13名同学中至少有两名同学的出生月份相同是必然事件，故②正确；③所有的等腰直角三角形角度都相等，周长相等则边长相等，所以全等，故③正确；④各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形，故④错误；⑤平分弦(不是直径)的直径垂直于弦且平分这条弦所对的两条弧，故⑤错误；∴错误个数是3个；故选C．

10．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）如图，锐角△ABC中，点D是边AB的中点，点E在边AC上，有如下两个命题：①如果DE//BC，那么DE＝BC；②如果DE＝BC，那么DE//BC．下列判断正确的是（    ）

A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题

C．①②都是真命题 D．①②都是假命题

【答案】A

【分析】解：∵DE//BC，且点D是边AB的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴故①是真命题；

如图：当E恰好是AC的中点时，过点D作DF⊥AC于F，

∵△ABC是锐角三角形，

∴由三角形中位线定理可知三角形ADE也必定是锐角三角形，

∴DE＞DF，

∴在AF上还可以找到一点P，使得，即E在P点位置时满足，但是DE与BC不平行，故②是假命题，故选A．

二、填空题

11．（2021·浙江·温州绣山中学三模）一个直棱柱的立体图如图所示，该几何体的表面积为____cm2

【答案】84

【分析】解：由题意，该直棱柱为直三棱柱，

上下底面的三角形三边均为3、4、5，

∵，

∴该三角形为直角三角形，

∴该几何体的表面积为，

故答案为：84．

12．（2021·广西玉林·一模）将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若，则的大小为________．

【答案】70°

【分析】如图，

因为a∥b，

所以∠2=∠3，

因为∠1=65°，∠4=45°，

所以∠3=180°-∠1-∠4=70°，即∠2=70°.

故答案为：70°

13．（2021·江苏洪泽·二模）如图，一副三角板按图示放置，已知∠AOC＝65°，则∠AOB＝______°．

【答案】155

【分析】解：∵∠BOC＝90°，

∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝65°+90°＝155°

故答案为：155．

14．（2021·宁夏兴庆·一模）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上．处到灯塔的距离是_______海里．

【答案】60

【分析】依题意可得∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，

∴∠APB＝180°−∠PAB−∠ABP＝30°，

∴PB＝AB＝60海里

故答案为：60．

15．（2021·广东·佛山市华英学校一模）如图，直线a，b，a//b，点C在直线b上，∠DCB＝90°，若∠1＝70°，则∠2的度数为______．

【答案】20°

【分析】解：∵∠1＝70°，∠1与∠3是对顶角，

∴∠3＝∠1＝70°．

∵a//b，点C在直线b上，∠DCB＝90°，

∴∠2+∠DCB+∠3＝180°，

∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠DCB＝180°﹣70°﹣90°＝20°．

故答案为：20°．

16．（2021·吉林朝阳·二模）命题“同位角相等”是_______(填“真”或“假”，）命题

【答案】假

【分析】解：两直线平行，同位角相等，命题“同位角相等”是假命题，因为没有说明前提条件．故答案为：假．

三、解答题

17．（2021·湖北武汉·模拟预测）如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，∠E＝∠F，求证：CE∥DF．

【答案】见解析．

【分析】证明：，

，

，

，

，

．

18．（2021·湖北江岸·模拟预测）如图，D、B分别为AE、FC上的点，∠1＝∠2，∠A＝∠C．

求证：∠E＝∠F．

【答案】见解析

【分析】证明：∵∠1＝∠2 ，
∴DC//AB，
∴∠C＝∠ABF，
又∵∠C＝∠A，

∴∠ABF＝∠A ，

∴AE∥FC ，

∴∠E＝∠F．

19．（2021·浙江南湖·二模）已知，和中，，．试探究：

（1）如图1，与的关系是______；

（2）如图2，写出与的关系，并说明理由；

（3）根据上述探究，请归纳得到一个真命题．

【答案】（1）；（2），见解析；（3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补

【分析】证明：如下图：

设DE交BC于点G
∵
∴

又∵

∴

∴

（2）如下图：设BC与DE交于点G

∵，

∴

又∵

∴，

∵

∴．

（3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．

20．（2021·陕西师大附中模拟预测）如图，请用尺规在的边上找一点P，使得的长最小．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】作图见详解．

【分析】解：以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D，

然后以B、D为圆心，以AB为半径画弧，两弧交于E点，

连结AE交BC与P，

点P为所求，

∵AB=AD=BE=ED，

∴四边形ABED为菱形，

∴AE⊥BD，BP=DP，

根据点A到直线BD的垂线段AP最短，

∴点P为所求．

21．（2021·湖北武昌·二模）如图，点在上，，．求证：.

【答案】见解析．

【分析】∵  

 ∴

∴

∵

∴

∴.