第14讲 圆（压轴题组）-2022年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）

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（1）如图1，在倍对角四边形ABCD中，∠D＝2∠B，∠A＝2∠C，求∠B与∠C的度数之和；
（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．求证：四边形DBCF是倍对角四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G．当4DH＝3BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．
【答案】（1）120°；（2）见解析；（3）
【详解】
（1）解：在倍对角四边形ABCD中，∠D＝2∠B，∠A＝2∠C，
∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴3∠B+∠3∠C＝360°，
∴∠B+∠C＝120°，
∴∠B与∠C的度数之和为120°；
（2）证明：在△BED与△BEO中，
，
∴△BED≌△BEO（SAS），
∴∠BDE＝∠BEO，
∵∠BOE＝2∠BCF，
∴∠BDE＝2∠BCF
连接OC，
设∠EAF＝α，则∠AFE＝2α，
∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣2α，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝α，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝180°﹣2α，
∴∠EFC＝∠AOC＝2∠ABC，
∴四边形DBCF是倍对角四边形；
（3）解：过点O作OM⊥BC于M，
∵四边形DBCF是倍对角四边形，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴BC＝2BM＝BO＝BD，
∵DG⊥OB，
∴∠HGB＝∠BAC＝60°，
∵∠DBG＝∠CBA，
∴△DBG∽△CBA，
∴＝，
∵4DH＝3BG，BG＝2HG，
∴DG＝GH，
∴＝，
∵
∴＝．
2．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级期中）已知，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD、AC相交于点E，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点C作于点F，交BD于点G，当时，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AO并延长交BD于点H，当，时，求OH的长．
【答案】
（1）证明见详解；（2）见详解;（3）OH= ．
【详解】
（1）证明：∵，
∴∠ACB=∠ABC，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠ABC，
∵∠ADC=∠CDB+∠ADB，
∴∠ADC+∠ABC=∠CDB+∠ADB+∠ADB=∠CDB+2∠ADB=180°，
∴；
（2）证明：过点C作CN⊥DB，交BD于N，交于M，
∵
∴∠MCB=180°-∠CNB-∠DBC=45°，
∴∠MCB=∠DBC=45°，
∴MB=DC
∵AB=AC，
∴
∴AD=AM
∴∠ACM=∠DBA
∵∠CNG=∠GFB，∠NGC=∠FGB，
∴∠NCG=180°-∠CNG-∠NGC=180°-∠GFB-∠FGB=∠GBF=∠ECN，
在△CEN和△CGN中
∴△CEN≌△CGN（ASA），
∴CE=CG;
（3）解：过C作CP//AH交BD于P，连结AP，连结OE，连结CH，延长AO交BC于Q，过O作OM⊥AB于M，
∵E为AC中点，OE为弦心距，
∴OE⊥AC，
∵AB=AC，
∴OE=OM，
∴AQ平分∠CAB，
∴AQ⊥BC，
∵CQ=BQ，点H在AQ上，
∴CH=BH，
∵∠DBC=45°，
∴∠HCB=∠DBC=45°，
∴∠CHB=180°-∠HCB-∠DBC=90°，
∴CH⊥BD，
∵CE=CG，
∴EH=GH=3，
∵CP//AH，
∴∠PCE=∠HAE，
在△PCE和△HAE中，
，
∴△PCE≌△HAE（AAS），
∴PE=HE=3，
∵PE=HE，CE=AE，
∴四边形PAHC为平行四边形，
∴AP=CH，∠APH=∠CHP=90°，
∵∠HBQ=45°，∠HQB=90°，
∴∠QHB=180°-∠HBQ-∠HQB=180°-90°-45°=45°，
∴∠PHA=∠QHB=45°，
∵∠APH=90°，
∴∠PAH=90°-∠PHA=90°-45°=45°，
∴∠PAH=∠PHA=45°，
∴△APH为等腰直角三角形，
∵PH=PE+EH=6，
∴AP=PH=6，
在Rt△PAH中，AH=
∵HB=CH=6，∠CHB=90°，BC=，
∴CQ=BQ=，
在Rt△EHC中EC=，
∴AC=2CE=，AE=CE=，
在Rt△ACQ中AQ=，
∵∠EAO=∠QAC，∠AEO=∠AQC=90°
∴△AEO∽△AQC，
∴，即，
解得AO=，
OH=AH-AO=-．
3．（2021·江苏·连云港市新海实验中学九年级期中）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AC、BD相交于点E．
（1）如图①，若CD∥AB，求证：AC＝BD；
（2）如图②，若AD＝6，BC＝8，∠AEB＝90°，求圆O的半径；
（3）如图③，若AD＝4，BC＝6，∠AED＝60°，求圆O的半径；
【答案】（1）见解析；（2）5；（3）
【详解】
解：（1）∵，
∴∠ACD=∠CAB，
∵∠ACD=∠ABD，
∴∠ABD=∠BAC，
又∵∠ADB=∠BCA，AB=BA，
∴△ADB≌△BCA（AAS），
∴AC=BD；
（2）如图所示，连接AO并延长与圆O交于F，连接DF，
∴∠ADF=90°，
∵∠AEB＝90°，
∴∠AED=∠BEC=∠AEB=90°，
又∵∠DAE=∠CBE，
∴△DAE∽△CBE，
∴，
∵∠AEB=∠ADF=90°，∠ABD=∠AFD，
∴△ABE∽△AFD，
∴即，
∴，
∴，
∴圆O的半径为5；
（3）如图所示，过点B作交圆O于G，连接DO并延长与圆O交于F，连接GF，连接GA，过点D作DH⊥GA交GA延长线于H，
∵，
∴∠DBG=∠AED=60°，∠CAB=∠ABG，
∴AG=BC=6，
又∵∠GFD=∠DBG，
∴∠GFD=60°，
∵DF是圆的直径，
∴∠DGF=90°，
∴∠GDF=30°，
∴DF=2GF，
∴，
∵四边形AGFD是圆内接四边形，
∴∠DAG+∠DFG=180°，
又∵∠DAG+∠DAH=180°，
∴∠DAH=∠DFG=60°，
∵∠DHA=90°，
∴∠ADH=30°，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴圆O的半径为．
4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为(1，4)．
（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；
（2）求⊙M的半径和圆心M的坐标；
（3）如图2，在x轴上有点P(7，0)，试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）⊙M的半径为，圆心的坐标为；（3）存在，或．
【详解】
解：（1）∵抛物线的顶点的坐标为，
∴，解得，
则抛物线的解析式为，
令，则，解得或，
令，则，
故；
（2）如图1，连接，
，
中点的坐标为，
∵三角形外心为三边中垂线交点，
∴设，且，
，
解得，
，
，
故⊙M的半径为，圆心的坐标为；
（3）由（1）知，，
，
设直线的函数解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的函数解析式为，
设点的坐标为，
则，
要使三点构成的三角形与△ABC相似，则△ACB∽△PQB或△ACB∽△QPB，此时，
，
①当△ACB∽△PQB时，
则，即，
解得，
经检验，是所列方程的解，
则此时点的坐标为；
②当△ACB∽△QPB时，
则，即，
解得，
经检验，是所列方程的解，
则此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
5．（2021·江苏·常州市北郊高级中学九年级期中）在图1至图3中，⊙O的直径，切⊙O于点，，连接交⊙O于点，连接，是线段上一点，连接．
（1）如图1，当点，的距离最小时，求的长；
（2）如图2，若射线过圆心，交⊙O于点，，求的值；
（3）如图3，作于点，连接，直接写出的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】
（1）如图，
⊙O的直径，切⊙O于点，，
在Rt△中，
是直径
根据点到直线的距离垂线段最短，即可知当时，点，的距离最小，
；
（2）如图，连接，
是⊙O的直径，
，
，
解得（负值舍去）
，
又
，
即
（3）如图，以为直径作⊙G，则为的中点，
Rt△BDC中
点在⊙G上，
，
当三点共线时，最小
此时，在中，
．
的最小值为．
6．（2021·江苏溧阳·九年级期中）概念认识：平面内，M为图形T上任意一点，N为⊙O上任意一点，将M、N两点间距离的最小值称为图形T到⊙O的“最近距离”，记作d（T－⊙O）．例：如图1，在直线l上有A、C、O三点，以AC为对角线作正方形ABCD以点O为圆心作圆，与l交于E、F两点，若将正方形ABCD记为图形T，则C、E两点间的距离称为图形T到⊙的“最近距离”．
数学理解：
（1）在平面内有A、B两点，以点A为圆心，5为半径作⊙A，将点B记为图形T，若d（T－⊙A）＝2，则AB＝________．
（2）如图2，在平面直角坐标系中，以O（0，0）为圆心，半径为2作圆．
①将点C（4，3）记为图形T，则d（T－⊙0）＝_________．
②将一次函数y＝kx＋2的图记为图形T，若d（T－⊙）＞0，求k的取值范围．
推广运用：
（3）在平面直角坐标系中，P的坐标为（t，0），⊙P的半径为2，D、E两点的坐标分别为（5，5）、（5，－5），将△DOE记为图形T，若d（T－P）＝1，则t＝___________．
【答案】（1）；（2）①3；②；（3）
【详解】
解：（1）如图1中，
∵d（T－⊙A）=2，
∴CB＝CB′＝2，
∵AC＝5，
∴AB′＝3，AB＝7．
故答案为：3或7．
（2）①如图2中，连接OC交⊙O于E．
∵C（4，3），
∴OC＝，
∵OE＝2，
∴EC＝3，
∴d（T－⊙O）＝3．
故答案为：3．
②如图，设直线y=kx+2与⊙O相切于E，K．连接OK，OE．
∵OE⊥DE，OK⊥DK，OD=2√2，OE=OK=2，
∴DK＝， DE=，
∴DE＝OE＝DK＝OK，
∴四边形DEOK是菱形，
∵∠DKO＝∠DEO=90°，
∴四边形DEOK是正方形，
∴∠ODE＝∠ODK＝45°，
∴直线DE的解析式为y＝－x+2，直线DK的解析式为y＝x+2 ，
∵d（T－⊙O）＞0，
∴观察图象可知满足条件的k的值为－1＜k＜1且k≠0．
（3）∵D、E两点的坐标分别为（5，5）、（5，－5），设DE与x轴相交于点N，
∴ON=5，
∵P的坐标为（t，0），⊙P的半径为2，且d（T－P）＝1，
∴点P不可能在△DOE内部．
则点P可分别在△DOE左侧和右侧两种情况：
①如图3-1中，当点P在△DOE左侧时，⊙P交x轴于M，
∴PM＝2，
∵d（T－⊙P）＝1，
∴OP＝3，
∴t＝－3．
②如图3-2中，当点P在△DOE的右侧时，
∵d（T－⊙P）＝1，ON＝5，
即MN＝1，
∴OM＝6，
∵PM＝2，
∴OP＝6，
∴t＝8．
综上所述，满足条件的t的值为－3或8．
7．（2021·湖北·宜昌市第三中学九年级期中）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，是劣弧的中点，直线于点，则．请证明此结论；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，，组成⊙O的一条折弦．是劣弧的中点，直线于点，则．可以通过延长、相交于点，再连接证明结论成立．请写出证明过程；
（3）如图3，，组成⊙O的一条折弦，若是优弧的中点，直线于点，则，与之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），理由见解析
【详解】
证明：（1）如图1，连接，，
是劣弧的中点，
，
，
，
，，
，
为等腰三角形，
，
；
（2）如图2，延长、相交于点，再连接，
是圆内接四边形，
，
是劣弧的中点，
，
，
为等腰三角形，
，，
，
，
（3）．
连接，，，、相交于点，
弧弧，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
．
8．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）对于⊙C与⊙C上一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q，且PA＝2QA，则称点P为点A关于⊙C的“倍距点”．已知平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（-3，0）．
（1）如图1，点O为坐标原点，⊙O的半径是3，点P是点A关于⊙O的“倍距点”．
①若点P在x轴正半轴上，则点P的坐标是 ；
②若点P在第一象限，且∠PAO＝30°，求点P的坐标；
（2）设点M（m，0），以点M为圆心，MA长为半径作⊙M，一次函数y＝x+的图象分别与x轴、y轴交于D、E，若一次函数y＝x+的图象上存在唯一一点P，使点P是点A关于⊙M的“倍距点”，请你直接写出m的值．
【答案】（1）①（9，0）；②点P（6，）；（2）m=．
【详解】
解：（1）①∵点P在x轴正半轴上，AP交⊙O于Q，
∴AQ为⊙O的直径，AQ=2OA=6，
∴AP=2AQ=12，
∴OP=AP-OA=12-3=9，
∴点P（9，0），
故答案为（9，0）；
②AP交⊙O于Q，设⊙O于x轴交于B，连结QB，过P作PC⊥x轴于C，
∵AB=6，∠PAO=30°，
∴AQ=ABcs30°=6×，
∴AP=2AQ=，
∴PC=AP·sin30°=，AC=AP·cs30°=，
∴OC=AC-AO=9-3=6，
∴点P（6，）；
（2）过点M作MG⊥AQ于G，
一次函数y＝x+的图象分别与x轴、y轴交于D、E，
当x=0时，y=，点E（0，），
当y=0时，x+=0，解得x=-6，点D（-6，0），
∵tan∠EDO=，
∴∠EDO=30°，
当AP⊥DE时，AP长唯一，AP=AD×sin30°=[-3-（-6）] ，
∵AP=2AQ，
∴AQ=，
∵AQ为弦，AG⊥AQ，
∴AG=QG=，
∵AP⊥DE，MG⊥AP，
∴MG∥DE，
∴∠GMA=∠EDO=30°，
∴MA=2AG=，
点M在点A左侧AP与⊙M有交点，
∴-3-m=，
∴m=．
9．（2021·浙江·宁波东海实验学校九年级期中）（提出问题）
如图1，直径AB垂直弦CD于点E，AB＝10，CD＝8，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变．
（特殊位置探究）
（1）当DP＝2时，求tan∠P和线段AQ的长；
（一般规律探究）
（2）如图2，连接AC，DQ，在点P运动过程中，设DP＝x，y．
①求证：∠ACQ＝∠CPA；
②求y与x之间的函数关系式；
（解决问题）
（3）当OF＝1时，求△ACQ和△CDQ的面积之比．（直接写出答案）
【答案】(1)tan∠P，AQ＝8；(2)①答案见解析，②y；(3) 或．
【详解】
解：(1)连接OD，

∵直径AB⊥CD，AB＝10，CD＝8，
∴DE=CD=4，OD=，
∴
∴AE=OA+OE=5+3=8，
∵DP=2，
∴PE=PD+DE=2+4=6，
∴tan∠P=，
连接BQ，则∠AQB=90°，
∵
在RT△ABQ中，
AQ＝ABcs∠BAQ==10×=8．
(2)①证明：连接BQ，AC，
∵，
∴∠ACQ=∠ABQ，
∵AB为直径，
∴∠QAB+∠ABQ= 90°，
∴AB⊥CP，
∴∠P+∠BAP= 90°，
∴∠ACQ =∠CPA．
②连接BC，过点A作AC的垂线交CQ的延长线于点N，
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠NAC=90°，
∴BC∥AN，
∴△FCB∽△FNA，
∴，
∵AB⊥CD，AE=8，CE=4，
∴，，
tan∠P=，
∵DP=x，
∴y=
(3)当OF= 1时，F在O的右边时，AF = 6；当F在O的左边时，AF =4．
当AF=6时，则BF=4，
∴y=，
∴
解得x=．
经检验：是原方程的根且符合题意．
如图，连接QD，
∵四边形ACDQ为⊙O的内接四边形，
∵∠ACQ= ∠P，∠ CAQ= ∠PDQ，
∴△PDQ∽△CAQ．
∴
∴
∴
当AF=4时，y=，解得x = 20．
同理可得
∴当OF= 1时，△CDQ与△ACQ的面积之比为或．
10．在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为_______；
②△ABC面积的最大值为_______；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB=，BC=5，点P在直线CD的左侧，且∠DPC=60°，求线段PB长的最小值为_______．
【答案】（1）①2；②；（2）见解析；（3）
【详解】
（1）①设O为圆心，连接BO，CO，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=60°，又OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=2，即半径为2；
故答案为：2；
②过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO交圆于点D，
则当A与D重合时，△ABC的面积最大，
∵OB=OC，OE⊥BC，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴△ABC的最大面积为；
故答案为：；
（2）如图，延长BA′，交圆于点D，连接CD，
∵点D在圆上，
∴∠BDC=∠BAC，
∵∠BA′C=∠BDC+∠A′CD，
∴∠BA′C＞∠BDC，
∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；
（3）如图，点P在以CD为弦的圆弧上运动，设圆弧所在的圆心为O，连接OP、OD、OC，连接OB交圆于点F，过点O分别作OE⊥CD于E，OG⊥BC于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，∠BCD=90゜．
∵OC=OD，OE⊥CD，
∴．
∵∠COD=2∠DPC=120゜，OD=OC，
∴∠OCE=30゜，
∴，
∴OC=2OE=2．
∵OE⊥CD于E，OG⊥BC，∠BCD=90゜，
∴四边形OECG是矩形，
∴，．
∵BG=BC－CG=4，
∴在Rt△OBG中，由勾股定理得：，
∵BP+OP≥OB，
∴BP≥OB－OP，
即当P点与F点重合时，BP最短，且最小值为OB－OP，
∵OP=OC=2，
∴，
即BP的最小值为．
故答案为：．
已知线段BC=2，使用作图工具作∠BAC=30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？