专题28.14 锐角三角函数（全章复习与巩固）（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题28.14 锐角三角函数（全章复习与巩固）

（知识讲解）

【学习目标】

1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、

45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数；
2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数；
3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两

个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；
4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，

体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.
 

【要点梳理】

要点一、锐角三角函数
1.正弦、余弦、正切的定义
　　如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：
       (1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.
　　   (2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.
　　(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.
　　要点诠释：
　　(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.
　　(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.
　　(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.
　　(4)三角函数有时还可以表示成等.
2.锐角三角函数的定义
　　锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
要点诠释：
　　1. 函数值的取值范围

对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.

　　2．锐角三角函数之间的关系：
　　余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，

那么：sinA=cosB； cosA=sinB；
　　同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=
　　3.30°、45°、60°角的三角函数值

30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.
要点二、解直角三角形
　　在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
　　解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：　　
　　角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；
　　边边关系：勾股定理，即；
　　边角关系：锐角三角函数，即
　　
特别说明：
　　解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：
　　(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；
　　(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．
要点三、解直角三角形的应用
　　解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.

1.解这类问题的一般过程
　　(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
　　(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
　　(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
　　(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
　　2.常见应用问题
　　(1)坡度：； 坡角:.
　　　　　
　　(2)方位角：
　　　　　
　　(3)仰角与俯角：
　　　　　

要点诠释：
1．解直角三角形的常见类型及解法

2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：
　　　　
　　把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．
　　借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．
　　当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．

3．锐角三角函数的应用
　　用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁.
　　如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：
　　　　∵
　　　　∴
　　　　∵
　　　　∴
　　　　∵
　　　　∴

【典型例题】

类型一、锐角三角函数

1． 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形．

（1）求证：四边形ADCE是矩形；

（2）若AC、DE交于点O，四边形ADCE的面积为16，CD＝4，求∠AOD的度数．

【答案】（1）见分析；（2）∠AOD＝120°

【分析】（1）已知四边形ABDE是平行四边形，只需证得它的一个内角是直角即可；在等腰△ABC中，AD是底边的中线，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得∠ADC是直角，由此得证；

（2）根据矩形的性质得出AD的长度，进而得出∠DAC=30°即可求出答案．

解：（1）∵四边形ABDE是平行四边形，

∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD．

∵D为BC中点，

∴CD＝BD．

∴CD∥AE，CD＝AE．

∴四边形ADCE是平行四边形．

∵AB＝AC，D为BC中点，

∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，

∴平行四边形ADCE是矩形；

（2）∵平行四边形ADCE是矩形，四边形ADCE的面积为16，CD＝4，

∴AD•CD＝4AD＝16，DO＝AO＝CO＝EO，

解得：AD＝4，

∴tan∠DAC＝，

∴∠DAC＝30°，

∴∠ODA＝30°，

∴∠AOD＝120°．

【点拨】此题主要考查了矩形的判定与性质以及等腰三角形三线合一的性质以及锐角三角函数关系等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．

举一反三：

【变式1】如图，在中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，，求的值．

【答案】

【分析】先证明△ADC∽△BEC，根据相似三角形的性质得到=，再证明CDE∽△CAB，根据相似三角形的面积比定义相似比的平方计算即可．

解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∵∠C=∠C，

∴△ADC∽△BEC，

∴=，

∴=，

∵∠C=∠C，

∴△CDE∽△CAB，

∵，

∴=，

∴=（）²=（）2=．

【点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

【变式2】如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．）

【答案】．

【分析】分别作，垂足分别为，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出，进而将等式变形，即可求得．

解：如图，分别作，垂足分别为，

在中，，

，

在中，，

，

，

，

在中，，

，

在中，，

，

，

，

．

【点拨】本题考查了正弦的定义，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．

2． 如图，在RtABC中，∠BCA=90°．

(1)用尺规作AB的垂直平分线MN交AC于点D；(不写作法，保留作图痕迹）

(2)连接 BD若AD=4，CD=2，求∠DBC的正弦值．

【答案】(1)见分析(2)

【分析】（1）利用基本作图，作AB的垂直平分线即可；

（2）利用线段垂直平分线的性质得到BD=AD=4，然后在中根据正弦的定义求解即可.

（1）解：如图所示，直线MN即为所求，

（2）∵点D在段AB的垂直平分线上，AD=4，

∴BD=AD=4，在Rt△DCB中，∠BCA=90°

∴.

【点拨】本题考查了作图，线段的垂直平分线的性质和解直角三角形．熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作是解题的关键．

举一反三：

【变式1】如图，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=．

(1)  求CE的长；

(2)  求∠ADE的余弦．

【答案】(1)(2)的余弦为

【分析】（1）利用正切函数求得DE=4，再利用勾股定理即可求解；

（2）取CD的中点F，利用梯形中位线定理得到AD//EF，∠ADE=∠DEF，在Rt△DEF中，利用勾股定理和余弦函数的定义即可求解．

（1）解：∵∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=，

∴=，即=，

∴DE=4，

由勾股定理得CE=；

（2）解：取CD的中点F，连接EF，

∵E是AB的中点，

∴EF是梯形ABCD的中位线，

∴AD//EF，

∴∠ADE=∠DEF，

在Rt△DEF中，，，，

由勾股定理得，

∴，

∴，

即的余弦为．

【点拨】本题考查了梯形的中位线，解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．

【变式2】如图，是直角三角形，．

(1)  在上作一点D，使得（要求尺规作图，不写做法，保留作图狼迹）；

(2)  在（1）的条件下，若，求的长．

【答案】(1)作图见分析(2)8

【分析】（1）以C为圆心，AC长为半径画弧与AB交于点E，分别以A，E为圆心，大于为半径画弧交点为M，连接CM与AE的交点D即为所求，如图；

（2）由题意得，根据即，计算求解即可．

(1)解：以C为圆心，AC长为半径画弧与AB交于点E，分别以A，E为圆心，大于为半径画弧交点为M，连接CM与AE的交点D即为所求，如图；

(2)解：∵，

∴

∵即

解得

∴的长为8．

【点拨】本题考查了作垂线，含30°的直角三角形，余弦．解题的关键在于对知识的熟练掌握．

3． 如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin∠BAC=．以斜边AB为x轴建立直角坐标系上，点C（1，4）在反比例函数y=的图象上．

（1）. 求k的值和边AC的长

（2）. 求点B的坐标

【答案】（1）AC=5 （2）B(,0)

【分析】（1）本题需先根据C点的坐标在反比例函数y=的图象上，从而得出k的值，再根据且sin∠BAC=，得出AC的长．

（2）本题需先根据已知条件，得出∠DAC=∠DCB，从而得出CD的长，根据点B的位置即可求出正确答案．

解：（1）∵C（1，4）在函数y=的图象上

过点C作CD⊥x轴 于点D    

∴  K=4                    

∵sin∠BAC=

∴

∵ CD=4

∴AC=5

    （2）∵Rt△ABC中，AB为斜边，且 sin∠BAC=

∴

∴.

∴

∴AB=

∵AD="3," OD=1

∴AO=2

∴OB=

∴B(,0)

举一反三：

【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，tanB，点O在AB边上，△ABC绕点O旋转后点A的落点与点C重合，点C落在点，点B落在点与BC交于点M，求的长度．

【答案】

【分析】由锐角三由锐角三角函数的定义求出BC＝6，由旋转的性质求出AO＝OC，证出CM＝，设＝x，则＝6－x，由勾股定理得出方程：，解方程可得出答案．

解：∵∠ACB＝90°，AC＝2，tanB＝，

∴，

∴BC＝6，

∵△ABC绕点O旋转后点A的落点与点C重合，点C落在点，

∴AO＝OC，

∴∠A＝∠ACO，

∵∠A＋∠B＝90°，∠ACO＋∠OCB＝90°，

∴∠OCB＝∠B，

∴∠OCB＝∠，

∴CM＝，

设＝x，则＝6－x，

∵，

∴

∴x＝

故的长度为．

【点拨】本题考查了勾股定理，解直角三角形，旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．

【变式2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CEBD，交AD的延长线于点E．

(1)  求证：∠ACD＝∠ECD；

(2)  连接OE，若AB＝1，tan∠ACD＝2．求OE的长．

【答案】(1)见详解(2)

【分析】（1）先证明四边形BCED是平行四边形，得到BD=CE=AC，再利用等腰三角形的性质即可证明；

（2）过点O作OF⊥AD于点F，求得AB=CD=1，AD=BC=DE=2，再求得OF =，EF =3，利用勾股定理即可求解．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，∠ADC=90°，BC//DE，

∵CE//BD，

∴四边形BCED是平行四边形，

∴BD=CE，

∴AC=CE，

∴∠ACD=∠ECD；

（2）解：过点O作OF⊥AD于点F，则F为AD的中点．

∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=1，tan∠ACD=2，

∴AB=CD=1，AD=BC，tan∠ACD==2，OB=OD，

∴AD=2，

由（1）知四边形BCED是平行四边形，

∴AD=BC=DE=2，

∵OB=OD，OF⊥AD，

∴ OF=AB=，EF=DE+AD=3，

∴OE=．

【点拨】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记各性质并求出四边形BCED是平行四边形是解题的关键．

类型二、特殊角三角函数的计算

4． 计算：．

【答案】

【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简各数，然后即可求解．

解：原式＝

．

【点拨】本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，掌握二次根式的性质是解题的关键．

举一反三：

【变式1】计算：（﹣）0+（）﹣3+|1﹣|﹣2sin45°．

【答案】8

【分析】利用零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，绝对值的意义和特殊角的三角函数值解答即可．

解：原式＝1+8+  ﹣1﹣2×

＝1+8+﹣1﹣

＝8．

【点拨】本题主要考查零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，绝对值的意义和特殊角的三角函数值，掌握相关定义是解题的关键．

【变式2】计算：．

【答案】

【分析】根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值进行计算即可求解．

解：原式＝

．

【点拨】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值是解题的关键．

类型三、特殊角三角函数的计算

5． 计算：．

【答案】0

【分析】首先根据二次根式的性质、负整数指数幂及零指数幂的运算法则、特殊角的三角形函数值，进行运算，再进行二次根式的混合运算，即可求得结果．

解：

=0

【点拨】本题考查了二次根式的性质、负整数指数幂及零指数幂的运算法则、特殊角的三角形函数值，二次根式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．

举一反三：

【变式1】计算：．

【答案】6

【分析】根据负整数指数幂运算、指数幂运算、特殊角的三角函数和去绝对值运算分别求解，再根据实数的加减运算法则求解即可得出结论．

解：

．

【点拨】本题考查实数的运算，涉及到负整数指数幂运算、指数幂运算、特殊角的三角函数和去绝对值运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．

【变式2】计算：

【答案】

【分析】对每一项分别进行化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

解：原式

【点拨】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、分母有理化、特殊角度的三角函数值等考点的运算．

类型四、解直角三角形

6． 如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝．

(1)求BE的长；

(2)若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．

【答案】(1)3 (2)

【分析】（1）在直角△BED中，利用∠B的余弦函数求出BE；

（2）利用等腰直角三角形的性质先求出DE，再在直角△AED中利用∠DAB的正弦函数和勾股定理求出AD、AE，最后求出△ABD的面积．利用三角形中线的性质可得结论．

解：（1）∵DE⊥AB，

∴∠BED＝90°．

∵在Rt△BED中， ，

∴．

（2）∵．

∴．

∴BE＝DE＝3．

∵sin∠DAB，

∴AD＝5．

∴．

∴AB＝AE+BE＝4+3＝7．

∴．

∵AD是BC边上的中线，

∴S△ADC＝S△ABD＝．

【点拨】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，三角形中线的性质．利用数形结合的思想是解题关键．

举一反三：

【变式1】如图，已知四边形中，，的延长线与的延长线交于点E．

(1)  若，求的长；

(2)  若，求的长．（计算过程和结果均保留根号）

【答案】(1)(2)

【分析】（1）根据锐角三角函数求得BE和CE的长，根据BC=BE﹣CE即可求得BC的长；

（2）根据三角函数的性质求出AE，DE即可求解．

解：（1）∵，，AB=6，，

∴，，

∵∠CDE=90°，CD=4，，，

∴CE=8，

∴BC=BE﹣CE=；

（2）∵，，

∴，

∵

∴，

∴

解得，

．

【点拨】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知解直角三角形的方法．

【变式2】如图，小明、小华分别位于一条笔直公路PQ上的两点A，B处，点C处为一超市．测得，，A，B之间距离为3.8km，求小明、小华分别距离超市多少千米（结果保留小数点后一位）．

参考数据：，，，，，．

【答案】小明、小华分别距离超市7.7千米和5.6千米．

【分析】作交于点D，构造直角三角形BCD，直角三角形ACD，利用求出BD，进一步可求出BC，AC．

解：作交于点D，如图：

∵

∴

∵

∴

∴

解之得：

∵

∴

∵

∴

∴小明、小华分别距离超市7.7千米和5.6千米．

【点拨】本题考查解非直角三角形，解题的关键是构造直角三角形，解直角三角形．

类型五、三角函数的应用

7． 广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别是30度、45度，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？（结果保留到0.1米）．

【答案】此气球有9.7米高

【分析】由于气球的高度为PA+AB+FD，而AB=1米，FD=0.5米，可设AP=h，根据题意列出关于h的方程即可解答．

解：设AP=h，

∵PFB=45°，

∴BF=PB= h+1，

∴EA= h+6，

在RtPEA中，PA=AEtan30°，

∴h=(h+6)tan30°，

∴，

∴h=≈8.2米，

∴气球的高度为PA+AB+FD=9.7米．

【点拨】本题考查了一元一次方程的实际应用，解决本题的关键是正确的运用三角函数知识解答．

举一反三：

【变式1】一艘渔船在海中自西向东航行，速度为28海里/小时，船在A处测得灯塔C在北偏东60°方向，半小时后渔船到达B点，测得灯塔C在北偏东15°方向，求船与灯塔间的最近距离．

【答案】海里

【分析】过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BE⊥AC于点E，在Rt△ABE中，根据，，求出，，在Rt△BCE中，根据，得出BE=CE=7海里，求出AC，在Rt△ACD中，根据，求出结果即可．

解：过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BE⊥AC于点E，如图所示：

根据题意得：，

，

（海里），

∴，

在Rt△ABE中，

，

，

解得：，，

在Rt△BCE中，，

∴BE=CE=7海里，

∴海里，

在Rt△ACD中，，

解得：．

答：船与灯塔间的最近距离为海里．

【点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．

【变式2】如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC=5.4米，引桥水平跨度AB=9米．

(1)求水平平台DE的长度

(2)若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比．

（参考数据：取sin370.60，cos370.80，tan370.75）

【答案】(1)1.8米(2)5：4

【分析】（1）延长CE交AB于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为G，由题意得：AD∥EF，从而可得∠EFG＝37°，四边形ADEF是平行四边形，进而可得AD＝EF，DE＝AF，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出AF的长，即可解答；

（2）根据题意可得：MN＝EG＝3米，然后在Rt△EFG中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而求出AD的长，再在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，从而求出CE的长，进行计算即可解答．

（1）解：延长CE交AB于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为G，

由题意得：AD∥EF，

∴∠A＝∠EFG＝37°，

∵DE∥AF，

∴四边形ADEF是平行四边形，

∴AD＝EF，DE＝AF，

在Rt△BCF中，BC＝5.4米，

∴BF＝≈＝7.2（米），

∵AB＝9米，

∴DE＝AF＝AB﹣BF＝9﹣7.2＝1.8（米），

∴水平平台DE的长度约为1.8米；

（2）由题意得：

MN＝EG＝3米，

在Rt△EFG中，EF＝≈＝5（米），

∴AD＝EF＝5米，

在Rt△BCF中，BC＝5.4米，

∴CF＝＝＝9（米），

∴CE＝CF﹣EF＝9﹣5＝4（米），

∴两段楼梯AD、CE的长度之比为：5：4．

【点拨】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，平行四边形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

8． 周末爬山、郊游是现代市民常见的健康休闲生活方式．小丁和小亮两家相约周末一起去“天然氧吧”大青山游玩．如图，他们从大青山西坡的B点出发，沿坡角为37°的山坡走了300米到达山腰E点处休息；然后又沿着坡角为45°的山坡走了150米到达山顶A处．求大青山的海拔高度。（结果精确到个位，参考数据：）

【答案】大青山的高度约为285米

【分析】过点A作AD⊥BC于D，过点E作EF⊥AD于F，EG⊥BC于G，根据正弦的定义计算，得到答案．

解：过点A作AD⊥BC于D，过点E作EF⊥AD于F，EG⊥BC于G，则四边形EGDF为矩形，

，

在中，

∴

在中，

∴

答：大青山的高度约为285米．

【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

举一反三：

【变式1】如图，我国一艘海监执法船在南海海域进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向距离为40海里的B处有一艘可疑船只正在向正东方向航行，我海监执法船便迅速沿北偏东75°方向前往监视巡查，经过一段时间在C处成功拦截可疑船只．求我海监执法船前往监视巡查的过程中行驶的路程（即AC长）？（结果精确到0.1海里，≈1.732，≈1.414，≈2.449）

【答案】我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了133.8海里

【分析】过点C作CDAB，先根据三角形的内角和求出CD=AD，再设CD=AD =x海里，再根据三角函数求出BD=x海里，再根据题意列出关于x的方程，最后根据勾股定理解答即可．

解：过点C作CDAB，如图所示：

BAC=-=，

在RtACD中，

BAC=ACD=，

CD=AD，

设CD=AD =x海里，

在RtBCD中， ADC=，

CBD=，

CBD=，

BD=x海里，

AD-BD=40，

x-x=40，

x=60+20，

在RtACD中，

AC=

=

133.8(海里)，

即我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了133.8海里．

【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，锐角三角函数，一元一次方程的应用，勾股定理，解题的关键是构造直角三角形求解．

【变式2】某校数学兴趣小组学完“三角函数的应用”后，在校园内利用三角尺测量教学楼AB的高度．如图，小明同学站在点D处，将含45°角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的倾斜边刚好落在视线CA上，沿教学楼向前走8米到达点F处，将含30°角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线EA上，已知小明眼睛到地面的距离为1.6米，求教学楼AB的高度．点D、F、B在同一水平线上．（参考数据：≈1.732，≈0.6，最后结果保留一位小数）

【答案】20.5米

【分析】在两个直角三角形中，利用直角三角形的边角关系，列方程求出AM，在计算AB即可．

解：如图，延长交于点，

由题意得，，，米，米，

设米．

在中，，

，

在中，，

，即，

，

又，

，

解得米，

即米，

∴米，

答：教学楼的高度为20.5米．

【点拨】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提．

类型六、利用三角函数测高

9． 目前，各大城市都在积极推进公共自行车建设，努力为人们绿色出行带来方便．图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是自行车的车架示意图．CE=30cm，DE=20cm，AD=25cm，DE⊥AC于点E，座杆CF的长为15cm，点A、E、C、F在同一直线上，且∠CAB=75°．

（1）求车架中AE的长；

（2）求车座点F到车架AB的距离．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0．97，cos75°≈0．26，tan75°≈3．73）

【答案】（1）15；（2）58．

试题分析：（1）根据勾股定理求出AE的长；

（2）作CG⊥AB于G，求出FG的长，根据正弦的概念求出点F到车架AB的距离．

解：（1）∵DE⊥AC，DE=20，AD=25，

由勾股定理得，AE=15；

（2）作CG⊥AB于G，

∵AE=15，又CE=30，CF=15，

∴FA=CA+CF=45+15=60，

sin∠CAB=，

∴FG=60×0．97≈58．

考点：解直角三角形的应用．

举一反三：

【变式1】如图是由梯子A B和梯子AC搭成的脚手架，其中AB=AC=5米，∠α=70°．

（1）求梯子顶端A离地面的高度AD的长和两梯脚之间的距离BC的长．

（2）生活经验告诉我们，增大两梯脚之间的距离可降低梯子的高度，若BC长达到6米，则梯子的高度下降多少米？（以上结果均精确到0．1米，供参考数据：sin70°≈0．94，cos70°≈0．34，tan70°≈2．75）

【答案】（1）3．4米；（2）0．7米．

试题分析：（1）根据AB=AC=5米，AD⊥BC，∠α=70°，利用∠α的正弦值求出AD，再利用∠α的余弦值求出CD，根据等腰三角形的性质，BC=2CD,从而求出BC；（2）因为梯子的长度不变，BC的一半CD是已知的，可由勾股定理求出AD，再用原来AD的长度减去新求出的AD的长度即可．

解：（1）∵AB=AC=5米，AD⊥BC，

∴BD=CD=BC，

∵∠α=70°，

∴在Rt△ACD中，

AD=AC×sinα=5×sin70°= 5×0．94=4．7米．

CD=AC×cosα=5×cos70°=5×0．34=1．7米，

∴BC=2CD=2×1．7=3．4米．

（2）因为梯子的长度不变，AC=5米，BC=2CD=6米，

∴CD=3米，

∴AD==4米，

∴梯子顶端A原来离地面的高度AD的长-梯子顶端A现在离地面的高度AD的长=梯子的下降高度=4．7﹣4=0．7米．

考点：解直角三角形的应用．

【变式2】如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测点，B在A的正东方向，AB＝4km．从A测得灯塔C在北偏东60°的方向，从B测得灯塔C在北偏西27°的方向，求灯塔C与观测点A的距离（精确到0.1km）．(参考数据:sin27°≈0.45，cos27°≈0.90，tan27°≈0.50，≈1.73)

【答案】灯塔C与观测点A的距离为3.6 km．

试题分析：如图，过点C作CD⊥AB，构建直角△ACD和直角△BCD．通过解Rt△BDC得到BD=0．5CD．通过解Rt△ADC得到AD=CD，所以由AB=4km可求得CD的长度．最后通过解Rt△ADC来求AC的长度．

解：如图，过点C作CD⊥AB，则∠BCD=27°，∠ACD=60°，

在Rt△BDC中，由tan∠BCD=，

∴BD="CD" tan27°=0．5CD．

在Rt△ADC中，由tan∠ACD=

∴AD=CD•tan60°=CD．

∵AD+BD=CD+0．5CD=4，

∴CD=．

在Rt△ADC中，∵∠ACD=60°，

∴∠CAD=30°，

∴AC=2CD=≈3．6．

∴灯塔C与观测点A的距离为3．6km．

考点：解直角三角形的应用-方向角问题