2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明
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- 如图，以 的边 为直径的 恰为 的外接圆， 的平分线交 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．
(1) 求证： 是 的切线．
(2) 若 ，，求 的长．
- 如图， 是半圆 的直径， 为弦，．
(1) 求证： 是半圆 的切线；
(2) 若 ， 交 于 ，，，求 的长．
- 如图，已知 是 外一点， 交 于点 ，，弦 ，劣弧 的度数为 ，连接 ．
(1) 求 的长；
(2) 求证： 是 的切线．
- 如图， 为 的直径，， 为 上不同于 ， 的两点，，连接 ，过点 作 ，垂足为 ，直径 与 的延长线相交于 点．
(1) 求证： 是 的切线；
(2) 当 ， 时，求 的长．
- 已知：如图，在 中，，以 为直径的 交 于点 ，过点 作 于点 ．
(1) 求证： 是 的切线．
(2) 若 的半径为 ，，求图中阴影部分的面积．
- 如图，在 中，，以 为直径作 ，点 为 上一点，且 ，连接 并延长交 的延长线于点 ．
(1) 判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2) 若 ，，求 的长．
- 如图， 为 的直径， 为 上一点， 的角平分线 交 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．
(1) 求证： 是 的切线；
(2) 若 ，，求 的长．
- 如图， 是 的直径， 是弦，， 于 ．
(1) 求证： 是 的切线；
(2) 若 ，，求 的值．
- 如图， 内接于 ，， 是 的直径，点 是 延长线上的一点，且 ．
(1) 求证： 是 的切线；
(2) 若 ，，求 的长．
- 如图， 是 的直径， 与 相切于点 ，四边形 是平行四边形， 交 于点 ．
(1) 判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2) 若 的半径为 ，弦 的长为 ，求 的长．
- 如图， 是 的直径， 是 的弦， 的平分线交 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
(1) 求证： 是 的切线；
(2) 若 ，，则 ．
- 如图， 是 的直径， 与 相切于点 ，四边形 是平行四边形， 交 于点 ．
(1) 判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2) 若 的半径为 ，弦 的长为 ，求 的长．
- 如图， 是半圆的直径，过圆心 作 的垂线，与弦 的延长线交于点 ，点 在 上，．
(1) 求证： 是半圆的切线；
(2) 若 ，，求半圆的半径．
- 如图，在 中，， 是角平分线，点 在 上，以点 为圆心， 为半径的圆经过点 ，交 于点 ．
(1) 求证： 是 的切线；
(2) 若 ，，求图中阴影部分的面积．
- 如图，在 中，， 平分 交 于点 ， 为 上一点，经过点 ， 的 分别交 ， 于点 ，．
(1) 求证： 是 切线；
(2) 设 ，，试用含 ， 的代数式表示线段 的长．
- 如图， 是 的外接圆， 为直径， 的平分线交 于点 ，过点 作 分别交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ．
(1) 求证： 是 的切线．
(2) 若 ，，求弧 的长．（结果保留 ）
- 如图， 经过菱形 的三个顶点 ，，，且与 相切于点 ．
(1) 求证： 为 的切线；
(2) 求 的度数．
- 如图，在 中，， 是 的外接圆， 为 的延长线上一点，且 ．
(1) 求证： 是 的切线；
(2) 若 为 的切线，求证： 是等边三角形．
- 如图，在矩形 中，点 在对角线 上，以 为圆心， 的长为半径的 与 ， 分别交于点 ，，且 ．
(1) 求证：直线 与 相切．
(2) 若 ，，求 的半径．
- 如图， 为 的直径，点 ， 是 上的点， 平分 ，过点 作 的垂线，垂足为点 ．
(1) 求证： 是 的切线．
(2) 延长 交 的延长线于点 ，若 半径的长为 ，，求 的长．
答案
1. 【答案】
(1) 连接 ，
是 的直径，
，
平分 ，
，
，
，
，
是 的切线．
(2) 在 中，，，
，
，
过点 作 ，垂足为 ，
则四边形 为正方形，
，
，
，
，
，即 ，
解得：，
．
2. 【答案】
(1) 是半圆 的直径，
，
，
，
，即 ，
是半圆 的切线．
(2) ，
，
，，
，
，
，
，即 ，
．
3. 【答案】
(1) 连接 ，
弦 ，劣弧 的度数为 ，
弧 与弧 的度数为：，
，
，
是等边三角形，
．
(2) ，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
点 在 上，
是 的切线．
4. 【答案】
(1) 连接 ．
，
，
，
，
，
，
，
是 的切线．
(2) 连接 ．
为 的直径，
．
，
．
，
在 中，
，
，
，
，
在 中，
，
，
，
另解：过点 作 于点 ．
5. 【答案】
(1) 连接 ，如图 所示：
，
．
，
．
．
．
，
，
是 的切线．
(2) 过 作 于 ，如图 所示：
，，，
，
，
在 中，，
，
，
，
，
，
．
6. 【答案】
(1) 直线 与 相切．
证明：
如图，连接 ．
，，，
，
，
，
是 的切线．
(2) 设 的半径为 ．
在 中，
，
，
，
，
，
，
在 中，．
7. 【答案】
(1) 连接 ，如图．
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
是 的切线．
(2) 连接 ，则 ．
， 平分 ，
，
，
，
，连接 ，则 ，
，
．
8. 【答案】
(1) ，
，
，
，
，
，
，即 ，
又 是半径，
是 的切线．
(2) 连接 ，
，
，
，
，
，
是 的直径，
，
，
，
，
，，
，
，
．
9. 【答案】
(1) 连接 ，
，
．
．
，
，
，
，
，
点 在 上，
是 的切线．
(2) 连接 ，
在 中，，
，
在 中， 为直径，
，
，，
是 的中位线，
，
在 中，
，
，
，
在 中，．
10. 【答案】
(1) 直线 与 相切，
理由：
是 的直径， 与 相切于点 ，
，
又 四边形 是平行四边形，
，
，
直线 与 相切．
(2) 连接 ，
为圆的直径，
，
与 相切于点 ，
，
，
，
又 ，
，
又 ，，
根据勾股定理可得，，
代入关系式①得，，
解得 ．
11. 【答案】
(1) 连接 ，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
点 在 上，
是 的切线．
(2)
【解析】
(2) 是 的直径，
，
，，
，
的平分线交 于点 ，
，
，
，
，
，
，
．
12. 【答案】
(1) 直线 与 相切，
理由：
是 的直径， 与 相切于点 ，
，
又 四边形 是平行四边形，
，
，
直线 与 相切．
(2) 连接 ，
为圆的直径，
，
与 相切于点 ，
，
，
，
又 ，
，
又 ，，
根据勾股定理可得，，
代入关系式①得，，
解得 ．
13. 【答案】
(1) 连接 ，
是半圆的直径， 是半圆的弦，
，
点 在弦 的延长线上，
，
，
，
，
，
，
即：，
，
点 在半圆上，
是半圆的切线．
(2) 如图 ，
在 中，，
设 ，则 ，根据勾股定理得，，
，
，
，
是半圆的直径，
，
，
，
，
在 中，，
，
设 ，，根据勾股定理得，，
，
（舍）或 ，
，
在 中，，
，
，
．
14. 【答案】
(1) 连接 ，如图，
为 平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的切线．
(2) 过 作 ，连接 ，则四边形 为矩形，
，，
在 中，利用勾股定理得：，
，则 是等边三角形，
阴影部分面积为 ．
15. 【答案】
(1) 如图，连接 ，则 为圆 的半径，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
即 ，
是 切线．
(2) 连接 ，，由（）知 为圆 的切线，
，
，
，
，
，
又 ，
，
．
又 ，，
，
，
，
，
，
则 ．
，，
．
．
16. 【答案】
(1) 连接 ，如图 所示：
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
是 的切线．
(2) 作 于点 ，连接 ，如图 所示：
则 ，，
四边形 是矩形，
，，
，
，，
，
，，
，
，即 ，
，
在 中，，
在 中，
，
，
，
则弧 的长度为 ．
17. 【答案】
(1) 连接 ，，，如图．
与 切于 点，
，即 ，
四边形 为菱形，
，
在 和 中
，
，
，
为 的切线．
(2) 连接 ．
，
，
四边形 为菱形，
平分 ，，
点 在 上，
，而 ，
，
，
，
，
．
18. 【答案】
(1) 连接 ．
，
．
，
．
，
．
．
．
．
又 是 半径，
是 的切线．
(2) 连接 ．
， 是 的切线，
，
是 的垂直平分线．
，
，
是等边三角形．
19. 【答案】
(1) 连接 ，
，
，
四边形 是距形，
，
又 ，
，
，
，
，
于 ，
直线 与 相切．
(2) ，，
，
，
，
，
，
又 四边形 是矩形，
，
又 ，，
，
，
设 的半径为 ，在 中，，
，
即 ，
解得 ，
的半径为 ．
20. 【答案】
(1) 连接 ．
平分 ，
．
，
，
，
．
，
．
是 半径，
是 的切线．
(2) 连接 ，交 于点 ．
是 的直径，
．
，
，
四边形 是矩形，
，．
在 中，，，
，
．
