广东省广州市江南外国语学校2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题

这是一份广东省广州市江南外国语学校2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列是四届冬奥会会徽的部分图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解，则a+2b=（ ）
A．1B．2C．-1D．-2
3．如图，将三角形ABC绕A逆时针旋转得到三角形AB'C'，若∠C'AB'=60°，∠BAB'=85°，则∠CAC'=（ ）
A．60°B．85°C．25°D．15°
4．如图，点P是反比例函数y=kx（k≠0，x<0）的图像上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若ΔPOM的面积等于3，则k的值等于（ ）
A．-6B．6C．-3D．3
5．如图，小球从A口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相同，则小球最终从E口落出的概率为（ ）
A．12B．14C．16D．18
二、填空题
6．已知点A(1，m)与A'(n，-3)关于原点对称，则mn=___________．
7．若扇形的圆心角为150°，半径为6，则该扇形的面积为__________．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-4与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的⊙P的圆心P从点A8，m（点A在直线y=x-4上）出发以每秒2个单位长度的速度沿射线AC运动，设点P运动的时间为t秒，则当t=_________时，⊙P与坐标轴相切．
三、解答题
9．解方程2(x-1)2-16=0．
10．已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为-1,0，与y轴的交点为0,3
(1)求此二次函数的解析式；
(2)若0.15,y1与1.25,y2在函数图象上，请直接写出y1与y2的大小关系．
11．如图，某学校有一块长为30米，宽为10米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．
（1）若设计人行通道的宽度为2米，那么修建的两块矩形绿地的面积共为多少平方米？
（2）若要修建的两块矩形绿地的面积共为216平方米，求人行通道的宽度．
12．第二十四届冬奥会于2022年2月20日在北京闭幕，北京成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．如图，是四张关于冬奥会运动项目的卡片，卡片的正面分别印有A．“花样滑冰”、B．“高山滑雪”、C．“单板滑雪大跳台”、D．“钢架雪车”（这四张卡片除正面图案外，其余都相同）．将这四张卡片背面朝上，洗匀．
(1)从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率为 ；
(2)若先从中随机抽取一张，记录这张卡片上图案的运动项目后放回，背面朝上，洗匀．再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法，求这两次抽取的卡片图案上是“单板滑雪大跳台”和“钢架雪车”运动项目的概率．
13．如图，点C为△ABD外接圆上的一动点（点C不在BD上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°．
（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连结CD，求证：AC=BC+CD；
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2,三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
参考答案
1．A
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．C
【分析】将x=1代入方程求解．
【详解】解：∵x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解
∴12+a×1+2b=0，即a+2b=-1
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，理解概念，正确代入计算是解题关键．
3．B
【分析】由旋转的性质直接可得出∠CAC'=∠BAB'=85°．
【详解】解：∵将三角形ABC绕点A逆时针旋转得到三角形AB'C'，∠BAB'与∠CAC'是旋转角，
∴∠CAC'=∠BAB'=85°，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质、旋转角的概念，解题的关键是掌握旋转角都相等．
4．A
【分析】根据反比例函数k的几何意义即可求出答案．
【详解】解：∵ΔPOM的面积等于3，PM⊥x，
即SΔPOM=12OM·PM=3，
∴OM·PM=6，
而OM=xp，PM=yp，
∴xp·yp=6
又观察图象可得：xp<0，yp>0，
∴k=xp·yp=-6，
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，掌握几何意义与图形面积以及坐标的关系是解题关键．
5．B
【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后根据概率的意义列式即可得解．
【详解】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，
所以，最终从点E落出的概率为14．
故选：B．
【点睛】本题考查了概率的求法，读懂题目信息，得出所给的图形的对称性以及可能性相等是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6．－3
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，即可求解．
【详解】解：∵点A（1，m）与点A′（n，−3）关于坐标原点对称，
∴n＝−1，m＝3，
∴mn=-3
故答案为：－3．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的特征，关于原点对称的点横纵坐标都变为原来的相反数．
7．15π
【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】由题意得，n=150°，r=6，
故可得扇形的面积S=nπr2360°=150°×π×62360°=15π．
故答案为：15π．
【点睛】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式，难度一般．
8．2或6或10
【分析】设⊙P与坐标轴的切点为D，根据已知条件得到A8，4，B4，0，C0，-4，求得AB=42，AC=82，OB=OC=4，证明出△OBC是等腰直角三角形，∠OBC=45°，然后分三种情况进行讨论：①当⊙P与x轴相切时，②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时，③当⊙P只与y轴相切时．
【详解】解：设⊙P与坐标轴的切点为D，
∵直线y=x-4与x轴、y轴分别交于点B、C，点A8，m，
∴x=0时，y=-4，
y=0时，x=4，
x=8时，y=4，
∴A8，4，B4，0，C0，-4，
根据勾股定理：AB=42，AC=82，OB=OC=4，
∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC=45°，
①如图，当⊙P与x轴相切时，
∵点D是切点，⊙P的半径是2，
∴PD⊥x轴，PD=2，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴BD=PD=2，PB=22，
∴AP=AB-PB=22，
∵点P的速度为每秒2个单位长度，
∴t=2；
②如图，当⊙P与x轴和y轴都相切时，
∵PB=22，
∴AP=AB+PB=62，
∵点P的速度为每秒2个单位长度，
∴t=6；
③当⊙P只与y轴相切时，
∵PC=22，
∴AP=AC+PC=102，
∵点P的速度为每秒2个单位长度，
∴t=10．
综上所述，则当t=2或6或10秒时，⊙P与坐标轴相切．
故答案为：2或6或10
【点睛】本题考查了切线的判定、一次函数与坐标轴的交点、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，解本题的关键在掌握切线的判定及性质，利用分类讨论的思想求解．
9．x1=1-22,x2=1+22
【分析】根据直接开平方法即可得方程的解．
【详解】解：2(x-1)2-16=0，
2(x-1)2=16，
(x-1)2=8，
x-1=±22，
∴x1=1-22，x2=1+22．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或(nx+m)2=p(p⩾0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
10．(1)y=-x2+2x+3
(2)y1【分析】（1）利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；
（2）求出对称轴，根据二次函数图象的开口向下，则离对称轴越远函数值越小即可求解．
【详解】（1）解：将-1,0和0,3代入y=-x2+bx+c中，得-1-b+c=0c=3，
解得：b=2c=3，
∴此二次函数的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）解：y=-x2+2x+3=-x-12+4，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=1，
∵二次函数图象的开口向下，且0.15-1>1.25-1，
∴y1【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．
11．（1）修建的两块矩形绿地的面积共为144平方米，（2）人行通道的宽度为1米．
【分析】（1）根据题意得：两块矩形绿地的长为30-2×3=24(米)，宽为10-2×2=6(米)，可求得面积；
（2）设人行通道的宽度为x米，则两块矩形绿地的长为30-3x(米)，宽为10-2x(米)，根据题意得：30-3x10-2x=216，解方程可得．
【详解】解：（1）根据题意得：
两块矩形绿地的长为30-2×3=24(米)，
宽为10-2×2=6(米)，
面积为24×6=144(米 2)，
答：修建的两块矩形绿地的面积共为144平方米，
（2）设人行通道的宽度为x米，
则两块矩形绿地的长为30-3x(米)，
宽为10-2x(米)，
根据题意得：30-3x10-2x=216，
解得：x1=14(舍去)，x2=1，
答：人行通道的宽度为1米．
【点睛】本题考核知识点：一元二次方程应用．解题关键点：根据题意列出方程．
12．(1)14；
(2)18．
【分析】（1）由概率公式解答；
（2）用列表法表示所有等可能的结果，再计算两次抽取的卡片图案上是“单板滑雪大跳台”和“钢架雪车”运动项目的概率．
【详解】（1）从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率为14，
故答案为：14；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有16种能可能出现的结果情况，其中两次抽取的卡片图案上是“单板滑雪大跳台”和“钢架雪车”运动项目的有2种结果，
所以两次抽取的卡片图案上是“单板滑雪大跳台”和“钢架雪车”运动项目的概率为216=18．
【点睛】本题考查概率的简单计算，准确用列表法或树状图表示出事件的所有等可能结果是解题关键．
13．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DM2＝BM2＋2MA2,理由详见解析
【分析】（1）易证△ABD为等腰直角三角形，即可判定BD是该外接圆的直径；
（2）如图所示作CA⊥AE，延长CB交AE于点E，再证△ACE为等腰直角三角形，可得AC＝AE，再由勾股定理即可得CE=2AC；利用SAS判定△ABE≌△ADC，可得BE＝DC，所以CE＝BE＋BC，所以CE＝DC＋BC＝2AC；
（3）延长MB交圆于点E，连结AE、DE，因∠BEA=∠ACB=∠BMA=45°，在△MAE中有MA=AE，∠MAE=90°，由勾股定理可得MA2+AE2=2MA2=ME2 MA2+AE2=2MA2=ME2，再证∠BED=90°，在Rt△MED中，有ME2+DE2=MD2，所以2MA2+MB2=MD2．
【详解】解：（1）∵弧AB＝弧AB，
∴∠ADB＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠ABD＝45°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴∠BAD＝90°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BD是该外接圆的直径；
（2）如图所示作CA⊥AE，延长CB交AE于点E，
∵∠ACB＝45°，CA⊥AE，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴AC＝AE，
由勾股定理可知CE2＝AC2＋AE2＝2AC2，
∴CE=2AC，
由（1）可知△ABD为等腰直角三角形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
又∵∠EAC＝90°，
∴∠EAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC，
∴∠EAB＝∠DAC，
∴在△ABE和△ADC中AB=AD∠EAB=∠DACAE=AC，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE＝DC，
∴CE＝BE＋BC＝DC＋BC＝2AC，
（3）DM2＝BM2＋2MA2，
延长MB交圆于点E，连结AE、DE，
∵∠BEA=∠ACB=∠BMA=45°，
∴在△MAE中有MA=AE，∠MAE=90°，
∴MA2+AE2=2MA2=ME2，
又∵AC=MA=AE，
∴AC=AE，
又∵AD=AB，
∴AC-AD+CE=AE-AB+CE，
即DE=BC，
∴DE=BC=MB，
∵BD为直径，
∴∠BED=90°，
在Rｔ△MED中，有ME2+DE2=MD2，
∴2MA2+MB2=MD2．
A
B
C
D
A
AA
BA
CA
DA
B
AB
BB
CB
DB
C
AC
BC
CC
DC
D
AD
BD
CD
DD