人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品课时训练

第12练 正弦定理

一．选择题

1．在中，已知，则的形状是　　

A．等腰三角形 B．直角三角形 

C．等腰直角三角形 D．正三角形

【解析】，

，

，

为直角三角形，

故选：．

2．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的面积为

A． B． C． D．

【解析】由余弦定理可得，

，

．

故选：．

3．在中，若，则　　

A． B． C． D．

【解析】在中，若，

利用正弦定理：；

由于、，

所以，

解得．

故选：．

4．在中，，，，则边的长等于　　

A． B． C． D．2

【解析】因为在中，，，，

所以由余弦定理可得，可得，整理可得，

解得，或（舍去）．

故选：．

5．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的值为　　

A． B． C． D．

【解析】由于，

利用正弦定理得：，

由于，整理得，故，

所以．

故选：．

6．在中，，，，则边的长等于　　

A． B． C． D．

【解析】由于在中，，，，

利用正弦定理：，故，

所以．

故选：．

7．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围　　

A．， B． C．， D．，

【解析】因为是锐角三角形中，且，所以，

从而有且且，所以，，，

所以，．

故选：．

8．在中，若，，则等于　　

A． B． C． D．

【解析】在中，若，，

可得，，

所以．

故选：．

9．的内角，，的对边分别为，，，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】若，

可得，由正弦定理可得，

所以，

所以，或，可得为直角，或；

若，可得，

所以，

可得，

可得，

可得，

故“”是“”的必要不充分条件．

故选：．

10．的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则　　

A． B． C． D．

【解析】已知，，，整理得，

故利用正弦定理，

故，

整理得．

故选：．

11．的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则的面积为　　

A． B． C． D．

【解析】，

，即，

由余弦定理可得，即，可得，

．

故选：．

12．在中，，，分别为角，，的对边，已知，，的面积为，则　　

A． B． C． D．

【解析】在中，，，的面积为，

，，

由余弦定理，有，，

由正弦定理，可得，

．

故选：．

13．在中，为边的中点，且满足，，则的面积为　　

A． B． C． D．1

【解析】设，

，

，

由余弦定理知，，

，解得，

，

，

的面积．

故选：．

14．在中，，，，则此三角形　　

A．无解 B．一解 

C．两解 D．解的个数不确定

【解析】在中，，，，

则，

可得，

可得此三角形有两解．

故选：．

15．在中，，，的面积为，则　　

A．13 B． C． D．

【解析】在中，，，的面积为，

所以利用三角形的面积公式：，

解得．

利用余弦定理：，

故．

故选：．

16．在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则　　

A． B． C． D．

【解析】由题意可知，，

由正弦定理可知，

所以．

故选：．

17．已知三内角，，的对边分别为，，，且，若角的平分线交于点，且，则的最小值为　　

A．2 B． C．4 D．

【解析】由，得，

显然，故，得，结合为三角形的内角，得．

设等腰的顶角，底边上的中线．则，所以．

如图：设绕着点旋转到位置，显然．

（分别在和中，利用正弦定理可得①，②，

结合，可知，所以，，，由整理后得：所以，

故．即的最小值为．

故选：．

18．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则　　

A．3 B．2 C． D．

【解析】在中，，，，

由正弦定理得，

所以．

故选：．

19．在中，角，，的对边分别为，，，且，则的形状是　　

A．正三角形 B．直角三角形 

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【解析】

在中，

整理得：

故为直角三角形．

故选：．

20．在中，，则的外接圆半径的值为　　

A． B． C． D．

【解析】，

．

故选：．

21．在中，，，，则边的长等于　　

A． B．1 C． D．2

【解析】由余弦定理可得，，解得．

故选：．

22．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，，．若此三角形有两解，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】要使三角形有两解，则需，且，

根据正弦定理可得，

即，

，

解得，

故选：．

23．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则的外接圆面积为　　

A． B． C． D．

【解析】，由正弦定理可得，

化简可得，

即，，

即为三角形的外接圆半径），，

．

故选：．

24．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为　　

A．20 B． C．40 D．

【解析】以的中点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，

可得，，

由，可得，

设，

可得，平方可得，

化简可得，

可化为，

则的轨迹为以，，半径为的圆，

可得的面积的最大值为．

故选：．

25．的内角，，的对边分别为，，．已知，，的面积，则等于　　

A．3 B． C．4 D．

【解析】，

由正弦定理，得，即，

又，

，

由，可得，

的面积，解得：，

．

故选：．

26．中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为

A．1 B．2 C． D．

【解析】由于在中，角，，所对的边分别为，，，若，

所以；

所以；

故选：．

27．的内角，，所对的边分别为，，，已知，则面积的最大值为　　

A． B． C． D．

【解析】因为，

所以，即，

又，

所以，即，

因为，

所以，由余弦定理知，，

因为，

所以，

故的面积．

故选：．

二．填空题

28．锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则　　，的取值范围是 　　．

【解析】由，得，

即，

即，

即，

，

，即，则，

，

令，，则，

则原式，

，则，

则当时，取得最大值，最大值为，

，

，．

即的取值范围是，．

故答案为：，，．

29．在中，，点在边上，且，设是外接圆的半径，则　　，　　．

【解析】在中，，

利用余弦定理可得，，

所以为直角三角形，

在直角中，，，

所以，

在中利用正弦定理可得，，解得．

故答案为：3；．

30．在中，，，，则　　．

【解析】因为在中，，，，

所以由余弦定理可得，

所以，即，

则．

故答案为：．

31．已知的内角，，的对边分别为，，，且满足，，则的面积的最大值为 　　．

【解析】因为，，则，

由正弦定理可得：，

在中可得：，

所以，

，所以，

则的面积，

当且仅当，的面积的最大值且为，

故答案为：．

32．在中，，，的外接圆半径为，则边的长为 　　．

【解析】因为，，

所以，

因为的外接圆半径为，

由正弦定理得，．

故答案为：．

33．在中，角，，的对边分别为，，，且满足，则　　．

【解析】对于③，中，，，

，．

故答案为：7．

34．记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则　　．

【解析】因为的面积为，所以，解得，

又因为，由余弦定理得：，

所以．

故答案为：4．

三．解答题

35．中，三内角，，所对的边分别为，，，已知．

（1）求角；

（2）若，角的角平分线交于，，求．

【解析】（1）由及正弦定理，得，

，

，

，，

，．

（2），

，解得，

由余弦定理得，

．

36．在中，内角，，的对边分别为，，．

在①；②；③，且．

这三个条件中任意选一个填在下面的横线上，并完成试题（如果多选，以选①评分）．

（1）若______，求角；

（2）在（1）的条件下，若，求的面积．

【解析】（1）若选择①，

，

由正弦定理得，，化简得，，

，

，

．

若选择②，

，

，即，或（舍去），

，

．

若选择③，

，，

，

，即，

，，

，

，

，

．

（2），

，

，

由正弦定理得，，

，

，

的面积．

37．已知的内角，，的对边分别为，，，且满足，．

（1）证明：；

（2）若为线段上一点，且，，求的面积．

【解析】证明：（1）的内角，，的对边分别为，，，且满足，

利用余弦定理：，

由于，所以；

由，

利用正弦定理，

所以，

故，

所以，

所以，故．

解：（2）由（1）可知：，

所以，

在中，利用正弦定理，解得．

所以．

故的面积为．

38．在①；②③这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）的横线上，并解答下列题目．

在中，已知角，，的对边分别为，，，且．

（1）求；

（2）若为边上一点，且，_______，求的面积．

【解析】（1）由条件，得，

所以，

由正弦定理得，

又中，，所以，

即，

又，

所以，则，

所以．

（2）由（1）得，由条件可知为等边三角形，

若选①：，

不妨设，，

在中由余弦定理得，解得，

所以，，

的面积为；

若选②，由正弦定理得，

解得，

由余弦定理，解得（负值舍去），

所以的面积为；

若选③，，由等边三角形的面积为，

可得其边长为2，即，

由余弦定理得，解得（负值舍去），

所以的面积为．

39．中，内角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求角；

（2）当时，求的面积的最大值．

【解析】（1）因为，整理可得，

由正弦定理可得，

由余弦定理可得，

又，

所以；

（2）当时，由（1）可得，，当且仅当时取等号，

故，

所以，当且仅当时取等号，

所以面积的最大值为．

40．在中，内角，，对应的边分别为，，，已知．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，，求的值．

【解析】（Ⅰ）在中，由正弦定理得，

因为，

所以，

所以，

又因为，

所以．

（Ⅱ）在中，由余弦定理得，

代入数据解得，

所以．

41．已知的内角，，的对边分别为，，，已知．

（1）求；

（2）若，求的面积．

【解析】（1）的内角，，的对边分别为，，，已知．

利用正弦定理：，

由于、、，

所以；

故；

（2）由（1）得：，

整理得，

故；

所以．