2022-2023学年浙江省舟山中学高一上学期12月质量检测数学试题（解析版）

2022-2023学年浙江省舟山中学高一上学期12月质量检测数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，，则的值为（    ）

A． B．和 C． D．

【答案】C

【分析】利用集合补集的定义求解即可.

【详解】因为，集合，，

由补集的定义可知的可能取值为3或4，

当即时，不满足题意；

当即时，，此时满足题意，

综上，

故选：C

2．命题“”为假命题的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将命题等价转化为“”为真命题，也即，求出实数的取值，然后根据充分不必要条件的判断即可求解.

【详解】由命题“”为假命题，

则该命题的否定：“”为真命题，

也即，所以，

所以为该命题的一个充分不必要条件，

故选：C.

3．若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分为一次函数和二次函数讨论，当时，为二次函数，要满足在上为减函数，须使其开口向上，且对称轴再区间右侧，据此求解a的取值范围即可.

【详解】当时，，满足在上为减函数；

当时，为二次函数，

要满足在区间上为减函数，则，解得.

综上，a的取值范围是.

故选：B.

4．若偶函数在上是增函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据在上是增函数，且，可得，，的大小关系，再根据偶函数的性质可得，，的大小关系．

【详解】因为在上是增函数，且，

所以，

又为偶函数，所以，

则，

故选：B．

5．设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由已知结合函数的定义分别检验各选项即可判断.

【详解】对于,由函数的定义知的定义域不是，不符合题意；

对于,的值域不是，不符合题意；

对于,中集合中有的元素在集合中对应两个函数值,不符合函数定义;

对于,能表示集合到集合的函数关系.

故选:.

6．已知函数，则=（    ）

A． B．e C．1 D．-1

【答案】C

【分析】根据分段函数的定义区间，用对应的函数解析式求值.

【详解】，由，∴.

故选：C.

7．已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有6个不相等的实数根，则这6个实数根之和为（    ）

A．或8 B．或16 C．或8 D．或16

【答案】D

【分析】根据题意作出函数图象，题中方程转化为直线 、与的图象恰有6个交点，利用图象分和两种情况讨论，数形结合即可求解.

【详解】∵，

∴或，

由题意可得：直线 、与的图象恰有6个交点，

根据题意作出函数图象，如图所示，则有：

∵与的图象有且仅有一个交点，交点的横坐标为2，

∴与的图象恰有5个交点，依次设为，

根据图象结合奇函数的对称性可得：或，

当时，则可得，

∴这6个实数根之和为；

当时，则可得，

∴这6个实数根之和为；

故选：D.

8．已知函数，，函数有4个不同的零点且，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令，得，问题转化为，有4个不同的根，即

函数与函数有4个不同的交点，分别作出与的图像，利用二次函数与对数函数的图像性质，计算可得答案.

【详解】，令，得，

函数有4个不同的零点，即有4个不同的根；

根据题意，作出的图像，如图

明显地，根据二次函数和对数函数的性质，有，，

因为，故，

令，得或，故，

又因为，

则，整理得

故的取值范围为.

故选：B

二、多选题

9．已知，，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的最小值为16

C．​的最小值为8 D．​的最小值为2

【答案】ABD

【分析】变换得到，得到A正确，利用均值不等式得到B正确，变换得到，展开利用均值不等式得到C错误，消元结合均值不等式得到D正确，得到答案.

【详解】，即，，故，A正确；

，解得，当，即，时等号成立，B正确；

，当，即，时等号成立，C错误；

，故，，当，即，时等号成立，D正确.

故选：ABD

10．记实数中的最大数为，最小数为，则关于函数的说法中正确的是（    ）

A．方程有三个根 B．的单调减区间为和

C．的最大值为 D．的最小值为

【答案】AC

【分析】由的定义可得图象，结合图象依次判断各个选项即可.

【详解】由的含义可得图象如下图所示，

由图象可知：

对于A，与有且仅有三个不同交点，即有三个根，A正确；

对于B，的单调递减区间为和，B错误；

对于C，，C正确；

对于D，无最小值，D错误.

故选：AC.

11．已知函数的图象如图所示，则（    ）

A．函数解析式

B．将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象

C．直线是函数图象的一条对称轴

D．函数在区间上的最大值为2

【答案】ABC

【分析】根据图像得到解析式，利用函数的性质进项判断即可.

【详解】由题图知：函数的最小正周期，

则，，所以函数．

将点代入解析式中可得，

则，得，

因为，所以，

因此，故A正确．

将函数的图像向左平移个单位长度可得函数的图像，故B正确.

，当时，，故C正确.

当时，，所以，即最大值为，

故D错误．

故选：ABC．

12．已知函数满足对任意的都有，，若函数的图象关于点对称，且对任意的，，都有，则下列结论正确的是（    ）

A．是偶函数 B．的图象关于直线对称

C． D．

【答案】BCD

【分析】对于A选项：根据函数的图象关于点对称,则函数的图象关于点对称，即可判断；

对于B选项：由A选项可知函数为奇函数，可推得，即可判断图象关于直线对称；

对于C选项：由可推出函数是周期为4的周期函数，结合函数奇偶性可推得，，即可判断C；

对于D选项： 由可得，推出函数在区间上单调递增，结合函数性质求得，，即可得.

【详解】A选项：由函数的图象关于点对称，

可得函数的图象关于点对称，所以函数为奇函数，故A不正确.

B选项：由函数为奇函数可得，

故函数的图象关于直线对称，故B正确.

C选项：由函数满足对任意的都有，

可得，所以函数是周期为4的周期函数.

因为为奇函数，所以，由得，

故，则，

，

所以，故C正确.

D选项：由对任意，，都有，

即对任意的，，都有，

可得函数在区间上单调递增.

因为，

，且，所以，即,故D正确，

故选：.

【点睛】方法点睛：对于此类关于函数图象的对称问题，要理解并能应用以下常见结论：

（1）对于函数，若其图象关于直线对称（当时，为偶函数），则①；②；③.

（2）对于函数，若其图象关于点对称（当时，为奇函数），则①；②；③.

（3）对于函数，若其图象关于点对称，则①；②；③.

三、填空题

13．已知全集，集合，则的所有情况中，所有元素的和构成的集合为___________.

【答案】

【分析】解不等式求得，根据判别式求得，由此求得，进而求得中所有元素的和构成的集合.

【详解】，所以.

，所以，

当时，，

，所有元素的和为.

当时，由求根公式有的两个不相等的实数根为，

，其中，

若，，

，所有元素的和为.

若，则，所有元素的和为，

综上所述，的所有情况中，所有元素的和构成的集合为.

故答案为：

14．已知正实数，满足，则的最小值为______.

【答案】

【分析】由，结合基本不等式求解即可.

【详解】因为，

所以，

所以，

因为为正实数，所以，

 所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立，

所以，当且仅当时等号成立，

所以的最小值为，

故答案为：.

15．设函数和函数，若对任意的，t]，当时，都有，则t的最大值为___________.

【答案】1

【分析】将条件进行整理，最后转化为一个函数的在区间上的单调性问题.

【详解】不妨设

对于

即单调递增；

，在上单调递增，故

故答案为：1

16．辅助角公式是我国清代数学家李善兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容为.（其中，，）.已知函数的图像的两相邻零点之间的距离小于，为函数的极大值点，且，则实数的最小值为___________.

【答案】

【分析】首先根据周期求出，再根据函数的极大值点求出，，由及辅助角公式求出，即可求出的取值，再代入计算可得.

【详解】解：因为函数两相邻零点之间的距离小于，所以，即，解得，

又其中，，

因为为函数的极大值点，所以，，

所以，，

所以，，

所以，，

因为，

所以，，

即，所以，

所以，，则，，

所以，，，

即，，，

又，所以；

故答案为：

四、解答题

17．完成下列计算，保留应有过程.

(1)；

(2)已知，且，则；

(3)计算

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用两角和差余弦公式和辅助角公式可化简分子为，由此可得结果；

（2）根据，结合同角三角函数平方关系可求得结果；

（3）根据指数运算法则直接化简整理得到结果.

【详解】（1）.

（2），，

.

（3）原式，

，，

即.

18．已知集合，集合，集合.

(1)求的子集的个数；

(2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围．

【答案】(1)8

(2)

【分析】（1）先用列举法表示出集合，再求，然后根据的元素个数确定子集的个数；（2）命题“，都有”是真命题说明，讨论集合是否为空集即可求出实数的取值范围．

【详解】（1）

又

,元素个数为3，则子集个数为：个.

（2）命题“，都有”是真命题,,

若

若

综上所述：

19．已知

(1)求的最小正周期及单调递减区间；

(2)将函数的图象向左平移个单位，在将纵坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，求在区间的值域.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换化简，由此得到的最小正周期，再结合的单调性即可求得的单调递减区间；

（2）先利用三角函数的图像变换得到的解析式，再结合的单调性即可求得在区间的值域.

【详解】（1）因为，

则，

所以的最小正周期为，

由，解得，

所以的单调递减区间为.

（2）将函数的图象向左平移个单位，在将纵坐标伸长为原来的2倍，得到图像，

所以，

当时，，则，故，即，

所以函数的值域为.

20．已知定义域为，对任意都有，当时，，．

(1)试判断在上的单调性，并证明；

(2)解不等式：．

【答案】(1)单调递增，证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用赋值法结合单调性的定义判断和证明即可；

（2）根据将不等式整理为，然后根据单调性列不等式，解不等式即可.

【详解】（1）在R上单调递增，证明如下，

令，，，且，

则，

因为，所以，，即，，

所以在R上单调递增.

（2）

，

因为在R上单调递增，所以，整理得，解得或，

所以不等式的解集为.

21．核酸检测分析是用苂光定量法，通过化学物质的苂光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，苂光信号强度达到阚值时，的数量与扩增次数满足，其中为扩增效率，为初始量.

(1)若某被测标本扩增10次后，的数量变为了初始量的1000倍，求该样本的扩增效率；（参考数据：，）

(2)若扩增效率为初始量为5，但由于实验条件的制约，的数量不能超过.则最多可以扩增多少次？（参考数据：）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，代入关系式解方程即可；

（2）根据题意，，，再代入关系式解不等式即可.

【详解】（1）由题意知，，

即，

所以，解得.

（2）由题意，，故，即，，解得

故最多可扩增次.

22．（1）已知求函数最小值，并求出最小值时的值；

（2）问题：正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件；

（3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得最小的的值.

【答案】（1）当函数最小值为（2），当且仅当且，同号时等号成立.（3）当时，取得最小值

【分析】根据乘1法，构造法，基本不等式和 的转换思想解决即可.

【详解】解：

当且仅当时取“=”

所以当函数最小值为

（2），

又，当且仅当时等号成立，

所以，

所以，当且仅当且，同号时等号成立.此时，满足；

（3）令，，构造求出，，

因为，所以，

所以M=

取等号时，解的，，即

所以时，取得最小值