2022-2023学年云南玉溪第一中学高一上学期质量检测（三）数学试题（解析版）

机密★考试结束前

2022-2023学年第一学期质量检测

高一年级数学（三）

（全卷四个大题，共22个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟）

注意事项：

1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷､草稿纸上作答无效．

2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．

一､选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共40分）

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用交集的定义可求.

【详解】由题设有，

故选：B .

2. 角的终边上有一点，则（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用三角函数定义直接计算作答.

【详解】角的终边上点，则，所以.

故选：A

3 设，则（    ）

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

【答案】A

【解析】

【分析】

根据解析式，代入计算即可.

【详解】因为，所以.

故选：A.

【点睛】本题考查了函数值的计算，属于基础题.

4. 若且，则函数的图像恒过定点（    ）

A. （2，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （2，2）

【答案】D

【解析】

【分析】根据对数运算的性质，，可得答案.

【详解】根据对数函数的性质，当时，则，则函数过定点.

故选：D.

5. 如图所示，函数图像是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解.

【详解】，

时，时，.

故选：B.

6. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.

【详解】因为函数在上连续单调递增，

且,

所以函数的零点在区间内，故选C.

【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.

7. 已知，其中a，b为常数，若，则（    ）

A. 4042 B. 2024 C. －4042 D. －2024

【答案】A

【解析】

【分析】构造奇函数，求出，利用奇函数定义求得，然后可得．

【详解】令，则，为奇函数，

又，

所以，则，

所以，

故选：A.

8. 下列大小关系不正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据指数函数单调性即可判断.

【详解】A选项：，，

因为，

又因为指数函数在R上单调递增，

所以，即，故A正确；

B选项：，因为，；

又因为指数函数在R上单调递减，

所以，故B正确；

C选项：因为，，所以，故C错误；

D选项：因为，，所，故D正确；

故选:C.

二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

9. 设全集，集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D. 集合的真子集个数为8

【答案】AC

【解析】

【分析】根据集合交集、补集、并集的定义，结合集合真子集个数公式逐一判断即可.

【详解】因为全集，集合，，

所以，，，

因此选项A、C正确，选项B不正确，

因为集合的元素共有3个，所以它的真子集个数为：，因此选项D不正确，

故选：AC

10. 已知是第一象限角，那么可能是（    ）

A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

【答案】AC

【解析】

【分析】由的范围求出的范围，即可判断；

【详解】解：是第一象限角，，，

，，

当取偶数时，是第一象限角，当取奇数时，是第三象限角，

故选：AC．

11. 下列说法正确的有（    ）

A. 终边在y轴上的角的集合为

B. 已知，则

C. 已知x，，且，则的最小值为8

D. 已知幂函数的图象过点，则

【答案】BD

【解析】

【分析】根据终边在y轴上的角的集合为可判定选项A，根据指数式与对数式互化可求出a、b，从而可判定选项B，利用“1“的代换和基本不等式可判定选项C，利用幂函数的定义和性质可判定选项D.

【详解】解：终边在y轴上的角的集合为，故选项A不正确；

因为，所以，，则，故选项B正确；

因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值为9，故选项C不正确；

因为幂函数的图象过点，所以，，即，所以，故选项D正确．

故选：BD

12. 下列说法中错误的为（    ）

A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为

B. 若关于的不等式恒成立，则的取值范围为

C. 函数的单调递减区间是

D. 函数与函数是同一个函数

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据复合函数定义域求解判断A；分和这情况讨论判断B；根据单调区间的表示判断C；根据相同函数的概念判断D.

【详解】对于A选项，因为函数的定义域为，所以，，解得，故函数的定义域为，正确；

对于B选项，关于的不等式恒成立，显然当时，，不等式成立，当时，，解得，综合，的取值范围为，错误；

对于C选项，函数的单调递减区间是，不能写为，故错误；

对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为，故函数与函数不是同一个函数，错误.

故选：BCD

三､填空题（本题共4题，每题5分，共20分）

13. 已知一元二次方程的一个根为2，那么另一根为___________；的值为___________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】设一元二次方程的另一根为，所以，解出的值即可得出答案.

【详解】设一元二次方程的另一根为，

所以.

故答案为：；.

14. 若且，则___________．

【答案】##

【解析】

【分析】根据同角三角函数的基本关系即可求解.

【详解】因为且，所以，

则，

故答案为：.

15. 已知，则的单调递增区间为___________．

【答案】

【解析】

【分析】先求定义域，然后根据复合函数的单调性解决.

【详解】函数的定义域满足

即，即或，根据复合函数单调性，令因为是增函数，要想求的单调增区间，则需要求内层函数的增区间，增区间为.

故答案为：

16. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】根据函数是上的增函数，则每一段都是增函数且左侧的函数值不大于右侧的函数值.

【详解】函数是上的增函数，

函数，

解得.

故答案为：

【点睛】本题主要考查分段函数的单调性的应用，属于基础题.

四､解答题（共70分．解答题应写出文字说明､证明过程或演练步骤）

17. 计算

（1）

（2）

【答案】（1）（2）1

【解析】

【分析】（1）根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解；

（2）根据对数的运算的性质，准确运算，即可求解.

【详解】（1）由.

（2）由.

【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟记指数幂的运算性质和对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

18. 已知在半径为10的圆中，弦的长为10．

（1）求弦所对的圆心角的大小；

（2）求圆心角所在弧长及弧所在扇形的面积．

【答案】（1）；   

（2），.

【解析】

【分析】（1）利用等边三角形的性质进行求解即可；

（2）利用弧长和扇形的面积公式进行求解即可.

【小问1详解】

因为，

所以三角形是等边三角形，所以；

【小问2详解】

因为，半径，

所以圆心角所在弧长，

.

19. 已知二次函数，非空集合.

（1）当时，二次函数的最小值为-1，最大值为3求实数a的取值范围；

（2）当______时，求二次函数的最值以及取到最值时x的取值.在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在（2）问中的横线上，并求解.

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）结合图象，利用定义域和值域的关系，求实数的取值范围；

（2）根据的不同取值，结合二次函数的图象，分别求函数的最值，以及取得最值的的值.

【小问1详解】

作出二次函数的图象如图所示，

当，二次函数的最小值为-1，最大值为3，则a的取值范围为.

【小问2详解】

选择方案①，

由图像可知，当时，，此时，

，此时.

选择方案②，

当时，，此时或，

，此时.

选择方案③，

当时，，此时，

，此时.

20. 已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.

（1）求实数的取值集合；

（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）参变分离后转化为最值问题求解，

（2）分类讨论解不等式得，由集合间关系列不等式求解，

【小问1详解】

由题意得在时恒成立，

∴，得，即.

【小问2详解】

不等式，

①当，即时，解集，

若是的充分不必要条件，则是的真子集，∴，此时；

②当，即时，解集，满足题设条件.

③当，即时，解集，

若是的充分不必要条件，则是的真子集，

∴，此时，

综上①②③可得.

21. 某科研单位在研发某种合金产品的过程中发现了一种新型合金材料，由大数据分析得到该产品的性能指标值y（y值越大产品性能越好）与这种新型合金材料的含量x（单位：克）的关系：当时，y是x的二次函数；当时，．测得的部分数据如下表所示：

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）求该新型合金材料的含量x为何值时产品性能达到最佳．

【答案】（1）   

（2）当该新型合金材料的含量为3时产品性能达到最佳

【解析】

【分析】（1）设出函数解析式，利用表中数据列方程求解即可；

（2）求出分段函数每一段的最值，比较谁最大即可.

【小问1详解】

当时，y是x的二次函数，设，

由，可得，

由，可得①，

由，可得②，

由①②得，，

即

当时，，

由，，可得，即

综上，

【小问2详解】

1°当时，，

所以当时，y取得最大值5

2°当时，单调递减，所以当时，y取得最大值4

综上所述，当该新型合金材料的含量为3时产品性能达到最佳．

22. 已知定义域为的函数是奇函数

（1）求的值

（2）判断并证明该函数在定义域上的单调性

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1） （2）减函数，证明见解析（3）

【解析】

【分析】(1)由题意结合确定实数a的值即可；

(2)由题意结合函数单调性的定义确定函数的单调性即可；

(3)由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性脱去f符号，结合恒成立的结论求解实数的取值范围即可.

【详解】（1）由题设，需．经验证，为奇函数，

（2）减函数.

证明：任取，，

，

，

所以在上是减函数.

（3）由得，

是奇函数，，

由（2）知在是减函数，

故原问题可化为即：对任意恒成立，

，

解得

【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题.