2022-2023学年重庆市南开中学高一上学期在线教学质量检测数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市南开中学高一上学期在线教学质量检测数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由指数函数的性质化简集合，再结合交集的运算即可得到答案.

【详解】根据函数在区间上单调递增，所以，又因为，所以.

故选：B.

2．已知幂函数的图像经过点，则的值为

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】由待定系数法可得f(x)的解析式，由此能求出．

【详解】∵幂函数y＝f（x）＝xa的图象经过点（2，4），

∴2a＝4，解得a＝2，

∴y＝x2，

∴＝2＝2．

故选B．

【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数性质的合理运用．

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】结合一元二次不等式的解法以及充分、必要条件的知识求得正确答案.

【详解】，解得或，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

4．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】探讨给定函数的奇偶性，结合的值正负即可判断作答.

【详解】函数定义域为R，，

因此函数是R上的奇函数，其图象关于原点对称，选项A，B不满足；

又，选项C不满足，D符合题意.

故选：D

5．若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用指数函数的单调性及中间值即可比较大小.

【详解】因为函数在区间上单调递增，，所以，

函数在区间上单调递减，，所以，

综上可得，即.

故选：D.

6．函数的单调递减区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由复合函数的单调性求解，

【详解】由得或，即的定义域为，

而在上单调递减，在上单调递增，

由复合函数单调性得，的单调递减区间为，

故选：B

7．已知函数为奇函数，且在区间上是增函数，若，则的解集是（      ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】函数是奇函数,在区间(0, +∞)单调递增，即在上单调递增，，分段讨论x的值,可得不等式的解集.

【详解】因为函数为奇函数，且在区间上是增函数，且，

所以函数在上单调递增且，

所以当或时，，当或时，，

由可得或，

所以或，

故选：B

8．若表示不超过的最大整数，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先对不等式去绝对值，然后再用进行放缩得到的大致范围，最后再各段分段讨论即可.

【详解】，

又，所以上式可得：

当时，代入不等式成立；

当，原式解之：

当，原式解之：

综上所述，

故选：D.

【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

二、多选题

9．已知，则下列不等式一定成立的是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据不等式的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】对于A，令，，有，故A错误；

对于B，当时，由不等式的性质得：；

当，有，所以，即，∴；

当，时，显然，故B正确；

对于C，，故C正确．

对于D，令，，有，故D错误，

故选：BC．

10．设函数，对于任意的，下列命题正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据指数运算法则可知A正确，利用反例可知B错误；根据指数函数单调性可知C正确；结合基本不等式可确定D正确.

【详解】对于A，，A正确；

对于B，令，，则，，，

，B错误；

对于C，为定义在上的增函数，，C正确；

对于D，，

，D正确.

故选：ACD.

11．若，，且，则下列说法正确的是（    ）

A．ab的最大值为 B．的最大值为2

C．的最小值为2 D．的最小值为4

【答案】ACD

【分析】利用基本不等式，结合已知条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对：，，即，当且仅当时，等号成立，

此时ab取得最大值，故正确；

对：由可得，

当且仅当时取得最小值2，即有最小值2 ，故错误，正确；

对：由，得，

当且仅当，即时等号成立，即取得最小值4，故正确.

故选：

12．已知函数，，则下列结论正确的是（    ）

A．函数图象为轴对称图形

B．函数在单调递减

C．存在实数，使得有三个不同的解

D．存在实数a，使得关于x的不等式的解集为

【答案】ABD

【分析】根据函数的对称性、单调性、方程的解、不等式的解等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】，

，，

所以的图象关于直线对称，A选项正确.

由于函数在区间上递减，在区间上递减，

所以函数在单调递减，B选项正确.

由上述分析可知：的图象关于直线对称，在区间上递减，在区间上递增，

所以不存在实数使得有三个不同的解，C选项错误.

有上述分析可知：的图象关于直线对称，在区间上递减，在区间上递增，

令，解得，

此时不等式的解集为，D选项正确.

故选：ABD

三、填空题

13．已知函数，则______.

【答案】

【分析】根据函数解析式求得正确答案.

【详解】，

.

故答案为：

14．方程的一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，结合二次函数的性质即得．

【详解】∵方程 的一根大于1，另一根小于1，

令，

则，

解得.

故答案为：.

15．已知函数，，若对任意的，均存在使得，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】求在区间上的值域以及的值域，从而求得的取值范围.

【详解】在区间上递增，所以在区间上的值域为，

的开口向上，对称轴为直线，

，所以的值域为，

由于对任意的，均存在使得，

所以，，

所以的取值范围是.

故答案为：

16．若函数在区间上的最大值为，最小值为，则______.

【答案】4

【分析】将原函数化为，然后令，可得函数为奇函数，再根据奇函数与最值的性质即可求解.

【详解】因为，

令，，则，

又因为，

所以函数为奇函数，

因为奇函数的图象关于原点对称，

所以函数区间上的最大值和最小值之和为0，即，

因为，

所以，，

所以.

故答案为：4.

四、解答题

17．计算与化简：

(1)

(2)

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）由指数幂的运算法则即可求解；

（2）由指数幂的运算法则即可求解.

【详解】（1）因为，所以，

则.

（2）原式

.

18．已知集合，集合.

(1)若，求实数m的取值范围；

(2)若，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解不等式求出集合A，若，分情况讨论集合B是否为，即可求出实数m的取值范围.

（2）若，根据包含关系列出不等式组，即可求出实数m的取值范围.

【详解】（1）解：已知，

由不等式，可得，

整理得，解得，

所以，

，

①当时，，即，无解；

②当时，或，

解得或，

实数m的取值范围为.

（2）解：，

，解得或，

实数m的取值范围为

19．长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命.为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完.

(1)求公司获得的利润的函数解析式；

(2)当封装多少万片时，公司可获得最大利润？最大的利润是多少？

【答案】(1)

(2)封装160万片时，公司可获得最大利润730（万元）.

【分析】（1）根据题意即可写出分段函数；

（2）由二次函数性质以及基本不等式即可求得最大值.

【详解】（1）总利润=总售价—总成本，

由题意可知：总售价为（万元），总成本为（万元），

所以总利润，

化简得：.

（2）当时，

，函数图像开口朝下，对称轴为，

故的最大值为（万元）；

当时，

，

当且仅当，即时，等号成立.

因为，

则封装160万片时，公司可获得最大利润，最大利润为730（万元）.

20．已知函数对任意满足：；二次函数满足：且的图象与x轴交于点与.

(1)求，的解析式；

(2)若时，恒有成立，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）通过列方程组的方法求得，利用待定系数法求得.

（2）化简，通过解一元二次不等式求得的最大值.

【详解】（1）由，以替换得，

，

由解得.

设，由解得，

所以.

（2）依题意时，恒有成立，

，，解得，

所以的最大值为.

21．已知函数为奇函数.

(1)求实数的值；

(2)设，直接判断的单调性（不需证明）；

(3)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)

【分析】（1）利用求出再验证即可；

（2）利用、、的单调性可得答案；

（3）由奇偶性和（2）的单调性转化为恒成立，令可得在恒成立，分、、讨论结合的单调性可得答案.

【详解】（1）因为函数，所以的定义域为，

又为奇函数，所以，解得，

此时，，

为奇函数，符合题意，所以；

（2）由（1），

因为为减函数，所以为增函数，又为增函数，所以

为单调递增函数；

（3）因为为奇函数，

所以，

由（2）知为单调递增函数，所以有恒成立，

即在恒成立，

当时单调递增，所以，解得，可得；

当时有，成立；

当时单调递减，所以，解得，可得；

综上所述，实数的取值范围为.

22．定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当，．

(1)求证：函数是奇函数；

(2)求证：在上是减函数；

(3)解不等式：；

(4)求证：．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

(4)证明见解析

【分析】（1）令可求得；令可推导得到奇偶性；

（2）设，结合奇偶性可得，根据可得，由此可得单调性；

（3）利用奇偶性可将不等式化为，由单调性和函数定义域可构造不等式组求得结果；

（4）变形可得，由已知关系式可得，累加可求得，根据可得结论.

【详解】（1）令，则，解得：；

令，则，

为定义在上的奇函数.

（2）设，则，；

，，，；

又，

，又当，，，

，即，在上是减函数.

（3）由得：；

定义域为且在上是减函数，

，解得：，不等式的解集为.

（4）；

，，

，

；

，，

，

.

【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数奇偶性、单调性相关问题的求解；本题证明不等式的关键是能够将自变量化为与已知关系式相同的形式，从而利用已知的抽象函数关系式对不等式左侧进行化简得到.