重庆2022年数学中考压轴题思维过程分析

这是一份重庆2022年数学中考压轴题思维过程分析，共8页。
重庆2022年数学中考压轴题思维过程分析 25，如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB、AC上一动点，连接BE交直线CD于F，⑴，如图1，者AB>AC，月BD=AE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；⑵，如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时计方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN，在点D、E运动过程中，猜想线段BF、CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；⑶，若AB=AC，且BD=AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内得到△QHK，连接PQ，在点D、E运动过程中，当PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出的值.分析⑴：本题条件给出∠BCD=∠CBE，出现了这两个相等的角是位于图形的轴对称部分，所以想到要添加轴对称型全等三角形进行证明，添加的方法是将∠CBE所在的△CBE沿对称轴翻折，这是本题的第一个重要的关键思维节点，也是本题的难点所在，就是由给出的两个相等的角是位于图形的轴对称部分，就想到要添加轴对称型全等三角形进行证明，并进一步想到要将∠CBE所在的△CBE沿对称轴翻折，也就是延长CD到G，使CG=BE，联结BG，就可得△BCE和△CBG使一对轴对称型全等三角形，全等的条件是：BC=CB，∠CBE=∠BCG，BE=CG，就可得CE=BG，∠CEB=∠BGC，由于条件给出BD=CE，所以BG=BD，这是两条具有公共端点的相等线段，它们可以等腰三角形，应用等腰三角形的性质，就可得∠BGD=∠BDG，这是本题的第二个关键思维节点，就是由出现的两条具有公共端点的相等线段，想到要应用等腰三角形的性质进行证明，又因为∠BDG=∠ADC，且已证∠CEB=∠BGC，所以∠ADC=∠CEB，这两个角相等一出现，就出现了EF、DA是两条逆平行线，这是本题的第三个关键思维节点，就是由出现的两个相等的角，发现两条逆平行线，就想到可应用逆平行线形相似三角形的性质进行证明，也就是在△CEF和△CDA中，由∠CEF=∠CDA，∠ECF=∠DCA，就可得∠CFE=∠CAD=60°.分析⑵：本题要求猜想线段BF、CF，CN之间存在的数量关系，由于是三条线段之间的数量关系，所以首先考虑它们之间存在的和差关系，于是首先选取BF、CF这两条线段的和，于是就想到要根据线段和差关系的定义，将这两条线段接起来，也就是延长CD到G，使FG=FB，则BF+CF=CG，观察图形，就可以发现或者猜想CG应是CN的2倍，也就是可猜想BF、CF，CN之间存在的数量关系是BF+CF=2CN，这是本题的第一个关键思维节点，就是由要猜想三条线段之间数量关系，首先想到的就是线段之间的和差关系，所以就想到要根据线段和差关系的定义，将这两条线段接起来，而接起来以后的结果，就是发现了两条线段之间的倍半关系，由于要证明CG=2CN，就出现了两条线段之间的倍半关系，这样就想到要根据线段倍半关系的定义，作半线段CN的两倍也就是延长CN到H使HN=CN，这是本题的第二个关键思维节点，就是由出现的线段之间的倍半关系，就想到要根据线段倍半关系的定义进行分析，问题就成为要证明CG=CH，这是两条具有公共端点C的相等线段，它们可以组成一个等腰三角形，这个等腰三角形只有两条腰而没有底边，所以要将底边添上，也就是联结GH，问题就成为一个等腰三角形的判定问题，观察图形，可进一步发现问题实质上是要证明△CGH不仅是等腰三角形，而且是一个等边三角形，这是本题的第三个关键思维节点，就是由出现的两条具有公共端点的相等线段，想到要应用等腰三角形的基本图形进行证明，并进一步想到问题的实质是要证明一个等边三角形，或者就是一个等边三角形的判定问题，由于条件给出△ABC是等边三角形，且BD=AE，就可得△ABE和△BCD是一对旋转型全等三角形，全等的条件是AB=BC，∠BAE=∠CBD=60°，AE=BD，所以它们的对应边BE、CD的夹角∠BFD也等于60°，这是因为∠BFD=∠BCD+∠CBF，而∠BCD=∠ABE，∠ABE+∠CBF=∠ABC=60°，而已经作出FB=FG，这是两条具有公共端点F的相等线段，它们可以组成一个等腰三角形，这个等腰三角形只有两条腰而没有底边，所以要将底边添上，也就是联结BG，就可得△FBG是等腰三角形，又因为已经证明∠BFG=60°，所以△FBG不仅是等腰三角形，而且是一个等边三角形，这样就出现了两个以G为公共顶点的等边三角形，所以一定出现一对旋转型全等三角形，找这对全等三角形的方法，就是将由公共顶点G发出的两组相等线段GB、GF；GC、GH两两组成全等三角形，这是本题的第四个关键思维节点，就是由出现的两个具有公共顶点的等边三角形，就想到要应用旋转型全等三角形进行证明，并找到相应的全等三角形，想到相应的添线方法，于是联结HF，就可得△GHF和△GCB一定全等，由于△GHC是等边三角形是要证明的结论，所以就要先证明△GHF和△GCB全等，而已经有的全等条件是GF=GB，所以号要证明两个条件，由于条件给出MN=FN，且HN=CN，FM、CH相交于N，就出现了两组相等线段是位于一组对顶角的两边且成一直线，从而想到要应用中心对称型全等三角形进行证明，这是本题的第五个关键思维节点，就是由出现的两组相等线段是位于一组对顶角的两边且成一直线，就想到要应用中心对称型全等三角形进行证明，根据将四个端点两两联线构成全等三角形的方法，就可以找到这对全等三角形是△HFN和△CMN，全等的条件是HN=CN，∠FNH=∠MNC，FN=MN，就可得FH=MC，FH∥CM，又因为MC=AC=BC，所以FH=BC，这样第三个条件只能是证明两组对应边的夹角对应相等，也就是要证明∠GFH=∠GBC，由FH∥CM，可得∠GFH=∠BDF，而∠BDF=∠FGB+∠GBA=60°+∠GBA，∠GBC=∠ABC+∠GBA=60°+∠GBA，所以∠GFH=∠GBC，也就可以证得△GHF≌△GCB，GH=GC，∠HGF=∠CGB=60°，所以△CGH是等边三角形，CG=CH，从而就可以证明BF+CF=2CN.分析⑶：本题给出PF取得最小值，所以首先就要确定点F在哪里时，PF取得最小值，由于已证∠BFD=60°，所以∠BCF=120°，所以点F在以BC为弦所含的圆周角为120°（所对的圆周角为240°）的弧上，从而想到以BC为底边，在△ABC外作底角为30°的等腰△BCO，然后以O为圆心、OB长为半径，作，这是本题的第一个关键思维节点，就是由证得的∠BCF=120°，想到点F的轨迹是以BC为弦所含的圆周角为120°的弧，从而想到要确定圆心和半径，并作出，所以当点F在PO上时，PF取得最小值，于是联结PO交于点F，就得到了满足条件的F点，由于条件还给出点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内得到△QHK，这时就要确定K、Q的位置，由于QK⊥PF，也就是∠PKQ=90°，而由△PHK和△QHK是一对轴对称型全等三角形，应用全等三角形的性质可得∠PKH=∠QKH=·90°=45°，再由OA⊥BC，OA⊥AP，可得△OPA是直角三角形，而AP是等边△ABC的边长，OA=+，所以OA>AP，∠OPA>45°，而∠PKH=45°，所以∠PHK<90°，而点H是AP的中点，从而就可以先画出点K，再画出△QHK，这是本题的第二个重要的关键思维节点，就是由给出的一对轴对称型全等三角形和有关的条件，准确地确定点K、Q的位置，并画出图形，根据题意，接下来就应求的值.由于BC等于等边△ABC的边长，所以问题就成为要求PQ，由于△PHK和△QHK是一对轴对称型全等三角形，所以设PQ、HK相交于I，就可得PI=PQ，再由∠PKH=45°，就可得PK=PI=PQ，由于∠PKH=45°，所以想到要添加45°角的直角三角形进行推理、计算，添加的方法是过45°角一边上的点向另一边作垂线，这是本题的第三个关键思维节点，就是由出现的45°角，想到要添加45°角的直角三角形进行推理、计算，并想到相应的添线方法，也就是过H作HJ⊥PK垂足是J，就可得△HKJ是等腰直角三角形，HJ=KJ，而在作出了HJ⊥PK后，由于已经证明∠OAP=90°，就得到△PHJ和△POA是一对逆平行线型相似三角形，这是本题的第四个关键思维节点，就是在作出HJ⊥PK后，发现并证明△PHJ和△POA是一对逆平行线型相似三角形，所以，，而PH=，所以，，就可得PJ=，HJ=·PJ==，HK=HJ=，PK=PJ+KJ=+HJ=+=，由于PI、HJ是△PHK的两条高，∠HJK=∠PIK=90°,所以想到要应用逆平行线型相似三角形进行计算，这是本题的第五个关键思维节点，就是由出现的三角形的两条高，出现的两条逆平行线，就想到要应用逆平行线型相似三角形的性质进行计算，也就可得△KHJ∽△KPI，HJ·KP=PI·KH，可得PI===，PQ=2PI=，从而就可求得===.