初中数学北师大版八年级上册8*三元一次方程组课时作业

这是一份初中数学北师大版八年级上册8*三元一次方程组课时作业，共25页。试卷主要包含了解三元一次方程组，三元一次方程组的应用等内容，欢迎下载使用。
专题5.24 三元一次方程组（专项练习）
一、 单选题
类型一、解三元一次方程组
1．三元一次方程组的解是 （ ）
A． B． C． D．
2．若，，则x＋y＋z的值等于（　　）
A．0 B．2 C．1 D．无法求出
3．解方程组得x等于( )
A．18 B．11 C．10 D．9
4．已知 xyz≠0，且，则 x：y：z 等于（ ）
A．3：2：1 B．1：2：3 C．4：5：3 D．3：4：5
5．已知三个实数a、b、c满足a+b+c＝0，a﹣b+c＝0，则下列结论一定成立的是（ ）
A．a+b≥0 B．a+c＞0 C．b+c≥0 D．b2﹣4ac≥0
类型二、三元一次方程组的应用
6．如图，已知两个天平都处于平衡状态，那么四个小球的重量等同于小正方体的个数为（ ）

A．15个 B．14个 C．13个 D．12个
7．6月18日最开始是京东的周年庆，相当于淘宝的双十一活动，在2013年之前，京东就将每年的6月18日定为年庆．2013年后，618就成了各大电商平台的网购节了．在618当日，小李在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各一件时应该付款（ ）
A．580元 B．500元 C．420元 D．200元
8．小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为2元、4元、6元，购买这些学习用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法．（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．若实数满足，则（ ）
A． B． C． D．不能确定值
10．设，，…，是从1，0，-1这三个数中取值的一列数，若，，则，，…，中有（ ）个0．
A．163 B．164 C．170 D．171


二、 填空题
类型一、解三元一次方程组
11．若，，则__________．
12．已知，且、、的值中有且仅有一个为0，则______．
13．已知：a、b、c是三个非负数，并且满足3a+2b+c＝6，2a+b﹣3c＝1，设m＝3a+b﹣7c，设s为m的最大值，则s的值为__．
14．对于实数x，y定义新运算其中a，b，c为常数，若，且有一个非零常数d，使得对于任意的x，恒有，则d的值是____．
15．已知有因式，则_____．
类型二、三元一次方程组的应用
16．三个有理数从小到大排列为a、b、c，每两个数相加，和为﹣1、3、6，则a=_____．
17．现有若干台A型抽水机从河里向有一定水量的水池注水，再由若干台B型抽水机将水池里的水抽往更高处的田里，若A型抽水机先工作4小时，B型抽水机再工作，再共同工作24小时后刚好把水池抽干，若A型抽水机先工作2小时，B型抽水机再工作，则再共同工作16小时后就可把水池抽干，如果A，B型抽水机同时工作则抽干水池里面的水需要____小时．
18．若a，b，c为三角形的三边长，此三角形周长为18cm，且a+b＝2c，b＝2a，则a＝______，b＝______，c＝______．
19．为保障某贫困山区小学的学生有充足的学习文具，某小区向住户募集了2330支钢笔，1060本笔记本和若干套尺规套装，小区工作人员将这些物资分成了甲、乙丙三类包裹进行发放，一个甲类包裹里有25支钢笔，10本笔记本和4套尺规套装，一个乙类包裹里有16支钢笔，8本笔记本和7套尺规套装，一个丙类包裹里有20支钢笔，6本笔记本和3套尺规套装．已知甲、乙、丙三类包裹的数量都为正整数，并且甲类的个数低于28个，乙类个数低于106个，那么所有包裹里尺规套装的总套数为___．
20．附中文化源远流长，潜移默化．学校通过推出的“你的名字，我的记忆”校园文创产品的设计活动，给学子们提供了施展自己才华的平台，经过选拔评比，学校拟推出A、B、C三款校园文创产品，并以零售和礼盒两种形式销售（各产品的零售单价均为正整数，礼盒售价为各产品零售价之和）．其中甲礼盒含有3件A产品，2件B产品，2件C产品，乙礼盒含有4件A产品，1件B产品，1件C产品，丙礼盒含有2件A产品，4件B产品，1件C产品．甲礼盒的售价比乙礼盒多11元，甲礼盒的售价比丙礼盒售价的2倍少80元，并且A产品的单价不超过10元．则A产品与B产品的单价之比为______．

三、 解答题
类型一、解三元一次方程组
21．已知y＝ax2+bx+c，当x＝1时，y＝8；当x＝0时，y＝2；当x＝﹣2时，y＝4．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x＝﹣3时，求y的值．


22．


23．阅读：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下：
解：将方程②变形为，即③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：
试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题：
（1）试求方程组的解
（2）已知x､y､z，满足，求z的值．



23． 已知实数x、y、z满足，求的值；



类型二、三元一次方程组的应用
25．（数学问题）解方程组
（思路分析）榕观察后发现方程①的左边是x+y，而方程②的括号里也是x+y，她想到可以把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
（1）（完成解答）请你按照榕榕的思路，完成解方程组的过程．
解：把①代入②，得
（2）（迁移运用）请你按照上述方法，解方程组
26．某班参加一次智力竞赛，共，，三道题，每题或者得满分或者得0分．其中题满分20分，、题满分都为25分，竞赛结果：每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题的人数与答对题的人数之和为29；答对题的人数与答对题的人数之和为25；答对题的人数与答对题的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少．





27．（信息阅读）
有些问题，所要求的结果往往不是某一个量的值，而是某些式子或问题的整体值．
如下面的问题：
问题：已知实数x，y同时满足①，和②．求代数式的值．
思路1：将①和②联立组成方程组，先求得工．y的值后，再代入求值．
思路2：为降低运算量，由①＋②×2，可直接得出．这样的解题思路即为整体思想．
（问题解决）
（1）已知方程组，则__________；
（2）若购买13支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需33元；若购买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，求购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需多少元？







28．若一个四位正整数满足：a+d=b+c，我们就称该数是“心想事成数”．比如：对于四位数5263，∵5+3=2+6，∴5263是“心想事成数”，对于四位数1276，∵1+6≠2+7，∴1276不是“心想事成数”．
（1）直接写出最小的“心想事成数”和最大的“心想事成数”；
（2）判断3625是否为“心想事成数”，并说明理由；
（3）若一个“心想事成数”，满足个位上的数字是百位上的数字的两倍，且千位上的数字与十位上的数字之和能被8整除，请求出所有满足条件的“心想事成数”．






















参考答案
1．A
【分析】
先将①+②+③，得，再利用加减消元法求出方程组的解即可．
解：
①+②+③，得： ，
即④，
把①代入④，得： ，
把②代入④，得： ，
把③代入④，得： ，
所以原方程组的解为．
故选：A．
【点拨】本题考查了三元一次方程组，利用加减消元的思想是解题的关键．
2．C
【分析】
根据系数的特点，两式相加即可解决．
解：两式相加得：5x+5y+5z=5
两边同除以5，得x+y+z=1
故选：C．
【点拨】本题考查了解三元一次方程组，利用了加减法，加减法是解方程组的一种方法，但不是用于解方程组，在数学问题中可以灵活应用．
3．C
【分析】
利用加减消元法解方程组即可．
解：，
①+②+③得：
3x+3y+3z=90．
∴x+y+z=30 ④
②-①得：
y+z-2x=0 ⑤
④-⑤得：
3x=30
∴x=10
故答案选：C．
【点拨】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解题的关键．
4．B
【分析】
由，①×3+②×2，得出x与y的关系式，①×4+②×5，得出x与z的关系式，从而算出xyz的比值即可．
解：∵，
∴①×3+②×2，得2x=y，①×4+②×5，得3x=z，
∴x：y：z=x：2x：3x=1：2：3，
故选B．
【点拨】本题考查了三元一次方程组的解法，用含有x的代数式表示y与z是解此题的关键．
5．D
【分析】
由a+b+c＝0，a﹣b+c＝0可以得出：b＝0，a+c＝0，即：b＝0，a、c互为相反数，然后判断各个选项正确与否.
解：由a+b+c＝0，a﹣b+c＝0得，
b＝0，a+c＝0，即：b＝0，a、c互为相反数，
于是，选项A不正确，选项B不正确，选项C不正确，
∵a、c互为相反数，
∴ac≤0，﹣4ac≥0，
又b＝0，
∴b2﹣4ac≥0，因此选项D正确，
故选：D.
【点拨】此题考查解三元一次方程，互为相反数的应用，根据已知方程判定代数式的值，正确计算是解此题的关键.
6．A
【分析】
设一个小球的重量为x，一个小正方体的重量为y，一个小圆柱的的重量为z，根据题意列出方程组即可求得结果．
解：设一个小球的重量为x，一个小正方体的重量为y，
一个小圆柱的的重量为z，
则根据题意得：，
整理得：，
∴，
即4个小球的重量等于15个小正方体的重量，
故选：A．
【点拨】本题主要考查三元一次方程的应用，根据题意列出方程，找到等量关系代还是解题的关键．
7．D
【分析】
设购买甲、乙、丙各一件分别要x元、y元、z元，则购买甲、乙、丙各一件时应该付款（x+y+z）元，根据“当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，”列出方程组，即可求解．
解：设购买甲、乙、丙各一件分别要x元、y元、z元，则购买甲、乙、丙各一件时应该付款（x+y+z）元，
由题意得：
（1）+（2）得：5x+5y+5z=1000；
化简得：x+y+z=200；
即购买甲、乙、丙各一件时应该付款200元．
故选：D
【点拨】本题主要考查方程的实际应用，先找出等量关系列出方程，再用整体思想求出x+y+z的值；解题时要注意，三个未知数，两个等量关系，找出系数之间的关系，利用整体思想求解是解题的关键．
8．D
【分析】
设分别购买学习用品x、y、z，根据题意列出方程组求解即可．
解：设分别购买学习用品x、y、z，根据题意可得：

（①－②）×2得：③
①÷2得：④
④－③得：
方案一：
方案二：
方案三：
故选：D．
【点拨】本题考查三元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确解读题意，设出未知数，根据题意正确列出方程组．
9．A
【分析】
方程①乘以3得到方程③，方程②乘以2得到方程④，③-④即可得答案．
解：
①×3得：③，
②×2得：④，
③-④得：=-3，
故选：A．
【点拨】本题考查三元一次方程组，把两个方程正确变形是解题关键．
10．D
【分析】
由（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2020+1）2=4007得a12+a22+…+a20202=1849，设数列中1有x个、0有y个，-1有z个，根据题意得出1•x+0•y+（-1）•z=69，12•x+02•y+（-1）2•z=1853，解之可得．
解：（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2020+1）2=4007，
a12+2a1+1+a22+2a2+1+…+a20202+2a2020+1=4007，
（a12+a22+…+a20202）+2（a1+a2+…+a2020）+2020=4007，
∵a1+a2+…+a2020=69，
∴a12+a22+…+a20202=1849，
设a1，a2，…，a2020中1有x个、0有y个，-1有z个，
根据题意可得：1•x+0•y+（-1）•z=69，12•x+02•y+（-1）2•z=1849，
即，解得：，
则y=2020-959-890=171，即0有171个，
故选：D．
【点拨】本题主要考查三元一次方程组的应用和完全平方公式，根据题意列出关于x、y、z的方程组是解题的关键．
11．8
【分析】
首先用减法消元，将两式相减，得出，再将代入第一个方程，即可求出的值．
解：将两式相减得，
，即，
∴，
即，
故答案为：8．
【点拨】本题主要考查加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法和整体思想的应用．
12．1
【分析】
原式化为，得到x+y=0，即可得出z=0，解方程组即可求解．
解：原式化为，
②-①得，，
∵x，y，z的值中仅有一个为0，
∴，
由解得：，
∴，
故答案为：1．
【点拨】本题考查了解三元一次方程组，0指数幂运算，加减消元法消去z联立关于x、y的方程组是解题的关键．
13．
【分析】
先把c看作已知数，分别用c表示出a和b，让a≥0，b≥0列式求出c的取值范围，再求得m用c表示的形式，结合c的取值范围即可求得s的值．
解：3a+2b+c＝6，2a+b﹣3c＝1，
解得a＝7c﹣4，b＝9﹣11c；
∵a≥0、b≥0，
∴7c﹣4≥0，9﹣11c≥0，
∴≤c≤．
∵m＝3a+b﹣7c＝3c﹣3，
∴m随c的增大而增大，
∵c≤．
∴当c取最大值，m有最大值，
∴m的最大值为s＝3×﹣3＝．
故答案为．
【点拨】本题考查了三元一次方程组、解不等式组，解题的关键是：把看作已知数，分别用表示出．
14．4
【分析】
由新定义的运算，及，，构造方程组，不难得到参数，，之间的关系．又由有一个非零实数，使得对于任意实数，都有，可以得到一个关于的方程，解方程即可求出满足条件的的值．
解：，
由，，即，
，．
又由对于任意实数恒成立，
，
为非零实数，
，
．
．
．
．
故答案为：4．
【点拨】本题属于新定义的题目，根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算是关键，同时考查了学生合情推理的能力，属于中档题．
15．20
【分析】
设另一因式为，由题意得，根据整式的乘法运算，得到关于a、b、n的方程组，求解即可．
解：设另一因式为，由题意得


，
∴，
解得．
故答案为：20
【点拨】本题考查了整式的乘法，根据整式的乘法运算，设出另一个因式，运算后得到关于a、b、n的方程组是解题关键．
16．-2
【分析】
首先根据a，b，c这三个实数的大小关系列出方程组，再解该方程组即可得到结果．
解：根据题意得：
，
三式相加得2a+2b+2c=8，
解得a+b+c=4④，
④-③得，a=-2．
故答案为：-2．
【点拨】本题考查了有理数大小比较以及三元一次方程组的应用．解决本题的关键是根据题意列出方程组，解方程组并不难．
17．8
【分析】
设A型抽水机的工作效率为x，B型抽水机的工作效率为y，水池中原有水为m，A，B型抽水机同时工作则抽干水池里面的水需要n小时，根据“若A型抽水机先工作4小时，B型抽水机再工作，再共同工作24小时后刚好把水池抽干，若A型抽水机先工作2小时，B型抽水机再工作，则再共同工作16小时后就可把水池抽干，”可列出方程组，再由“A，B型抽水机同时工作则抽干水池里面的水”列出方程，即可求解．
解：设A型抽水机的工作效率为x，B型抽水机的工作效率为y，水池中原有水为m，A，B型抽水机同时工作则抽干水池里面的水需要n小时，
根据题意得： ，
解得： ，
若A，B型抽水机同时工作则抽干水池里面的水，则有
，
即 ，
解得： ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了三元一次方程组的应用，能够根据方程组用y表示出x、m是解题的关键．
18．4 8 6
【分析】
可由题意列个三元一次方程组，求解即可．
解：由题意得，
将②代入①，得c＝6，
则，
解得，
∴方程组的解为，
故答案为：4，8，6．
【点拨】此题的实质是解三元一次方程组，利用了三角形的周长公式．
19．835
【分析】
设甲类包裹有x个，乙类包裹有y个，丙类包裹有z个，根据题意列出x、y、z的三元一次方程组，用z表示x、y，进而由x、y的取值范围列出z的不等式组求z的取值范围，再根据x、y与z的关系式和x、y为整数求得z的整数值，从而求出x、y的值，再进行计算即可．
解：设甲类包裹有x个，乙类包裹有y个，丙类包裹有z个，根据题意，得：
，
①-②×2，得5x+8z=210，
解得：x=42-，
将x=42-代入②，得：
2（210-8z）+8y+6z=1060，
解得：y=80+，
∴，
∵x＜28，y＜106，
∴，
解得：，
∵z为正整数，
∴z的取值范围为：9≤z≤20的整数，
又∵x、y均为整数，
∴8z与5z既为5的倍数，又为4的倍数，
∴z=20，
当z=20时，，
∴所有包裹里尺规套装的总套数为：4×10+7×105+3×20=835（套）．
故答案为：835．
【点拨】本题主要考查了一元一次不等式组及三元一次方程组的应用，关键是正确列出不等式组和方程组，正确求不定方程的特殊解．
20．2：3
【分析】
先设A款校园文创产品的单价为a元，B款校园文创产品的单价为b元，C款校园文创产品的单价为c元，则甲礼盒的售价为：3a+2b+2c，乙礼盒的售价为：4a+b+c，丙礼盒的售价为：2a+4b+c；利用甲礼盒的售价比乙礼盒多11元，甲礼盒的售价比丙礼盒售价的2倍少80元，列出三元一次方程组，化简得到a关于c的关系式，然后利用A产品的单价不超过10元，各产品的零售单价均为正整数，得到c，a的值，进而利用﹣a+b+c＝11求得b的值，则结论可求．
解：设A款校园文创产品的单价为a元，B款校园文创产品的单价为b元，C款校园文创产品的单价为c元，
则甲礼盒的售价为：3a+2b+2c，
乙礼盒的售价为：4a+b+c，
丙礼盒的售价为：2a+4b+c．
∵甲礼盒的售价比乙礼盒多11元，甲礼盒的售价比丙礼盒售价的2倍少80元，
∴．
化简得：，
∴a＝c+2．
∵a≤10，a，b，c均为正整数，
∴c＝7，a＝8符合题意．
∴b＝11+a﹣c＝12．
∴A产品与B产品的单价之比为8：12＝2：3．
故答案为：2：3．
【点拨】本题主要考查了三元一次方程组的应用，列代数式．依据题干中的等量关系列出三元一次方程组是解题的关键．
21．（1）；（2）12
【分析】
（1）把x、y的值分别代入y=ax2+bx+c，得出关于a、b、c的方程组，求出方程组的解即可；
（2）求出y=x2+x+2，再把x=-3代入，即可求出答案．
解：（1）根据题意得：，
把②代入①，得a+b+2=8④，
把②代入③，得4a-2b+2=4⑤，
由④和⑤组成方程组，
解得：，
所以a=，b= ，c=2；
（2）由（1）得y=x2+x+2，
当x=-3时，y=×（-3）2+ ×（-3）+2=12．
【点拨】本题主要考查了解三元一次方程组的应用，能根据题意得出三元一次方程组是解本题的关键.
22．
【分析】
根据加减消元法把三元一次方程组化为二元一次方程组，进而即可求解．
解：，
①×2得：4x+6y+8z=30 ④，
②×4得：4x-8y+4z=-20 ⑤，
④-②得：11z=22，解得：z=2，
⑤-②得：-14y+7z=-28，即：-14y+7×2=-28，解得：y=3，
把z=2，y=3代入①得：2x+3×3+4×2=15，解得：x=-1，
∴方程组的解为：．
【点拨】本题主要考查解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法，是解题的关键．
23．（1）；（2）z=2
【分析】
（1）方程组利用“整体代换”思想求出解即可；
（2）方程组两方程变形后，利用“整体代换”思路求出z的值即可．
解：（1），
由②得③，
把方程①代入③得，，
解得：y=-3，代入①得，x=-1，
所以方程组的解为：；
（2），
由①得③，
由②得④，
③×2-④×3得z=2．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，用了整体代入思想．
24．
【分析】
根据几个非负数的和为零则它们都为零，解方程组可分别求得x、y、z的值，从而可求得结果的值．
解：∵ ，，．
由题意，得方程组
， 解得．
∴＝．
【点拨】本题主要考查了方程组的解法、非负数的和的性质：几个非负数的和为0，则它们都为0．在初中阶段数学中，有三个非负数：||，，掌握这个性质是解决本题的关键．
25．【完成解答】；【迁移运用】
【分析】
（1）【完成解答】把①代入②求出x的值，再把x的值代入①即可求解；
（2）【迁移运用】把①代入③求出c的值，把c的值代入②求出a的值，再把a的值代入①即可求解．
解：（1）【完成解答】
把①代入②，得，解得，
把代入①，可得，
∴方程组的解为；
（2）【迁移运用】
把①代入③，得，解得，
把代入②，得，解得，
把代入①，得，
∴方程组的解为．
【点拨】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组，掌握整体思想是解题的关键．
26．42分
【分析】
设、、分别表示答对题、题、题的人数，根据“答对题a的人数与答对题b的人数之和为29，答对题a的人数与答对题c的人数之和为25，答对题b的人数与答对题c的人数之和为20”，即可得出关于、、的三元一次方程组，解之即可得出、、的值，由、、的值结合a、b、c三题的分值可求出全班总得分，由、、的值结合答对两题及答对三题的人数可求出全班总人数，再利用平均分＝总分÷人数，即可求出结论．
解：设、、分别表示答对题、题、题的人数，
由题意可得：①
②
③
①+②+③得：④
④-①得：，同理，，
∴答对一题的人数为，全班人数为，
∴平均成绩为（分）．
答：这个班的平均成绩是42分．
【点拨】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
27．（1）4；（2）购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需11元．
【分析】
（1）由①-②，直接求得，
（2）设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，列出三元一次方程组，运用整体思想，将①×2②即可求得．
解：（1）
①-②得：，
故答案为：4
（2）设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，根据题意得

①×2②得，．
答：购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需11元．
【点拨】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，三元一次方程组的应用，整体思想是解题的关键．
28．（1）最小的“心想事成数”为1010；最大的“心想事成数”为9999；（2）四位数3625是“心想事成数”，理由见解析；（3）所有满足条件的“心想事成数”有：3254，2468，7294，4040，8080．
【分析】
（1）利用“心想事成数”的意义和整数的特性解答即可；
（2）利用“心想事成数”的意义加以判断和说明理由；
（3）根据已知条件和“心想事成数”的意义列出方程组，利用整数的特性即可求得结论．
解：（1）由于最小的非负整数为0，但0不可以做首位，所以放在最末位．这样选择次小的正整数1做首位．
∵a+d=1，
∴b+c=1．
为了更小，把1放在十位，0放在百位．
∴最小的“心想事成数”为1010；
∵数位上最大的数字为9，
∴最大的“心想事成数”为9999；
（2）四位数3625是“心想事成数”．理由：
∵3+5=6+2，
∴四位数3625是“心想事成数”；
（3）设K是正整数，由已知可得：
．
∵0＜a≤9，0＜c≤9，
∴K=1或2．
当K=1时，可解得：
①a=3，b=2，c=5，d=4，“心想事成数”是3254；
②a=2，b=4，c=6，d=8，“心想事成数”为2468；
③a=4，b=0，c=4，d=0，“心想事成数”为4040；
当K=2时，可得：
④a=7，b=2，c=9，d=4，“心想事成数”是7294；
⑤a=8，b=0，c=8，d=0，“心想事成数”是8080；
综上，所有满足条件的“心想事成数”有：3254，2468，7294，4040，8080．
【点拨】本题是阅读型题目，主要考查了有理数的混合运算，列代数式，不等式，三元一次方程的整数解，数位上的数字的特征，理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键．