2021-2022学年湖南省株洲市第二中学高一下学期“同济大学”杯数理化联赛数学试题含解析

2021-2022学年湖南省株洲市第二中学高一下学期“同济大学”杯数理化联赛数学试题

一、单选题

1．以下说法正确的是（       ）

A．若（为实数），则必为零 B．若，，则

C．共线向量又叫平行向量 D．若和都是单位向量，则

【答案】C

【分析】根据共线向量、单位向量的定义、结合零向量的性质判断各选项的正误.

【详解】A：若，则为任意实数，错误；

B：若，则不一定成立，错误；

C：由共线向量的定义知：共线向量又叫平行向量，正确；

D：由单位向量的定义：和的模相等均为1，但不一定成立，错误.

故选：C

2．已知函数幂函数，且在其定义域内为单调函数，则实数（       ）

A． B．

C．或 D．

【答案】A

【分析】由幂函数的定义可得出关于的等式，求出的值，然后再将的值代入函数解析式进行检验，可得结果.

【详解】因为函数为幂函数，则，即，解得或.

若，函数解析式为，该函数在定义域上不单调，舍去；

若，函数解析式为，该函数在定义域上为增函数，合乎题意.

综上所述，.

故选：A.

3．已知， 则a，b，c的大小关系是（    ）

A．b>c>a B．c>a>b C．b>a>c D．c>b>a

【答案】D

【解析】根据指数函数、对数函数的单调性，选取中间量即可比较大小.

【详解】， ，

，则.

故选：D.

【点睛】比较大小的方法有：

（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小；（3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小.

4．已知函数，则不等式成立的一个充分不必要条件为（       ）

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】根据解析式可判断出是定义在的增函数且是奇函数，不等式可化为，即得，解出即可判断.

【详解】可得的定义域为，

和都是增函数，是定义在的增函数，

，是奇函数，

则不等式化为，

，解得，

则不等式成立的充分不必要条件应是的真子集，

只有B选项满足.

故选：B.

【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，解题的关键是判断出是增函数且是奇函数，从而将不等式化为求解.

5．区块链作为一种革新技术，已经被应用于许多领域，在区块链技术中，若密码的长度设定为比特，则密码一共有种可能，因此为了破解密码，最坏情况需要进行次运算，现在有一台机器，每秒能进行次运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下这台机器破译密码所需时间大约为（       ）参考数据：，

A．秒 B．秒 C．秒 D．秒

【答案】A

【分析】所需时间，利用对数运算法则化简可得，进而得到，由指数运算法则可求得结果.

【详解】由题意知：所需时间，

，

.

故选：A.

6．若，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】

,

所以 原式

，

故选C.

点睛：三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用.

本题主要考查两角和与差的公式.

7．函数在区间上是单调函数，则正数的取值范围为（       ）

A． B． C．或 D．

【答案】C

【分析】利用二倍角公式及辅助角公式将函数转化为正弦型函数，再根据函数

在区间上是单调函数，分两种情况讨论即可求解.

【详解】

由，，得，

又在上递增，所以，

解得，

又在上递减，所以，

解得，

综上，所述正数的取值范围为.

故选: C.

8．如图，在中，，且，则（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【解析】由题可,所以将已知式子中的向量用表示，可得到的关系，再由三点共线，又得到一个关于的关系，从而可求得答案

【详解】由，则

，即，所以，又共线，则.

故选：C

【点睛】此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题.

二、多选题

9．已知关于的一元二次不等式，其中，则该不等式的解集可能是（       ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】不等式变形后，确定相应二次方程的根有大小得不等式解集．

【详解】不等式变形为，又，所以，

时，不等式解集为空集；

，，

时，，

因此解集可能为ABD．

故选：ABD．

10．若，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】根据和的单调性可得AB正误；利用作差法，结合换底公式、对数函数单调性可得CD正误.

【详解】对于A，当时，在上为增函数，所以当时，，故A正确；

对于B，因为当时，在上为减函数，所以当时，

，即，所以，故B正确；

对于C，，因为，

，所以，因为，所以，即，故C正确

对于D，，因为，，

所以，，，又当时，与关于直线对称，

所以当时，恒成立，所以，所以，

所以，即，故D不正确.

故选：ABC.

11．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算中项，几何中项以及调和中项毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式（，）叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（       ）

A．若，，，则

B．若，，，则的最小值为

C．若，，，则的最小值为

D．若，，，则的最小值为2

【答案】AD

【分析】A.根据，由“1”的代换，利用基本不等式求解判断；B. 令，得到，由“1”的代换，利用基本不等式求解判断； C.由，得到，利用基本不等式求解判断.D. 令，得到，由“1”的代换，利用基本不等式求解判断.

【详解】A.因为，，，所以，

当且仅当，即时，等号成立，故正确；

B. 因为，，，令，则，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，故B错误；

C. 因为，，，所以，

则，当且仅当，即时，等号成立，故错误；

D. 令，则，，则，

而，

当且仅当，即时，等号成立，故正确；

故选：AD

12．定义“正对数”：，下列命题中正确的有（       ）

A．若，，则；

B．若，，则；

C．若，，则；

D．若，，则.

【答案】BCD

【解析】对于A，通过举反例说明错误；对于B，由“正对数”的定义分别对、分，；，两种情况进行推理；对于CD，分别从四种情况，即当，时；当，时；当，时；当，时进行推理．

【详解】对于A，当，时，满足，，而，

，，命题A错误；

对于B，当，时，有，

从而，，；

当，时，有，从而，，

.

当，时，，命题B正确；

对于C，由“正对数”的定义知，且．

当，时，，而，则；

当，时，有，，而，

，则．

当，时，有，，而，则．

当，时，，则．

当，时，，命题C正确；

对于D，由“正对数”的定义知，当时，有.

当，时，有，

从而，，

；

当，时，有，从而，，；

当，时，有，从而，

，；

当，时，，，

，，

从而，命题D正确．

故选：BCD．

【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查新定义，解答的关键是对“正对数”定义的理解与应用，考查运算能力和逻辑推理能力，属于难题．

三、填空题

13．已知向量，满足，，且，则与的夹角等于________．

【答案】

【分析】由，得，进而利用向量夹角公式即得.

【详解】由条件，

可得，

即，

得到，

所以，又，

所以．

故答案为：.

14．在梯形中，已知，，，若，则=_________

【答案】

【解析】根据题意画出梯形，由平面向量的线性运算及平面向量基本定理，即可求得的值，从而求得的值.

【详解】根据题意，，，，画出梯形如下图所示：

则

因为

所以

则

故答案为：

【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理的应用，属于基础题.

15．对于定义域为的函数，若同时满足：①在上单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域为，那么把（）叫做闭函数，若是闭函数，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】根据新定义，确定函数的单调性，然后由定义域求值域，转化为方程有两个不等实根，结合二次函数的性质可得参数的范围．

【详解】若是闭函数，显然是定义域上的增函数，

定义域是，对，有，

所以方程在上有两个不等实根．

在上有两个不等实根．

令，则，

有两个非负实根，

又，在上递减，在上递增，

，，所以时有两个非负实根，

故答案为：．

16．设表示不超过的最大整数（如：，），对于给定的，定义，，则当时，函数的值域是___________.

【答案】

【分析】根据表示不超过的最大整数，将，分和求解.

【详解】解：因为时，=1，

所以，

当时，，

所以，

函数的值域是

四、解答题

17．已知集合，，

(1)若，求实数的取值范围；

(2)若中，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）解不等式求出集合，再根据列不等式组即可求解；

（2）求出方程的两根分别为，讨论，，时集合，结合，即可求解.

【详解】(1)解：因为，

，

又，则，所以，解得：，

所以实数的取值范围为：；

(2)解：由可得：，

当时，，此时，而，

若，则满足题意，

当时，，不等式解集为，此时满足，

所以符合题意；

当时，，此时，而，

若，则或，解得或，

综上所述：实数的取值范围为：或.

18．已知.

(1)若，求的值；

(2)若，且，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用诱导公式求出，由已知得出，再由齐次式即可求解.

（2）由题意可得，，再由两角和的正切公式即可求解.

【详解】(1)

由已知，，得

所以

(2)由，，可知，，

∴.

∵，∴.

而，∴.

∴，∴.

19．已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x＋

（1）求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；

（2）若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．

【答案】（1）x＝π＋kπ(k∈Z)，最大值为1；（2）.

【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数f(x)解析式，由正弦函数的性质可得答案.

（2）求出函数f(x)的对称轴，得到x1与x2的关系，利用诱导公式化简可得答案.

【详解】（1）f(x)＝cos xsin x－ (2cos2x－1)＝sin 2x－cos 2x＝sin.

当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.

（2）由（1）知，当x∈(0，π)时，函数f(x)图象的对称轴为x＝π.

又方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2.

所以x1＋x2＝π，则x1＝π－x2，

所以cos(x1－x2)＝cos＝sin，

又f(x2)＝sin＝，

故cos(x1－x2)＝.

【点睛】本题考查三角函数恒等变换，考查正弦函数的图像与性质，属于中档题.

20．已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式：

(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．

①当时，求函数的值域；

②若方程在上有三个不相等的实数根，求的值．

【答案】(1)；

(2)①；②.

【分析】（1）由图象得A、B、，再代入点，求解可得函数的解析式；

（2）①由已知得，由求得，继而求得函数的值域；

②令，，做出函数的图象，设有三个不同的实数根，有，，继而得，由此可得答案.

【详解】(1)解：由图示得：，

又，所以，所以，所以，

又因为过点，所以，即，

所以，解得，又，所以，

所以；

(2)解①：由已知得，当时，，

所以，所以，所以，

所以函数的值域为；

②当时，，令，则，

令，则函数的图象如下图所示，且，，，

由图象得有三个不同的实数根，则，，

所以，即，

所以，所以，

故.

21．悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数.

(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数的最小值；

①；

②；

③.

(2)求证：，.

【答案】(1)条件选择见解析，证明见解析，函数的最小值为；

(2)证明见解析.

【分析】（1）利用双曲正、余弦函数的定义，结合指数运算可证得①②③成立，令，利用二次函数的基本性质可求得函数的最小值；

（2），将所证不等式等价转化为，分、两种情况讨论，利用指数函数的单调性结合正余弦函数的性质可证得结论成立.

【详解】(1)证明：选①，；

选②，；

选③，.

，令，

因为函数、均为上的增函数，故函数也为上的增函数，

故，则，所以，

所以，当且仅当时取“”，

所以的最小值为.

(2)证明：，

，

当时，，，所以，

所以，所以成立；

当时，则，且正弦函数在上为增函数，

，所以，，

所以成立，

综上，，.

22．已知函数（，）是奇函数.

(1)若，对任意有恒成立，求实数的取值范围；

(2)设（，），若，问是否存在实数使函数在上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)；

(2)不存在，理由见解析.

【分析】（1）根据定义域为R及奇函数性质求参数t，可得的解析式并判断出单调性，根据，将不等式转化为在恒成立，即可求范围；

（2）先用表示函数，根据求得的解析式，根据单调性利用换元法求得的值域，结合对数的定义域求的范围，根据对数型复合函数的单调性判断在的取值范围内能否取到最大值0.

【详解】(1)由题设，，解得，故，

而，解得，

所以在R上单调递减且，

所以等价于，即，

所以在恒成立，整理可得，

由对勾函数的性质知：，所以.

(2)不存在实数，理由如下：

，

因为，代入得，解得或(舍)，

所以，易知在R上为单调递增函数，

令，当时，，

所以，

对于，在上恒成立，即在上，

令，，所以，即，

又，所以 ，

对于二次函数：开口向上且对称轴为，

所以对称轴位于的左侧，即在内单调递增，

所以，，

假设存在满足条件的实数且，则

当时，为减函数，，即，解得舍去，

当时，为增函数，，即，解得舍去，

综上，不存在实数满足条件成立.

【点睛】关键点点睛：

（1）由奇函数性质求出参数t，再由，将问题转化为在恒成立；

（2）根据已知条件求出解析式并求出值域，结合对数函数的性质：在上求m的范围，最后讨论m的范围，利用二次函数、对数复合函数的单调性判断m的存在性.