2023年九年级数学中考二轮复习专题——三角形的存在性问题课件

这是一份2023年九年级数学中考二轮复习专题——三角形的存在性问题课件，共37页。PPT课件主要包含了三角形的存在性问题，中考总复习二轮复习，等腰三角形的存在性，综上所述，思路点拨，根据三边分别相等列式，CQ＝t，技巧总结，作业来啦，解得OQ31或3等内容，欢迎下载使用。

1.等腰三角形的存在性题型
解题策略◆如果△ABC是等腰三角形，那么存在 ①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．◆几何法一般分三步：分类、画图、计算．◆代数法一般也分三步： 罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．
例1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．
解：①如图1，当PD＝PO时，作PE⊥OD于E．在Rt△OPE中， ， ，所以 ．此时点P的坐标为 ．
②如图2，当OP＝OD＝5时，点P的坐标为(5，0)．
③如图3，当DO＝DP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点P的坐标为(6，0)．
一、罗列 已知信息 D(3，4) 显而易见的信息OD=5二、考虑三种情况 画图三、根据等量关系列式求解 做底边的高，三角函数
例2 如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标．
①当AP＝AQ时，AP2＝AQ2，(2m＋1)2＝m2＋1，得m=0或m= 所以符合条件的点P不存在．
AP2＝(2m＋1)2
②当PA＝PQ时，PA2＝PQ2(2m＋1)2＝5m2，得 所以
③当QA＝QP时，QA2＝QP2m2＋1＝5m2得 所以
不好画图、不好计算——用代数法
用未知数表示三角形三边
解方程，并判断解是否符合题意
相关知识——相似三角形的判定1、三边对应成比例(SSS)2、两边成比例且夹角相等(SAS)3、两角分别相等(AA)4、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
例3 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则都停止运动．在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．
①如图1，当CP=CQ时t=10-2t解得 (秒)
CP＝10－2t
②如图2，当时QP=QC过点Q作QM⊥AC于M则CM 解得 (秒).
③如图3，当PQ=PC时过点P作PN⊥BC于N则CN解得 (秒).
例4 如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式； （2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若 ，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
解：(1)由题可得△DCE∽△EBF，因此 ，即 ．整理，得y关于x的函数关系为
(2)如图1，当m＝8时， 因此当x＝4时，y取得最大值为2．
（3）若 ，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
解：(3)若 ,则整理，得解得x＝2或x＝6要使△DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况.因为△DCE与△EBF全等，所以CE＝BF，即x＝y．将x＝y ＝2代入 ，得m＝6（如图2）；将x＝y ＝6代入 ，得m＝2（如图3）．
等腰直角三角形，只有一种可能
解等腰三角形存在性问题的一般过程1.好画图——几何法 分类、画图、根据等量关系列式2.不好画图——代数法 用未知数表示三边、根据边相等列 式 、解方程并检验根
例4 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，DE＝4．动线段DE（端点D从点B开始）沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止．过点E作EF//AC交AB于点F（当点E与点C重合时，EF与CA重合），联结DF，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；（2）在这个运动过程中，求出t的值使△DEF为等腰三角形？
2.直角三角形的存在性题型
直角三角形的存在性问题
解题策略①已知三角形为直角三角形求未知数 按直角分类、用含未知数的式子表示三角形边长列方程②已知直角边，过直角边的两个端点作垂线，第三个顶点在垂线上 k1×k2=-1③已知斜边，以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上 相似三角形
例1 如图，在△ABC中，AB=AC=10， D、E为线段BC上的两个动点，且DE=3（E在D的右边），运动初始时D与B重合，当E与C重合时运动停止，过点E作EF∥AC交AB于F，连接DF，设BD=x，如果三角形BDF为直角三角形，求x的值.
∠B为锐角，直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况
把∠B的两条边用含有x的式子表示出来
由题可知△BFE∽△BAC
①如图2，当∠BDF=90°时
②如图3，当∠BFD=90°时
例2 如图，已知直线y=kx-6经过点A(1,-4)，与x轴相交于点B，若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标.
将A(1,-4)代入y=kx-6，得k=2
∴y=2x-6，B(3,0)
如图1,设AQ1解析式为
③如图3，以AB为直径画圆与y轴分别交于Q3,Q4
过点A作AE⊥y轴于点E
△BOQ3∽△Q3EA
巩固练习 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），OA=OC=4OB并且，动点P在过A、B、C三点的抛物线上.1）求抛物线的解析式；2）在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
(2)作CP1⊥AC交抛物线于点P1
作P1E⊥y轴于点E
∵OC=OA ∴P1E=EC
(2)作AP2⊥AC交抛物线于点P2
作P1N⊥x轴于点N
△P2NF ∽△CAF，且都是等腰三角形
巩固练习如图，在△ABC中,CA=CB,AB=8, 点D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，连接CE、DE. 1）设CE与AB交于点F，当△ACF为直角三角形时，求AD的长；2）连接AE，当△ADE是直角三角形时，求AD的长.
1) 如图1,当∠AFC=90°时
CF=3，EF=CE-CF=2
1) 如图2,当∠ACF=90°时
设DG=3m,则DE=5m，GE=4m
1) 如图3,当点E在AB下方时
∠ADC=∠EDC=135°
△CHD为等腰直角三角形
AD=AH-DH=4-3=1
巩固练习如图，在△ABC中,CA=CB,AB=8, 点D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，连接CE、DE. 2）连接AE，当△ADE是直角三角形时，求AD的长.
1) 如图4,当点E在AB上方时
∠ADC=∠CDE=45°
AD=AH+DH=4+3=7
直角三角形的存在性问题解题策略①已知三角形为直角三角形求未知数 按直角分类、用含未知数的式子表示三角形边长列方程②已知直角边，过直角边的两个端点作垂线，第三个顶点在垂线上 k1×k2=-1③已知斜边，以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上 相似三角形
3.相似三角形的存在性题型
相似三角形的存在性问题
解题策略相似三角形的三个判定定理(SAS、AA、SSS)①判定定理1是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验②应用判定定理2解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等③判定定理3，根据三边对应成比例列连比式解方程
例1 如图，抛物线 与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C．动直线EF（EF//x轴）从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．是否存在t，使得△BPF与△ABC相似．若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由．
∠B是两个三角形的公共角，分类讨论对应边
用含t的代数式表示三角形的边
例2 如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的解析式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上点B右侧，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．
例3 如图，在△ABC中，AB＝AC＝4√2，BC＝8．⊙A的半径为2，动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．延长BA交⊙A于点D，连结AP交⊙A于点E，连结DE并延长交BC于点F．设点P运动的时间为t秒，当△ABP与△FBD相似时，求t的值．
两个三角形有公共角∠B
BD=4√2+2，BA=4√2，BP=t，BF=？
①当∠BAP=∠BDF时
②当∠BPA=∠BDF时
∴∠BAP=2∠ADE=2∠APB
△BAP内角和=∠B+∠BAP+∠BPA=45°+3∠BPA=180°
此时点P与点C重合，t=8
∵∠BAP=∠ADE+∠AED=2∠ADE，∴不成立
例4 如图，二次函数y＝x2＋3x的图象经过点A(1,a)，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C(0, 2)，直线AC交抛物线于点B，连结OA、OB、OD、BD．求坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标。
设点E的坐标为(x, y)
根据EO2＝68，DE2＝180