2023届高考数学二轮复习3.排列、组合与二项式定理作业含答案

3.排列、组合与二项式定理

一、单项选择题

1.(2022·江苏苏锡常镇一模)在的展开式中,第二项的系数为(　　)

A.4 B.-4 

C.6 D.-6

2.(2022·山东临沂三模)在的展开式中,各二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为(　　)

A.-32 B.-1 

C.1 D.32

3.(2022·山东菏泽一模)(a-x)(2+x)6的展开式中含x5的项的系数是12,则实数a的值为(　　)

A.4 B.5 

C.6 D.7

4.(2022·山东济南三模)“回文联”是对联中的一种,既可顺读,也可倒读.比如,一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联:雾锁山头山锁雾,天连水尾水连天.据此可定义“回文数”,n为自然数,且n的各位数字反向排列所得自然数n'与n相等,这样的n称为“回文数”,如:1221,2413142.则所有五位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有(　　)

A.648个 B.720个

C.810个 D.891个

5.(2022·山东枣庄三模)在(x2-2x+y)6的展开式中,含x5y2的项的系数为(　　)

A.-480 B.480

C.-240 D.240

6.(2022·新高考Ⅱ·5)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排列方式有(　　)

A.12种 B.24种 

C.36种 D.48种

7.(2022·山东淄博一模)若(1-x)8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a8(1+x)8,则a6=(　　)

A.-448 B.-112 

C.112 D.448

8.(2022·山东临沂三模)志愿服务是全员核酸检测工作的重要基础和保障,某核酸检测站点需要连续六天有志愿者参加服务,每天只需要一名志愿者,现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者,计划依次安排到该站点参加服务,要求甲不安排第一天,乙和丙在相邻两天参加服务,则不同的安排方案共有(　　)

A.72种 B.81种

C.144种 D.192种

二、多项选择题

9.(2022·山东济南一模)在的展开式中,下列结论中正确的是(　　)

A.展开式共6项

B.常数项为64

C.所有项的系数之和为729

D.所有项的二项式系数之和为64

10.(2022·重庆实验中学模拟)有6本不同的书,按下列方式进行分配,则下列选项中分配种数正确的是(　　)

A.分给甲、乙、丙三人,每人各2本,有15种分法

B.分给甲、乙、丙三人,其中一人4本,另两人各1本,有90种分法

C.分给甲、乙每人各2本,分给丙、丁每人各1本,有90种分法

D.分给甲、乙、丙、丁四人,有两人各2本,另两人各1本,有1 080种分法

11.(2022·江苏连云港模拟)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周,则(　　)

A.某学生从中选3门,共有30种选法

B.课程“射”“御”排在不相邻两周,共有240种排法

C.课程“礼”“乐”“数”排在相邻三周,共有144种排法

D.课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,共有504种排法

12.(2022·广东韶关模拟)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列,在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中,除每行两边的数都是1外,其余每个数都是其“肩上”的两个数之和,例如第4行的6为第3行中两个3的和,则下列说法正确的是(　　)

A.在“杨辉三角”第9行中,从左到右第7个数是84

B.在“杨辉三角”中,当n=12时,从第1行起,每一行的第2列的数字之和为66

C.在“杨辉三角”中,第n行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字

D.记“杨辉三角”第n行的第i个数为ai,则2i-1ai=2n

三、填空题

13.(2022·重庆三模)写出一个正整数n,使得的展开式中存在常数项,则n可以是　　　　　.(写出一个即可) 

14.(2022·河北石家庄模拟)22 022除以7的余数为　　　　　. 

15.(2022·浙江·12)已知多项式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2=　　　　　,a1+a2+a3+a4+a5=　　　　　. 

16.(2022·河南郑州三模)党的十九大报告提出“乡村振兴战略”,要“推动城乡义务教育一体化发展,高度重视农村义务教育”.为了响应报告精神,某师范大学6名毕业生主动申请到某山区的乡村小学工作,若将这6名毕业生分配到该山区的3所乡村小学,且每所学校至少分配1人,则分配方案的总数为　　　　　. 

3.排列、组合与二项式定理

1.B　解析的展开式的第二项为T2=T1+1=x4-1=-x2=-4x2,所以第二项的系数为-4.

2.B　解析∵二项式系数的和是32,∴2n=32,则n=5.

令x=1,则展开式中各项系数的和为(-1)5=-1.

3.C　解析利用二项式定理展开得(a-x)(2+x)6=(a-x)(×26+×25x+×24x2+×23x3+×22x4+×2x5+x6),则x5的系数为a×2-×22=12,解得a=6.

4.D　解析根据“回文数”的特点,只需确定前3位即可,最高位即万位有9种情况,千位和百位各有10种情况,根据分步乘法计数原理,共有9×10×10=900个“回文数”,其中各位数字相同的“回文数”共有9个,则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有900-9=891个.

5.A　解析(x2-2x+y)6看成是6个(x2-2x+y)相乘,要得到x5y2,则在6个因式中,2个因式取y,1个因式取x2,3个因式取-2x,此时x5y2的系数×(-2)3=-480.

6.B　解析把丙、丁看成一个元素,则(丙、丁)、乙、戊的排列共有=12种不同的排法.又由于甲不站在两端,利用“插空法”可得甲只有种不同的排法.由分步乘法计数原理可得,不同的排列方式共有12=24种.故选B.

7.C　解析(1-x)8=(x-1)8=[(1+x)-2]8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a8(1+x)8,a6=·(-2)2=112.

8.D　解析若乙和丙在相邻两天参加服务,则不同的安排方案共有=240种,若乙和丙在相邻两天参加服务且甲安排在第一天参加服务,则不同的安排方案共有=48种,故满足条件的安排方案共有240-48=192种.

9.CD　解析的展开式的总项数是7,故A不正确;

的展开式的常数项为x6-3=160,故B不正确;

取x=1,得的展开式的所有项的系数之和为36=729,故C正确;

由二项式系数的性质,得的展开式中所有项的二项式系数之和为26=64,故D正确.

10.BD　解析对于A,6本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人各2本,共有=15×6=90种分法,故A错误;

对于B,6本不同的书分给甲、乙、丙三人,其中一人4本,另两人各1本,共有=15×6=90种分法,故B正确;

对于C,6本不同的书分给甲、乙每人各2本,丙、丁每人各1本,共有=180种分法,故C错误;

对于D,6本不同的书,分给甲、乙、丙、丁四人,有两人各2本,另两人各1本,共有=45×24=1080种分法,故D正确.

11.CD　解析对于A,某学生从中选3门,共有=20种选法,故A错误;

对于B,课程“射”“御”排在不相邻两周,先排好其他的4门课程,有5个空位可选,

在其中任选2个,安排“射”“御”,共有=480种排法,故B错误;

对于C,课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,将“礼”“书”“数”看成一个整体,与其他3门课程全排列,共有=144种排法,故C正确;

对于D,课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,分2种情况讨论,若课程“乐”排在最后一周,有种排法,若课程“乐”不排在最后一周,有种排法,所以共有=504种排法,故D正确.

12.AC　解析对于A,在杨辉三角中,第9行第7个数是=84,故A正确;

对于B,当n=12时,从第1行起,每一行的第2列数字之和S=1+2+…+12==78,故B错误;

对于C,用数学符号语言可表示为()2+()2+…+()2=,

证明如下:(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n=(x+x2+…+xn)(xn+xn-1+xn-2+…+),

对应相乘,恰好得到含xn的项的系数为()2+()2+…+()2,

而是(1+x)2n的展开式中第n+1项的二项式系数(即含xn的项的系数),

故()2+()2+()2+…+()2=,故C正确;

对于D,第n行的第i个数为ai=,所以2i-1ai=20a1+21a2+22a3+…+2nan+1=×20+×21+×22+…+×2n=(1+2)n=3n,故D错误.

13.5(答案不唯一)　解析根据的展开式的通项为Tk+1=)k=,则5k-4n=0有解,故可取n=5,k=4.

14.1　解析22022=(23)674=8674=(7+1)674,

其中(7+1)674=(1+7)674=×70+×71+×72+…+×7674=1+×71+×72+…+×7674=1+7(×71+…+×7673),所以22022除以7的余数为1.

15.8　-2　解析(x-1)4展开式的通项为Tk+1=x4-k(-1)k,

故a2=1××(-1)3+2××(-1)2=8.

令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,令x=0,得a0=2,所以a1+a2+a3+a4+a5=-2.

16.540　解析第一步将6名毕业生分成3组,且每组至少1人,一共有3种分配方案,即1,1,4或1,2,3或2,2,2,其中1,1,4的分配方式有=15种,1,2,3的分配方式有=60种,2,2,2的分配方式有=15种;第二步将分好的3组毕业生分配到3所乡村小学,其分法有=6种.利用分步乘法计数原理可知,分配方案的总数为(15+60+15)×6=540.