河南省周口市淮阳区淮阳中学2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

2022~2023学年高一上学期期末考试试卷

数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（）

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可得或，进而讨论a的范围，确定出，最后得到答案.

【详解】因为，，所以或，

由，得，

关于x的方程，

当时，即时，易知，符合题意；

当时，即或时，易知0， -a不是方程的根，故，不符合题意；

当时，即时，方程 无实根，

若a=0，则B={0}，，符合题意，

若或，则，不符合题意.

所以，故.

故选：B.

【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当时，容易遗漏a=0时的情况，注意仔细分析题目.

2. 已知为第三象限角，则下列判断正确的是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据为第三象限角，由三角函数在象限的正负，判断选项.

【详解】是第三象限角，，，，故AB不正确；

，故C不正确；

，故D正确.

故选：D

3. 如果两个正方形的边长之和为，那么它们的面积之和的最小值是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

设两个正方形的边长分别为、，可得，利用基本不等式可求得两个正方形的面积之和的最小值.

【详解】设两个正方形的边长分别为、，则，且，

由基本不等式可得，所以，，

所以，，当且仅当时，等号成立，

因此，两个正方形的面积之和的最小值为.

故选：B.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

4. 已知，则的值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】将分式化为整式后可得的值.

【详解】因为，故即，

若，则，与平方和为1矛盾，

故即，

故选：D.

5. 如果方程的解为，则实数的值分别是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将两根代入二次方程，待定系数求解即可

【详解】由题意，方程的解为，

故，

解得.

故选：A

6. “”是“函数是定义在上的减函数”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

本题首先可以根据函数是定义在上的减函数得出，然后根据是的真子集即可得出结果.

【详解】因为函数是定义在上的减函数，

所以，解得，

因为是的真子集，

所以“”是“函数是定义在上的减函数”的必要不充分条件，

故选：B.

【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判断，可借助集合的方式进行判断，考查分段函数的单调性，分段函数在定义域上单调递减时，每段函数都递减，且要注意分界点处函数值的处理，是中档题.

7. 已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设函数的最小正周期为，根据题意分析得出，其中，可得出，利用函数的单调性可得出的取值范围，可得出的可能取值，然后对的值由大到小进行检验，可得结果.

【详解】设函数的最小正周期为，

因为是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，

则，其中，所以，，，

因为函数在区间上单调，则，所以，.

所以，的可能取值有：、、、、.

（i）当时，，，

所以，，则，

，，所以，，

当时，，所以，

函数在上不单调，不合乎题意；

（ii）当时，，，

所以，，则，

，，所以，，

当时，，所以，

函数在上单调递减，合乎题意.

因此，最大值为.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数中的最值的求解，解题的关键在于利用函数的周期确定的表达式与取值范围，再进行检验即可.

8. 设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】，只需要研究的根的情况，借助于和的图像，根据交点情况，列不等式组，解出的取值范围.

【详解】令，则

令，则

则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t，使得，求的取值范围.

作出和的图像，观察交点个数，

可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，

由题意列不等式的：

解得：.

故选：B

【点睛】研究y=Asin(ωx+φ)+B的性质通常用换元法（令），转化为研究的图像和性质较为方便.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 设集合，且，则实数a可以是（）

A B. 1 C.  D. 0

【答案】ACD

【解析】

【分析】由，可得，对集合N分类讨论可得结果.

【详解】，因为，所以，

因为，所以当时，，满足，

当时，，满足，

当时，，满足，

故选：ACD.

10. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，则（）

A. 函数是偶函数 B. 是函数的一个零点

C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象关于直线对称

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据三角函数图象变换可得，根据函数图象性质逐项判断即可.

【详解】解：将函数的图象向左平移个单位长度，可得，

再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得，

对于A选项，令，

则，，故函数不是偶函数，A不正确；

对于B选项，因为，故是函数的一个零点，B正确；

对于C选项，当时，，所以函数在区间上单调递增，C正确；

对于D选项，因为对称轴满足，解得，

则时，，所以函数的图象关于直线对称，D正确．

故选：BCD．

11. 已知函数，下列说法正确的是（　　）

A. 函数的图象不过定点

B. 函数在区间上单调递减

C. 函数在区间上的最小值为0

D. 若对任意，恒成立，则实数的取值范围是

【答案】CD

【解析】

【分析】根据对数函数的图象与性质逐一判断

【详解】对于A，因为对任意都有，所以的图象过定点，故A错误；

对于B，时，，在上单调递增，故B错误；

对于C，由以上知在上单调递减，在上单调递增，在区间上的最小值为，故C正确；

对于D，对任意，恒成立，则有，解得，故D正确．

故选：CD

12. 函数的图像关于对称，且，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据辅助角公式化简，然后根据其图像关于对称，可得之间的关系，从而得到，然后对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】因为，

其中

因为函数的图像关于对称，

所以，即

化简得，故A正确.

则

即，

因为，故B正确.

因为

，故C错误.

因为

故D正确.

故选:ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 不等式的解集为，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】由题意可得恒成立，分别对，，讨论，

结合二次不等式、二次函数图像与性质即可求出答案.

【详解】由不等式的解集为等价于恒成立，

当时，成立，符合条件；

当时，根据二次函数图像开口向上，肯定会有函数值大于0，故不符合；

当时，只需让，解得，

综上所述，a的取值范围为，

故答案为：

14. 已知，，且，则最大值是______．

【答案】

【解析】

【分析】利用，，且，求出的范围，将消元得，利用二次函数的最值及倒数法则即可求得的最大值.

【详解】解：因为，，且，所以，

，

当时，取最小值，

所以取最大值，

故的最大值是.

故答案为：.

15. 已知函数，则________.

【答案】##

【解析】

【分析】可令，，利用倒序相加法，将角度之和为的两项结合（如化简整理即可．

【详解】解：，

，

令，①

，②

①②得：，

，即．

故答案为：.

16. 若正实数满足，则的最大值为________.

【答案】

【解析】

【分析】

由题设，由结合基本不等式可得，从而可得的最大值.

【详解】因为，所以，

而，故，所以，

当且仅当等号成立，故的最大值为.

故答案为：.

【点睛】本题为三元等式条件下的最值问题，注意将欲求范围的变量分离出来，再结合代数式的特点把最值问题转化为整体的范围问题，而后者可根据基本不等式来处理，本题属于中档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 设集合，

（1）请写出一个集合，使“”是“”的充分条件，但“”不是“”的必要条件；

（2）请写出一个集合，使“”是“”的必要条件，但“”不是“”的充分条件．

【答案】（1）（答案不唯一）；（2）（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据充分必要性判断集合与集合之间的包含关系，从而写出符合题意的集合.

【详解】（1）由于“”是“”的充分条件，但“”不是“”的必要条件，所以集合是集合的真子集，由此可得符合题意.

（2）由于于“”是“”的必要条件，但“”不是“”的充分条件，所以集合是集合的真子集，由此可知符合题意.

18. 已知函数，a不为0．

（1）当时，解不等式；

（2）若恒成立，求a的取值范围．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集.

（2）结合开口方向以及判别式求得的取值范围.

【小问1详解】

当时，，即，

，解得或

所以不等式的解集为.

【小问2详解】

恒成立，

因为a不为0，所以且，

即，a的取值范围为：．

19. 已知函数与.

（1）判断奇偶性；

（2）若函数有且只有一个零点，求实数a取值范围.

【答案】（1）偶函数（2）

【解析】

【分析】（1）根据奇偶性定义判断；

（2）函数只有一个零点，转化为方程只有一个根，用换元法转化为二次方程只有一个正根（或两个相等正根），再根据二次方程根分布分类讨论可得．

【小问1详解】

∵的定义域为R，

∴，∴为偶函数.

【小问2详解】

函数只有一个零点

即

即方程有且只有一个实根.

令，则方程有且只有一个正根.

①当时，，不合题意；

②当时，若方程有两相等正根，则，且，解得；满足题意

③若方程有一个正根和一个负根，则，即时，满足题意.

∴实数a的取值范围为.

20. 已知一次函数满足，．

（1）求的解析式；

（2）若，，求实数m的取值范围．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）待定系数法求函数解析式，设，代入条件，得到方程组，解出参数即可；

（2）将函数解析式代入即可转化为一个不等式恒成立的问题.

【小问1详解】

设，则．

由得．

因为，所以．

所以，的解析式为．

【小问2详解】

将代入得（*）．

即，．

①当时，不等式*变为，满足条件；

②当时，原问题等价于

解得．

综上，实数的取值范围为．

21. 在①f(x)的图像关于直线对称，②f(x)的图像关于点对称，③f(x)在上单调递增这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的正实数a存在，求出a的值；若a不存在，说明理由.

已知函数的最小正周期不小于，且___________，是否存在正实数a，使得函数f(x)在[0，]上有最大值3？

注∶如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】

若选择①，即的图像关于直线对称，则可推出，进而利用正弦型函数的性质，求得的最大值，从而得到，不符合题意.

若选择②，可得，进而求得的最大值，，从而得到，不符合题意.

若选择③，可得，进而求得的最大值，从而得到，符合题意.

【详解】解：由于函数的最小正周期不小于，所以，

所以，，

若选择①，即的图像关于直线对称，

有，解得，

由于，，，所以，，

此时，，

由，得，

因此当，即时，取得最大值，

令，解得，不符合题意.

故不存在正实数a，使得函数在上有最大值

若选择②，即的图象关于点对称，

则有，解得，

由于，，，所以，

此时，

由，得，因此当，即时，

取得最大值，

令，解得，不符合题意.

故不存在正实数a，使得函数在上有最大值3；

若选择③，即在上单调递增，

则有，

解得，

由于，，，所以，

此时，

由，得，

因此当，即时，取得最大值，

令，解得，符合题意.

故存在正实数，使得函数在上有最大值

22. 若点在函数的图象上，且满足，则称是的点．函数的所有点构成的集合称为的集．

（1）判断是否是函数的点，并说明理由；

（2）若函数的集为，求的最大值；

（3）若定义域为的连续函数的集满足，求证：．

【答案】（1）不是，理由见解析；

（2）；

（3）见解析

【解析】

【分析】（1）直接求出，再判断出，即可得到，即可得到结论；

（2）先说明，若，则，由题设得到，推出矛盾即可证得；再说明的值可以等于，令，利用三角函数的值域加以证明即可；

（3）由题设知，必存在，使得，结合零点存在定理说明函数必存在零点，即可证明.

【小问1详解】

不是函数的点，理由如下：设，则，，

因为，所以，所以，所以不是函数的点；

【小问2详解】

先证明，若，则函数的最小正周期，因为函数的集为，

所以对，是的点，令，则，因为函数的值域为，

所以当时，必有，即对于恒成立，

所以，即的最小正周期，与矛盾；

再证明的值可以等于，令，对，当时，，；

当时，，，所以是的点，

即函数的集为；综上所述，的最大值是；

【小问3详解】

因为函数的集满足，所以存在，使得且，即，

因为若，则，所以，因为函数的图象是连续不断的，

不妨设，由零点存在定理知，必存在使得，所以存在零点，即.

【点睛】本题的第二小问关键点在于先假设，利用周期推出矛盾，进而证得，再利用三角函数的值域说明的值可以等于即可；第三小问的关键点在于得到存在，使得，结合零点存在定理即可证明.