2023届高考数学二轮复习专题二平面向量、三角函数与解三角形第1讲平面向量学案

第1讲　平面向量

1.[向量的坐标运算](2022·新高考Ⅱ卷,T4)已知向量a=(3,4),

b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则t=(　C　)

A.-6 B.-5 C.5 D.6

解析:c=(3+t,4),cos <a,c>=cos <b,c>,即=,解得t=5.故

选C.

2.[求向量夹角](2020·全国Ⅲ卷,T6)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos <a,a+b>=(　D　)

A.- B.- C. D.

解析:向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,可得|a+b|===7,cos <a,a+b>====.故选D.

3.[向量的线性运算](2022·新高考Ⅰ卷,T3)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=(　B　)

A.3m-2n B.-2m+3n

C.3m+2n D.2m+3n

解析:因为点D在边AB上,BD=2DA,所以=2,即-=2(-),

所以=3-2=3n-2m=-2m+3n.故选B.

4.[数量积运算](2021·新高考Ⅱ卷,T15)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a=　　　　. 

解析:由已知可得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=9+2(a·b+b·c+c·a)=0,

因此,a·b+b·c+c·a=-.

答案:-

　　平面向量是高考的热点和重点,命题突出向量的基本运算与工具性,重点考查:平面向量的线性运算、数量积运算、坐标运算、向量的平行与垂直、平面向量在几何图形中的应用.常以选择题、填空题的形式考查,中低等难度;也有可能出现在解答题中,突出其工具性作用.

热点一　平面向量的线性运算

共线定理及推论

(1)已知向量a=(x1,y1),a≠0,b=(x2,y2),则a∥b⇔b=λa⇔x1y2-x2y1=0.

(2)若=λ+μ,则A,B,C三点共线⇔λ+μ=1.

典例1　(1)(2022·河北石家庄二模)在平行四边形ABCD中,M,N分别是AD,CD的中点,若=a,=b,则=(　　)

A.a+b B.a+b

C.a+b D.a+b

(2)(2022·山东烟台三模)如图,边长为2的等边三角形的外接圆为圆O,P为圆O上任一点,若=x+y,则2x+2y的最大值为(　　)

A. B.2

C. D.1

解析:(1)如图所示,设=m,=n,且=xa+yb,

则=xa+yb=x(n-m) +y(n-m)=(x+y)n-(x+y)m,又因为=n-m,

所以解得x=,y=,所以=a+b.故选B.

(2)

作BC的平行线与圆相交于点P,与直线AB相交于点E,与直线AC相交于点F,设=λ+μ,则λ+μ=1.

因为BC∥EF,所以设==k,则k∈[0,],

所以=k,=k,AP=λ+μ=λk+μk,

所以x=λk,y=μk,

所以2x+2y=2(λ+μ)k=2k≤.故选A.

向量线性运算问题的求解方法

(1)进行向量的线性运算时,要尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中,利用平行四边形法则、三角形法则求解.

(2)应用平面几何知识,如三角形的中位线、相似三角形的性质等,可以简化运算.

(3)在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理恰当地选取基底,变形要有方向,不能盲目转化.

热点训练1　 (1)(2022·广东华南师大附中模拟预测)如图,在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F满足=2,那么=(　　)

A.- B.+

C.- D.+

(2)(2022·湖南岳阳一中一模)已知在平面四边形ABCD中,AB=2,AD=1,∠BAD=135°,∠BCD=90°,=+(λ-1),则λ=(　　)

A.1或 B. C.+1 D.+2

解析:(1)在△CEF中,=+.

因为点E为DC的中点,所以=.

因为点F为BC的一个三等分点(靠近点B),所以=,

所以=+=+=-.故选C.

(2)=+(λ-1)⇒-==(λ-1),

所以∥,即BC∥AD,所以四边形ABCD是直角梯形,如图,作AE⊥BC于点E,则四边形AECD是矩形,

又AB=2,∠ABC=45°,则AE=BE=,EC=AD=1,所以BC=+1,

即=(+1),又=(λ-1),

所以λ-1=+1,λ=+2.故选D.

热点二　平面向量的数量积

(1)若a=(x,y),则|a|==.

(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则||=.

(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,则cos θ==.

(4)a,b是非零向量,且a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.

典例2　(1)(2022·河北模拟预测)已知向量a=(,1),b是单位向量,若|2a-b|=,则a与b的夹角为(　　)

A. B. C. D.

(2)(2022·湖南模拟联考)在一个边长为2的等边三角形ABC中,若点P是平面ABC(包括边界)中的任意一点,则·的最小值是(　　)

A.- B.- C.-1 D.-

解析:(1)因为a=(,1),b是单位向量,若|2a-b|=,

所以|a|=2,|b|=1,(2a-b)2=13.

所以4a2-4a·b+b2=13,

所以4×4-4a·b+1=13,所以a·b=1,所以cos<a,b>===,

由<a,b>∈[0,π],所以a与b的夹角为.故选B.

(2)

如图,以AC为x轴,AC的中点为原点建立平面直角坐标系,则A(-1,0),C(1,0).

设P(x,y),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y),

所以·=x2-1+y2=x2+y2-1≥-1,当且仅当P在原点时取等号.故

选C.

求向量数量积的三种方法

(1)定义法:当已知向量的长度或夹角时,可利用此法求解.

(2)坐标法:当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时,可利用此法求解.

(3)若题设涉及向量的投影时,也可考虑利用数量积的几何意义求解.

热点训练2　 (1)(2022·山东济南二模)如图,△ABC是边长为3的等边三角形,D在线段BC上,且=2,E为线段AD上一点,若△ABE与△ACD的面积相等,则·的值为(　　)

A. B.- C. D.-

(2)(2022·全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=　　　　. 

解析:(1)

因为D在线段BC上,且=2,

所以S△ACD=S△ABD,又E为线段AD上一点,且△ABE与△ACD的面积相等,

所以S△ABE=S△ABD,所以E为AD的中点.

如图建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(,),D(2,0),C(3,0),E(,),

所以=(,),=(,-),

所以·=×-×=-.故选D.

(2)由题意可得a·b=1×3×=1,b2=9,则(2a+b)·b=2a·b+b2=2+9=11.

答案:(1)D　(2)11

热点三　平面向量的综合应用

向量问题求最值的常用方法

(1)利用三角函数求最值.

(2)利用基本不等式求最值.

(3)建立坐标系,设变量构造函数求最值.

典例3　(1)(2022·河北模拟预测)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,

AC=1,AB=2,点P在以B为圆心,1为半径的圆上,则·的最大值为(　　)

A. B.5+

C. D.

(2)(2022·湖北荆门市龙泉中学二模)在平行四边形ABCD中,AB=,AD=2,∠A=135°,E,F分别是AB,AD上的点,且=λ,=μ[其中λ,μ∈(0,1)],且3λ+μ=1.若线段EF的中点为M,则当||取得最小值时,的值为(　　)

A.36 B.37 C.21 D.22

解析:

(1)以点B为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,如图,

则A(-2,0),C(-2,1),设P(cos α,sin α),α∈[0,2π),因此,=(-2-cos α,-sin α),=(-2-cos α,1-sin α),

于是得·=(-2-cos α)2-sin α+sin 2α=5+4cos α-sin α=5-sin (α-),

其中锐角由确定,

而-≤α-<2π-,则当α-=,即α=+,且时,sin (α-)取最小值-1,

所以·的最大值为5+.故选B.

(2)=-=(+)-(+)=(λ+μ)-(+)

=(λ-1)+(μ-1),

所以||2=++2(λ-1)(μ-1)·

=2+4+2(λ-1)(-1)××2×(-)

=λ2-λ+1,

所以||==,

因为μ=1-3λ∈(0,1),所以0<λ<,

所以当λ=时,||取得最小值,此时μ=1-3λ=1-=,

所以==22.故选D.

用向量法解决平面几何问题,通常是建立平面直角坐标系将问题坐标化,然后利用向量的坐标运算解决有关问题,这样可以避免繁杂的逻辑推理,同时加强了数形结合思想在解题中的应用.

热点训练3　 (1)(2022·湖北模拟预测)设A,B为圆x2+y2=1上的两个动点,且∠AOB=120°,P为直线l:3x-4y-15=0上的一个动点,则|+|的最小值为(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

(2)(2022·江苏盐城三模)已知平面凸四边形ABCD,点E,F分别在AD,BC上,满足=2,=2,且EF=2,与的夹角为,设AB=m,DC=n,则m+2n的最大值为　　　　. 

解析:(1)设C是AB的中点,因为∠AOB=120°,所以|OC|=|OA|sin 30°=,即C在以原点为圆心,为半径的圆上,

+=+++=2,|+|=2||,

又|PO|min==3,所以|PC|min=3-=,所以|+|min=2×=5.故选C.

(2)因为=++,①

且=++,②

则①×2+②得3=2(++)+(++),

即3=(2+)+2++(2+),

因为=2,=2,所以3=2+,

两边平方可得,36=m2+4n2+4mncos =m2+4n2+2mn=(m+2n)2-2mn,

所以(m+2n)2=36+2mn≤+36,解得m+2n≤4,当且仅当m=2n=2时,等号成立.

答案:(1)C　(2)4