2023届高考数学二轮复习专题二平面向量、三角函数与解三角形培优提能三角形中的中线、高线、角平分线问题学案

培优提能　三角形中的中线、高线、角平分线问题

一、中线

1.中线长定理:在△ABC中,AD是边BC上的中线,则AB2+AC2=2(BD2+AD2)

推导过程:在△ABD中,cos B=,

在△ABC中,cos B=,

联立两个方程可得AB2+AC2=2(BD2+AD2),则AD2=(AB2+AC2)-BC2.

[点睛]灵活运用同角的余弦定理,适用于解三角形的题型.

2.向量法:=(b2+c2+2bccos ∠BAC)

推导过程:由=(+),

则=(+)2=++||||cos ∠BAC,

所以=(b2+c2+2bccos ∠BAC).

[点睛]适用于已知中线求面积(已知的值也适用).

二、角平分线

如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

1.利用角度的倍数关系:∠BAC=2∠BAD=2∠CAD.

2.内角平分线定理:AD为△ABC的内角∠BAC的平分线,则=.

推导过程:在△ABD中,=,

在△ACD中,=⇒=,

该结论也可以由两三角形面积之比得证,即==.

3.等面积法:因为S△ABD+S△ACD=S△ABC,

所以c·ADsin+b·ADsin=bcsin ∠BAC,

所以(b+c)AD=2bccos,

整理得AD=(角平分线长公式).

三、高线

1.h1,h2,h3分别为△ABC边a,b,c上的高,则h1∶h2∶h3=∶∶=∶∶.

2.求高一般采用等面积法,即求某底边上的高,需要求出面积和底边长度.

3.高线的两个作用:(1)产生直角三角形;(2)与三角形的面积相关.

培优点1　三角形的中线问题

典例1　在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos C=-.

(1)求角B;

(2)若△ABC外接圆的半径为,且AC边上的中线长为,求△ABC的面积和周长.

解:(1)由cos C=-,得2bcos C=2a-c,

利用正弦定理得2sin Bcos C=2sin A-sin C,

即2sin Bcos C=2sin(B+C)-sin C,

化简得sin C=2sin Ccos B.

因为C∈(0,π),sin C≠0,所以cos B=,

又因为B∈(0,π),所以B=.

(2)由正弦定理得=2⇒b=3,

设D为AC边上的中点,则AD=CD=,BD=.

法一　在△BCD中,cos∠CDB=,

在△ABD中,cos∠ADB=,

因为∠ADB+∠CDB=π,所以cos∠ADB+cos∠CDB=0,所以a2+c2=17,

由余弦定理b2=c2+a2-2accos B,可得9=c2+a2-ac,即ac=8,

由三角形的面积公式得S△ABC=acsin B=2,

又(a+c)2=a2+c2+2ac=17+2×8=33,所以a+c=,所以△ABC的周长为3+.

法二　利用向量的加法法则得2=+,

两边平方得4=++2·,

即25=c2+a2+ac,由余弦定理b2=c2+a2-2accos B,得9=c2+a2-ac,

两式相减得16=2ac,即ac=8,

由三角形的面积公式得S△ABC=acsin B=2,

由25=c2+a2+ac,得(a+c)2-ac=25,a+c=,所以△ABC的周长为3+.

处理与三角形中线有关的问题的常用方法:

(1)利用互补角(如本例中∠ADB与∠CDB互补,其余弦值互为相反数)及余弦定理求解.

(2)利用中线长定理求解,但要书写其证明过程.

(3)利用向量法求解.

触类旁通1　在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=acos C+csin A,点M是BC的中点.

(1)求A的值;

(2)若a=,求中线AM长度的最大值.

解:(1)因为b=acos C+csin A,

根据正弦定理得sin B=sin Acos C+sin Csin  A,

所以sin(A+C)=sin Acos C+sin Csin A,

所以sin Acos C+cos Asin C=sin Acos C+sin Csin  A,所以cos Asin C=sin Csin A.

因为sin C≠0,所以tan A=.

又0<A<π,所以A=.

(2)在△ABC中,由余弦定理得b2+c2-bc=3.

因为bc≤,当且仅当b=c=时取等号,

所以b2+c2≤6.

法一　在△ABM中,cos B=,在△ABC中,cos B=,联立可得AM2=(AB2+AC2)-BC2,则AM2=-≤-=,即当且仅当b=c=时,中线AM的长度可取得最大值.

法二　因为AM是BC边上的中线,

所以=,两边平方得||2=(b2+c2+bc)≤(b2+c2+)=××(b2+c2)=,即当且仅当b=c=时,中线AM的长度取得最大值.

培优点2　三角形的角平分线问题

典例2　已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的面积为.

(1)求∠ACB;

(2)若∠A=,∠ACB的平分线CE与边AB相交于点E,延长CE至点D,使得CE=DE,求cos∠ADB.

解:(1)由题可知S△ABC=absin ∠ACB=,所以(a2+b2-c2)=2absin ∠ACB,

由余弦定理a2+b2-c2=2abcos ∠ACB,

得sin ∠ACB=cos ∠ACB,所以tan ∠ACB=,

因为∠ACB∈(0,π),所以∠ACB=.

(2)不妨令AC=3,因为∠ACB=,可得AB=3,BC=6,又因为CE为∠ACB的平分线,

所以∠ACE=∠BCE=,

由正弦定理,得=,=,又sin∠AEC=sin∠BEC,则=,

所以AE=,BE=CE=2,得DE=2,

所以在△ACD中,由余弦定理可得AD2=CA2+CD2-2CA·CD·cos=21,即AD=.

在△BDE中,可得ED=BE=2,∠BED=,

所以△BDE为等边三角形,所以BD=2.

法一　在△ABD中,由余弦定理可得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB,

得cos∠ADB=.

法二　因为A,E,B三点共线,=,易知=+,则=(+)2=++||·||·cos∠ADB,解得cos∠ADB=.

三角形的角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比,再结合共线定理的推论,就可以转化为向量.一般地,涉及三角形中“定比”类问题,运用向量知识解决起来都较为简捷.

触类旁通2　如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,sin 2C=sin B,且AD为BC边上的中线,AE为∠BAC的平分线.

(1)求cos C及线段BC的长;

(2)求△ADE的面积.

解:(1)因为sin 2C=sin B,所以2sin Ccos C=sin B,所以2ccos C=b,所以cos C=.

由余弦定理得cos C==⇒a=6(负值舍去),即BC=6.

(2)因为cos C=>0,所以C∈(0,),

所以sin C=,所以S△ABC=CA·CB·sin C=,

因为AE平分∠BAC,sin∠BAE=sin∠CAE,

由正弦定理得=,

=,

其中sin∠AEB=sin∠AEC,

所以==2⇒S△AEC=S△ABC,

因为AD为BC边的中线,所以S△ADC=S△ABC,

所以S△ADE=S△ADC-S△AEC=S△ABC=.

培优点3　三角形中的高线问题

典例3　在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.

(1)求A;

(2)若b=5,BC边上的高为,求c.

解:(1)因为(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin  C,

所以sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,

所以由正弦定理得b2+c2-a2=bc,

所以由余弦定理得cos A===,

因为A∈(0,π),所以A=.

(2)设BC边上的高为h,由三角形的面积公式得S△ABC=ah=×a=a,S△ABC=bcsin A=×5c×sin=c,所以a=c,即a=c,

由余弦定理得a2=25+c2-5c,

将a=c代入上式得c2+16c-80=0,

解得c=4或-20(舍去),所以c=4.

解决与三角形的高线有关的问题常用等积法得到边的关系,进而用正弦定理、余弦定理解决.

触类旁通3　在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=7,b=8,A=.

(1)求sin B的值;

(2)若△ABC是钝角三角形,求BC边上的高.

解:(1)在△ABC中,因为a=7,b=8,A=,

所以由正弦定理=,

得sin B==×=.

(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,

得49=64+c2-2×8×c×,

即c2-8c+15=0,解得c=5或c=3.

因为b>a,b>c,所以B为△ABC中最大的角,

当c=5时,cos B=>0,与△ABC为钝角三角形矛盾,舍去,

当c=3时,cos B=<0,△ABC为钝角三角形,所以c=3.

设BC边上的高为h,所以h=csin B=.