高考数学二轮复习第1部分方法篇素养形成文理第5讲排列组合二项式定理理学案含解析

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第5讲　排列、组合、二项式定理(理)JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向　⊙︱考情分析︱1．以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查解决问题的能力．2．以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点．⊙︱真题分布︱年份卷别题号考查角度分值2020Ⅰ卷8二项式定理及其展开式的通项公式5Ⅱ卷14排列组合解决实际问题5Ⅲ卷14二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项52019Ⅰ卷6、15、21排列组合10Ⅱ卷未考  Ⅲ卷4二项式定理52018Ⅰ卷15排列组合的应用5Ⅱ卷8排列组合在古典概型应用5Ⅲ卷5二项式定理5KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点　考点一　排列、组合的应用排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝C＝＝＝性质A＝n！，0！＝1C＝1，C＝C，C＋C＝C考向1　带附加条件的排列、组合问题1．(2020·辽宁省沈阳市实验中学月考)将6枚硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且每行每列都有2枚硬币，则放置硬币的方法共有几种(　A　)A．6　　 B．12　C．18　　 D．36【解析】　先在第一列里任意选一格不放硬币，有3种选法；再在第二列选一格(不能选与第一步同行的空格)不放硬币，有2种选法；最后在第三列选一格(不能选与第一、二步同行的空格)不放硬币，有1种方法．所以共有3×2×1＝6种方法．故选A．2．(2020·北京东城区期末)从数字1,2,3,4,5中，取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为(　C　)A．7　　 B．9　C．10　　 D．13【解析】　从数字1,2,3,4,5中，取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，可分为三类情况：(1)当三个数为1,1,4时，共有C＝3种排法；(2)当三个数为1,2,3时，共有A＝6种排法；(3)当三个数为2,2,2时，只有1种排法，由分类计数原理可得，共有3＋6＋1＝10种不同排法，即这样的数共有10个．故选C．3．(2020·山西四校联考)高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是(　B　)A．1 800　　 B．3 600　C．4 320　　 D．5 040【解析】　先排除舞蹈节目以外的5个节目，共A种，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有A种，所以共有AA＝3 600(种)．考向2　分组、分配问题4．(2020·北京市朝阳区高三上期末)从3名教师和5名学生中，选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是(　C　)A．20　　 B．40　C．60　　 D．120【解析】　由题意可分成两类：(1)一名教师和三名学生，共CC＝30；(2)两名教师和两名学生，共CC＝30；故不同的选派方案的种数是30＋30＝60．故选C．5．(2020·合肥模拟)现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，不同分法的种数为(　B　)A．36　　 B．9　C．18　　 D．15【解析】　分配方案有2,1,1，其中有且仅有一名学生拿两本书，若他拿两本语文书，则此时共有CA种分法；若他拿一本语文和一本数学书，则此时，共有C种分法，因此共有CA＋C＝9(种)，故选B．6．(2020·恩施质检)将4位女生和4位男生分为两组参加不同的两个兴趣小组，一组3个男生1个女生，余下的组成另外一组，则不同的选法共有__32__种(用数字填写答案)．【解析】　首先对学生进行分组，从4男4女中选出3男1女，有CC种不同的选法，然后对两组同学分配兴趣小组有A种方法，所以不同的选法共有CCA＝32种．求解有限制条件排列问题的主要方法(1)直接法：①分类法：选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数．②分步法：选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数．(2)捆绑法：相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列．(3)插空法：不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中．(4)除法：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列．(5)间接法：对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法．考点二　二项式定理1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C.2．当n是偶数时，中间一项(第＋1项)的二项式系数最大，最大值为C2；当n是奇数时，中间两项(第项和第项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cn或Cn.3．(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋…＋C＝2n.奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1．考向1　特定项问题1．(2020·涪城区校级模拟)3展开式的常数项为(　B　)A．120　　 B．160　C．200　　 D．240【解析】　∵3＝3＝，(1＋2x2)6的展开式中的通项公式为Tr＋1＝C·2rx2r，r＝0,1，…，6，∴T4＝C·23x6＝160x6，所以3展开式的常数项为160．2．(2020·四川省成都七中一诊)如果n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是(　C　)A．3　　 B．4　C．5　　 D．6【解析】　因为n的展开式的通项公式为Tr＋1＝C()n－rr＝C(－1)rx，(r＝0,1,2，…n)，令＝0，则n＝5r，因为n∈N*，所以r＝1时，n取最小值5．故选C．3．(2020·湖南师大附中月考)已知n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，记展开式中系数最大的项为第k项，则k＝(　B　)A．6　　 B．7C．6或7　　 D．5或6【解析】　∵n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，所以n＝4＋7＝11，第r＋1项系数为Tr＋1＝C(－1)r，r＝6时Tr＋1最大，故展开式中系数最大的项为第7项．故选B．考向2　系数问题4．(2020·四川省成都七中模拟)(2x＋)5的展开式中，x4的系数是(　C　)A．40　　 B．60　C．80　　 D．100【解析】　(2x＋)5二项展开式的通项为Tk＋1＝C·(2x)5－k·()k＝C·25－k·x5－.令5－＝4，得k＝2．因此，二项展开式中x4的系数为C·23＝80，故选C．5．(2020·贵阳一中、云师大附中、南宁三中联考)(1＋ax2)(1－ax)2的展开式中x4项的系数为－8，则a的值为(　B　)A．2　　 B．－2　C．2　　 D．－2【解析】　(1＋ax2)(1－ax)2的展开式中，x4项为a3x4，∴a3＝－8，a＝－2，故选B．6．(2020·四川省凉山州模拟)在n的二项展开式中，所有项的系数之和为1 024，则展开式常数项的值等于__15__.【解析】　在n的二项展开式中，令x＝1得所有项的系数和为4n＝1 024，解得n＝5，所以5的二项展开式中的通项为：Tr＋1＝C5－r()r＝C35－rxr－10，令r－10＝0得r＝4，∴常数项为：C35－4＝15．考向3　赋值问题7．(2020·益阳调研)若(1－3x)2 020＝a0＋a1x＋…＋a2 020x2 020，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2 020·32 020的值为(　B　)A．22 020－1　　 B．82 020－1C．22 020　　 D．82 020【解析】　由已知，令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2 020·32 020＝(1－9)2 020＝82 020，所以a1·3＋a2·32＋…＋a2 020·32 020＝82 020－a0＝82 020－1，故选B．8．(2020·衢州五校联考)若(3x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＝__15__，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝__32__.【解析】　(3x－1)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(3x)5－r(－1)r，令5－r＝1，可得r＝4，所以a1＝C×3×(－1)4＝15；在(3x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5中，令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(3－1)5＝32．1．求二项式与代数式积的展开式特定项系数问题的关键一是将二项式看作一个整体，利用分配律整理所给式子；二是利用二项展开式的通项公式，求特定项，特定项的系数即为所要求的系数．2．求(x＋y＋z)n的展开式的特定项的系数问题的技巧若三项能用完全平方公式，那当然比较简单，若三项不能用完全平方公式，只需根据题目特点，把“三项”当成“两项”看，再利用二项展开式的通项公式去求特定项的系数；把(x＋y＋z)n看作n个因式x＋y＋z的乘积，再利用组合数公式求解． YI CUO QING LING MIAN SHI WU易错清零·免失误　1．混淆“分类”与“分步”典例1　为适应高考改革，某学校在一次模拟测试中实行“3＋1＋2”模式，其中“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了“1”中已选的一门以外的历史或物理这五门科目中任意选择两门，则一名学生的不同选科组合有(　C　)A．8种　　 B．12种C．16种　　 D．20种【错解】　因为“1”指在物理、历史两门科中必选一门故有C＝2种选法，“2”指化学、生物、政治、地理选两门，故有C＝6种选法，由分步乘法计数原理可得不同的选法有2×6＝12种，故选B．【剖析】　上述解法的错误主要是审题不清，不能正确的分类，误以为“1”是只能从物理和历史中选1门，从而漏掉物理和历史全选，而导致错误；二是此题不仅是分步，更重要的分类，只利用了分步而没有分类，导致错误．【正解】　学生可以根据物理与历史的选择，分为两类进行选科：物理与历史二选一，物理和历史都选．第一类：二选一，学生只能从物理和历史中选一门．第一步，从物理和历史中选取一门，不同的选法有C＝2(种)；第二步，从化学、生物、政治、地理中任选2门，不同的选法有C＝6(种)．由分步乘法计数原理可得不同的选法有2×6＝12(种)．第二类：物理和历史都选．第一步，物理和历史都选，选法有C＝1(种)；第二步，从化学、生物、政治、地理中任选1门，不同的选法有C＝4(种)．由分步乘法计数原理可得不同的选法有1×4＝4(种)．由分类加法计数原理可得，不同选科组合共有12＋4＝16(种)．故选C．2．混淆“排列”与“组合”典例2　(2020·湖北宜昌10月测试)中国古代十进制的算筹计数法在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小木棍．下图是利用算筹表示数字1～9的一种方法．例如：137可表示为“”，26可表示为“”．现有六根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用这六根算筹表示的不含0的三位数的个数为(　D　)A．10　　 B．20　C．36　　 D．38【解析】　一共有六根算筹，要分为三份，每份不能空，所以不同的分组结果为：(1)1＋1＋4显然1根算筹只能表示1个数字，4根算筹可以表示2个不同的数字，故不同的三位数有C×1×1×2＝6(个)；(2)1＋2＋3显然1根算筹只能表示1个数字，2根或3根算筹均可以表示2个不同的数字，故不同的三位数有A×1×2×2＝24(个)；(3)2＋2＋2显然2根算筹可以表示2个不同的数字，故不同的三位数有2×2×2＝8(个)．综上，可以用六根算筹表示的不含0的三位数共有6＋24＋8＝38(个)．故选D．【剖析】　该题的易错点主要有两个：一是不能正确理解“三位数”对顺序的要求，误以为只是组合问题，只需将六根算筹分成三份即可，导致错解；二是忽视“算筹根数不是1时，可以表示2个不同的数字”，导致漏解．区别组合问题与排列问题的关键是“顺序”，排列是有顺序的，组合是没有顺序的．3．忽略“平均分组”与“非平均分组”的差异典例3　(2020·福州八中10月月考)在乌镇举行的第六届世界互联网大会中，为了提高安保的级别同时又方便接待，对其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a，b，c三家酒店中选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则不同的安排方法共有(　C　)A．124种　　 B．130种C．150种　　 D．240种【错解】　根据题意，分两步进行分析．第一步：五个参会国要在a，b，c三家酒店中选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，所以可以把5个国家分成三组，一种是1,1,3分；另一种是按照1,2,2分．当按照1,1,3来分时，共有分组方法C＝10种，当按照1,2,2来分时，共有分组方法CC＝30种，则一共有10＋30＝40种，第二步：将分好的三组对应排列到三家酒店，有安排方法A＝6种，综上，不同的安排方法共有40×6＝240种．故选D．【剖析】　上述解法的错误主要是不能正确处理分组问题，显然将5个参会国分为1,1,3和2,2,1三组，都涉及部分均分，但整体不是均分，故易误认为只需利用组合数公式直接逐组选出即可求解，忽视部分组中元素个数相等而出现的部分均分问题，只要出现两组(或组数大于2)的元素个数相等，就是均分问题．如果各组元素个数都相等，就是整体均分；如果部分组元素个数相等，就是部分均分．【正解】　根据题意，分两步进行分析，第一步：五个参会国要在a，b，c三家酒店中选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，所以可以把5个参会国分成三组，一种是按照1,1,3分；另一种是按照1,2,2分．当按照1,1,3来分时，共有分组方法C＝10(种)；当按照1,2,2来分时，共有分组方法＝15(种)．则一共有分组方法10＋15＝25(种)．第二步：将分好的三组对应安排到三家酒店，有安排方法A＝6(种)．综上，不同的安排方法共有25×6＝150(种)，故选C．4．错用二项展开式的通项公式典例4　(2020·云师大附中第二次月考)(1＋2x2)6的展开式中，含x2的项的系数是(　B　)A．－40　　 B．－25　C．25　　 D．55【解析】　6的展开式的通项Tk＋1＝Cx6－k(－)k＝(－1)kCx6－2k.令6－2k＝2，得k＝2，所以T3＝(－1)2Cx2＝15x2；令6－2k＝0，得k＝3，所以T4＝(－1)3C＝－20．由多项式乘法法则可得，(1＋2x2)6的展开式中含x2的项为1×15x2＋2x2×(－20)＝－25x2．所以含x2的项的系数为－25，故选B．【剖析】　该题的易错点主要有两个：一是错用二项展开式的通项公式，不能正确确定常数项和x2的系数，导致计算错误；二是不会利用多项式乘法法则，将所求问题转化为(x－)6的展开式问题求解．5．混淆二项式系数与展开式的项的系数典例5　(2020·山东济南外国语学校10月月考)已知x(x－2)8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，则a1＋a2＋…＋a9＝__－1__，a2＝__20__.【解析】　令x＝1，得a0＝1，令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝0，所以a1＋a2＋…＋a9＝－1．因为x(x－2)8＝[(x－1)＋1]×[(x－1)－1]8，a2为含(x－1)2的项的系数，所以需求出[(x－1)－1]8的展开式中含(x－1)2的项的系数与含x－1的项的系数．含(x－1)2的项的系数为C(－1)6＝28，含x－1的项的系数为C(－1)7＝－8．故a2＝28－8＝20．【剖析】　该题的易错点有两个：一是混淆展开式的项的系数与二项式系数，误以为a1，a2，…，a9是二项式系数，导致错误；二是不能正确理解展开式的形式，前后形式不一致，导致解题没有思路．求解二项展开式中某些项的系数之和，可以直接利用赋值法求解，求值时注意展开式与所求式子之间的对应，从而进行恰当赋值，不是求任意项的系数之和都是令x＝1，抓住对应关系是关键，如该题中要得到a0＋a1＋a2＋…＋a9，必须令x＝2；而求a0，就需要令x＝1．