湖南省株洲市第二中学2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附答案）

株洲市二中教育集团2022年下学期高一年级期末考试

数学试卷

时量：120分钟  分值：150分

一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合，则的子集的个数是（    ）

A.15 B.8 C.7 D.16

2.已知，，则“”是“”的（    ）

A.充分而不必要条件  B.必要而不充分条件

C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件

3.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义：能够将以坐标原点为圆心的圆的周长和面积同时平分的函数，称为此圆的“优美函数”，则下列函数中一定是“优美函数的为（    ）

A. B. C. D.

4.己知函数，则函数的定义域为（    ）

A. B. C. D.

5.下列函数中，以为最小正周期且在区间上单调递减的是（    ）

A. B. C. D.

6.函数的部分图象大致为（    ）

A. B.

C. D.

7.若，，，则、、的大小关系为（    ）

A. B. C. D.

8.函数，若、、互不相等，且，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、多项选择题：（本题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.已知，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

10.下列各式中，值为的是（    ）

A.  B.

C.  D.

11.设函数（，），则下列叙述正确的是（    ）

A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称

C.在上的最小值为 D.的图象关于点对称

12.已知函数对都有，且函数的图像关于点对称，当时，，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.在区间上单调递减

C.是上的奇函数 D.函数有6个零点

三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）

13.函数的图像恒过定点，且点在幂函数的图像上，则______.

14.若正实数、，满足，则的最小值为______.

15.已知，则______.

16.已知函数（，）在区间上单调，且满足.

（1）若，则函数的最小正周期为______.

（2）若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为______.

四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）

17.（本小题满分10分）

计算：（1）；

（2）

18.（本小题满分12分）

已知全集，集合，.

（1）当时，求；

（2）若，求的取值范围.

19.（本小题满分12分）

已知，.

（1）求的值；

（2）若，且，求的值.

20.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）求函数的最小正周期、单调增区间及对称中心；

（2）求函数在上的值域.

21.（本小题满分12分）

已知函数为奇函数，.

（1）求的值；

（2）判断函数的单调性，并用单调性的定义证明；

（3）若存在，不等式有解，求实数的取值范围.

22.（本小题满分12分）

函数，，记，且为偶函数.

（1）求常数的值；

（2）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）设，若函数与的图象看只有一个公共点，求实数的取值范围.

株洲市二中教育集团2022年下学期高一年级

期末考试试卷数学试题（答案）

8.【答案】D

【详解】函数的图像如图所示：

设，由函数图像数形结合可知：，

，∴，∴.

9.【答案】CD

10.【答案】ABC

【详解】对于A，，故A正确

对于B，，故B正确：

对于C，，故C正确；

对于D，

，故D错误；

11.【答案】ABD

【详解】∵，∴，又，∴，∴；

对于A，的最小正周期，A正确；对于B，B代入可知正确；

对于C，当时，，则当，即时，，C错误；

对于D，当时，，此时，∴的图象关于点对称，D正确.

12.【答案】ACD

【详解】对都有，则，

即函数是周期函数.周期为4.

当时，，即函数在上递增，在上单调递增，

而，因此在上递增，

由得：，

则的图象关于直线对称，函数在上递减，

对于A，，A正确；

对于B，因函数在上递增，函数的周期为4，则在上递增，B错误；

对于C，函数的图像向左平移1个单位得函数的图象，又函数的图像关于点对称，因此函数的图象关于点对称，即函数是上的奇函数，C正确：

对于D，函数的零点，即函数与图象交点的横坐标，

在同一坐标系内作出函数与的部分图象，如图，

因函数的最大值为1，而当时，，因此函数与图象的交点在内，观察图象知，函数与图象在内只有6个交点，所以函数有6个零点，D正确.

13.【答案】64 14.【答案】2 15.【答案】0

16.【答案】  （本小题第一空2分，第二空3分）

【详解】解：由题知∵，∴对称中心为，

代入可得，，①

∵在区间上单调，且对称中心为，

又∵，∴在区间上单调.

∴即，即，∴.

（1）∵，∴关于对称，代入可得，，②

①－②可得，，即，，∵，∴.∴；

（2）∵对称中心为，∴，∵在区间上恰有5个零点，

∵相邻两个零点之间的距离为，五个零点之间即，六个零点之间即，

∴只需即可，即，∵，∴.

17.【答案】（1）   （2）1；

【详解】（1）∵；

（2）.

18.【答案】（1）   （2）

【详解】（1），，，所以，

当时，，全集，，

所以.

（2）因为，所以

当时，满足，所以，解得，

当时，则需，解得.

综上所述，的取值范围是.

19.【答案】（1）   （2）

【详解】（1）∵，∴，解得.

（2）∵，∴，且，∴，

∴，

∴，则，

∴，

（利用或者的值，求角亦给分）

又∵，∴.

20.【答案】（1），的单调递增区间，，对称中心为，.

（2）值域为

【详解】（1）

.

∴函数的最小正周期.

令，即，

∴的单调递增区间，.

令，，解得，对称中心为，.

（2）由（1）知：.当，.

，所以在上的值域为.

21.【答案】（1）   （2）在上单调递减，证明见解析   （3）.

【详解】（1）解：的定义域为，又为奇函数，

所以，即，解得，

所以，则.

所以为奇函数，故

（说明了经检验，时，为奇函数，不扣分）

（2）解：在上单调递减，

证明：设任意的，且，

所以，

又因为，在上单调递增，所以，即且，

所以，所以，所以在上单调递减；

（3）因为是定义在上的奇函数，所以，

因为函数在上单调递减，所以，

存在，不等式有解，即在有解，

因为，所以，

即实数的取值范围为.

22.【答案】（1）   （2）   （3）

【详解】（1）由题意可知，，，

∵为偶函数，∴，即，，

∴，，∴

（2）由（1）得，

条件，即：对一切恒成立，，

当且仅当，即时等式成立，

即：，解得：；（没有写取等条件，扣一分）

（3）依题意：，即仅有一解，

则，即，

故

设，依题意只有一个正实根.

1当时，，∴（舍）

2当时，方程有一正根，一负根，

由，得.

3当时，方程有两个相等的正根.

由，解得，即，，所以.

综上所述，实数的取值范围是