湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高一数学上学期第一次阶段性测试试题（Word版附解析）

株洲市二中2023年下学期高一年级阶段性测试试卷

数学试题

时量：120分钟 分值：150分

一､单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）

1. 函数的定义域是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数解析式，建立关于x的不等式组解出即可.

【详解】要使函数有意义，则，解得且，

所以函数的定义域为.

故选：D.

2. 已知，若集合，，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.

【详解】当时，集合，，可得，满足充分性，

若，则或，不满足必要性，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

3. 下列函数中，在区间(0，+∞)内不是单调递增的是（ ）

A. y=2x+1 B. y=x2+2x C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】依次判断四个函数的单调性，选出符合题意的即可.

【详解】解：在区间内单调递增；故A不合题意.

的对称轴为，故在区间内单调递减，在区间内单调递增；故B不合题意.

在区间内单调递减，在区间内单调递减；故在区间(0，+∞)内不是单调递增；故C符合题意.

在区间内单调递增，在区间内单调递增；故D不合题意.

故选：C.

4. 下列各组函数是同一个函数的是（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用相同函数的意义，逐项分析判断作答.

【详解】对于A，函数定义域为定义域为，故不是同一函数；

对于B，函数定义域为定义域为，故不是同一函数；

对于C，函数定义域为，而定义域为故不是同一函数；

对于D，两个函数定义域都为，对应法则相同，只是表示自变量的符号不同，故是同一函数.

故选：D.

5. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ）

A.    B.  

C    D.  

【答案】A

【解析】

【分析】首先根据一元二次不等式与对应方程的关系，求解的关系，再代入函数，即可分析函数的图象.

【详解】因为的解集为，所以方程的两根分别为和，且，则，，

故函数的图象开口向下，且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合.

故选：A

6. 已知函数，且，那么等于（    ）

A. 12 B. 2 C. 18 D. 10

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性的性质求出的值即可．

【详解】解：令，

则是奇函数，

，

故，，

故，

故选：A．

7. 已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据分段函数单调性性质，结合二次函数、反比例函数的单调性进行求解即可.

【详解】二次函数的对称轴为，且开口向下，

因为是上的增函数，

所以有，

故选：B

8. 已知函数 ．若，则实数的取值范围是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】解不等式得，将问题转化为，进而作出函数的图像，数形结合求解即可.

【详解】解：当时，，解得，

当时，，解得，

所以，当时，，

令时，或；令时，；令时，或，

所以，作出函数的图像如图，

当时，实数的取值范围是.

故选：D

二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9. 下列说法正确的有(    )

A. 命题“”的否定是“”

B. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是

C. 若，则“”的充要条件是“”

D. “”是“”的充分不必要条件

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据命题的否定即可判断A；根据恒成立转化成最值问题即可判断B；根据充分条件和必要条件的概念及不等式的性质可判断CD．

【详解】命题“”的否定是“”，故A正确；

∵命题“，”为假命题，则关于x的方程无实数根，故，解得，故B正确；

∵可得；但当，时，有；∴“若，则”是“”的充分不必要条件，故C错误；

当“”时，则“”成立；但当“”时，“或”；故“”是“”的充分不必要条件，故D正确．

故选：ABD﹒

10. 某校学习兴趣小组通过研究发现：形如（不同时为0）的函数图象可以由反比例函数的图象经过平移变换而得到，则对函数的图象及性质，下列表述正确的是（    ）

A. 图象上点的纵坐标不可能为1

B. 图象关于点成中心对称

C. 图象与轴无交点

D. 函数在区间上分别单调递减

【答案】ABD

【解析】

【分析】化简得到，结合反比例函数的性质可得到结果.

【详解】，

则函数的图象可由的图象先向右平移一个单位长度，

再向上平移一个单位长度得到，

图象上点的纵坐标不可能为，A正确；

图象关于点成中心对称，B正确；

图象与轴的交点为，C不正确；

函数在区间上分别单调递减，D正确.

故选：ABD.

11. 已知，则下列命题正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则的最小值为4

C. 若，则的最大值为2

D. 若，则的最大值为

【答案】ABC

【解析】

【分析】结合条件使用基本不等式求最值即可判断.

【详解】由，有，则，当且仅当时等号成立，故A正确；

若，则，

当且仅当，即时等号成立，则的最小值为4，故B正确；

若，则，当且仅当时等号成立，

则的最大值为2，故C正确；

若，则，即，当且仅当，即时等号成立，

则的最大值为，故D错误.

故选：ABC

12. 德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始人，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为，狄利克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数有以下四个命题，其中真命题是（    ）

A. 函数是奇函数

B.

C. 函数是偶函数

D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】选项A，若是有理数，可得，可知不是奇函数；选项B，当时，符合题意；选项C，分两种情况讨论得，由偶函数的定义判断；选项D，分两种情况讨论，若是有理数，得；若是无理数，得.

【详解】A项，若是有理数，则也是有理数，

可得，

则不是奇函数，故A错误；

B项，当时，

，

,

此时，故B正确；

C项，若是有理数，则；

若是无理数，，

则，

又，则，

因此，

所以函数是偶函数，故正确；

D项，若是有理数，，则均是有理数，

故；

若是无理数，，则均是无理数，

故，

所以，故D正确.

故选：BCD.

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美、和谐美，如图所示的太极图.定义：若函数的图象是一条连续不断的曲线，且该曲线同时平分圆的周长和面积，则称函数为该圆的“完美函数”.写出圆心在坐标原点的圆的一个“完美函数”______.

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据题意可得一定为奇函数，且图象是一条连续不断的曲线，进而写出符合题意的答案即可.

【详解】由题意，“完美函数”能平分圆的周长和面积，且图象是一条连续不断的曲线，

所以圆心在坐标原点时，“完美函数”一定为奇函数，

则符合题意的一个“完美函数”为（答案不唯一）.

故答案为：（答案不唯一）.

14. 函数的值域为________

【答案】

【解析】

【分析】将分式函数分离常数，再利用不等式法即可求得函数值域.

【详解】，

，

，

，

，

函数值域为．

故答案为：.

15. 若函数的定义域为，值域为，则m的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】确定函数图象的开口和对称轴，结合二次函数的性质即可求得答案.

【详解】由题意可得函数的图像开口向上，对称轴为，

当时，，

令，解得或，

因为函数的定义域为，值域为，

故，

故答案为：

16. 设表示不超过的最大整数，则方程的所有根的和为__________.

【答案】##

【解析】

【分析】首先根据题意得到，根据得到，从而得到，再分类讨论或或的情况求解即可.

【详解】因为，所以，又，所以.

由，得，该不等式恒成立.

由，得，解得，

则或或.

当时，可化，解得，又，所以；

当时，可化为，解得，又，所以；

当时，可化为，解得，又，所以.

所以方程的根为，即方程的所有根的和为.

故答案为：.

四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17. 分别求满足下列条件的的解析式：

（1）已知，求；

（2）已知函数是一次函数，若，求；

（3）已知，求.

【答案】（1）   

（2）或   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用配凑法或换元法求函数解析式；

（2）利用待定系数法求函数解析式；

（3）利用配凑法或换元法求函数解析式.

【小问1详解】

方法一（配凑法）：

，

.

方法二（换元法）：令，则，

，

即.

【小问2详解】

函数是一次函数，设，

则.

又，

，解得，或

或.

【小问3详解】

，

令，

，即函数的解析式为：

18. 已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.

（1）求实数的取值集合；

（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）参变分离后转化为最值问题求解，

（2）分类讨论解不等式得，由集合间关系列不等式求解，

【小问1详解】

由题意得在时恒成立，

∴，得，即.

【小问2详解】

不等式，

①当，即时，解集，

若是的充分不必要条件，则是的真子集，∴，此时；

②当，即时，解集，满足题设条件.

③当，即时，解集，

若是的充分不必要条件，则是的真子集，

∴，此时，

综上①②③可得.

19. 已知是定义域为的奇函数，且时，.

（1）求函数的解析式，并写出单调区间；

（2）求不等式的解集.

【答案】（1）；单调减区间为.   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求出函数的解析式，进而求得函数的单调区间；

（2）分和，两种情况讨论分别解得不等式的解集，进而得到答案.

【小问1详解】

解：当时，则，

因为函数为奇函数，可得，

故所以函数的解析式为，

则函数的单调减区间为.

【小问2详解】

解：当，即时，等价于，

即，所以，解得，

当，即时，等价于，即，

所以，解得，

综上所述，不等式的解集为.

20. 当下的电动汽车越来越普及，可以通过固定的充电柱进行充电．某商场计划在地下停车库安装公共充电柱，以满足顾客的需求．据市场分析，公共充电柱的历年总利润（单位：万元）与营运年数（是正整数）成二次函数关系，营运三年时总利润为20万元，运营六年时总利润最大，为110万元．

（1）求出关于的函数关系式；

（2）求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润=历年总利润/营运年数）．

【答案】（1）   

（2）20万元

【解析】

【分析】（1）根据条件设函数为，代入即可得函数关系式；

（2）求出年平均总利润的表达式，利用基本不等式求最值.

【小问1详解】

因为投入运营六年时总利润最大，为110万元，

则二次函数开口向下，且顶点坐标为（6,110），

可设函数为，

又运营三年时总利润为20万元，即，

则，

即；

【小问2详解】

由（1）得年平均总利润为，

当且仅当时取“=”.

所以营运的年平均总利润的最大值为20万元.

21. 已知函数有如下性质：当时，如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.

（1）当时，求证：函数在上是减函数；

（2）已知，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；

（3）对于（2）中的函数和函数，若对于任意，总存在，使得成立，求实数的范围.

【答案】（1）证明见解析   

（2）单调减区间为，单调增区间为；值域为   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性；

（2）换元后，根据对勾函数的单调性求函数值域；

（3）由单调性求出的值域，再由包含关系建立不等式求解.

【小问1详解】

当时，函数在上是减函数，证明如下：

任取，，

由，，，，

则，即，

所以函数在上是减函数.

【小问2详解】

设，则，

由已知性质得，当，即时，单调递减，

当，即时，单调递增，

故单调减区间为，单调增区间为.

由，

得的值域为.

【小问3详解】

由于为增函数，故.

由题意，知的值域为的值域的子集，

从而，解得，

所以实数的范围为.

22. 给定函数．且用表示，的较大者，记为．

（1）若，试写出的解析式，并求的最小值；

（2）若函数的最小值为，试求实数的值．

【答案】（1），；（2）或．

【解析】

【分析】由的定义可得，（1）将代入，写出解析式，结合分段区间，求，的最小值并比较大小，即可得的最小值；（2）结合的解析式及对称轴，讨论、、分别求得对应最小值关于的表达式，结合已知求值.

【详解】由题意，

当时，，

当时，，

∴

（1）当时，，

∴当时，，此时，

当时，，此时，

.

（2），且对称轴分别为，

①当时，即时，在单调递减，单调递增；

，即，（舍去），

②当，即时，在单调递减，单调递增；

，有，故此时无解.

③当，即时，在单调递减，单调递增；

，即，（舍去）

综上，得：或.

【点睛】关键点点睛：写出的解析式，第二问需结合各分段上的函数性质-对称轴，讨论参数范围求最小值关于参数的表达式，进而求参数值.