湖南省株洲市第二中学2022-2023学年高一数学上学期12月检测试卷（Word版附答案）

湖南株洲第二中学2022-2023学年上学期教学质量检测

高一数学试题

一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知，，，则（    ）

A．  B．

C．  D．

3．某读书会有5名成员，寒假期间他们每个人阅读的节本数分别如下：3，5，4，2，1，则这组数据的分位数为（    ）

A．3 B．3.5 C．4 D．4.5

4．已知函数的图像关于直线对称，且对任意有，则使得成立的的取值范围是

A． B． C． D．

5．设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：

（1）若，则；

（2）若，则；

（3）若，则；

（4）若，则．

其中正确的命题是（　　）

A．（1）（3） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（2）

6．已知直线和互相平行，则实数m的取值为（　　）

A．﹣1或3 B．-3或﹣1 C．﹣1 D．3

7．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

8．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是(　　)

A．[160，＋∞)

B．(－∞，40]

C．(－∞，40]∪[160，＋∞)

D．(－∞，20]∪[80，＋∞)

二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．下列给出的各角中，与终边相同的角有（    ）

A． B． C． D．

10．已知，则（    ）

A．

B．

C．

D．

11．下列说法正确的是（    ）

A．若，则函数有最小值

B．若，则的最大值1

C．若，则函数的最大值为4

D．若，则的最小值为4

12．已知实数，满足等式，则下列关系式中可能成立的是（    ）

A． B． C． D．

三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分

13．函数的定义域为__________．

14．已知sin＝，则cos＝________．

15．已知，则等于______．

16．已知函数，且函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是______．

四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．已知集合，，．

(1)求集合、；

(2)若，求实数的取值范围．

18．已知函数．

(1)求函数的单调区间;

(2)当时，求不等式的解集．

19．已知圆C经过点和，且圆心C在直线上.

（1）求圆C的方程；

（2）若圆C与圆M：相交，求实数a的取值范围.

20．如图，已知，四边形ABCD为长方形，平面PDC⊥平面ABCD，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3．

(1)证明：BC⊥PD；

(2)证明：求点C到平面PDA的距离．

21．已知函数f(x)＝为奇函数．

（1）求a的值；

（2）判断函数f(x)的单调性，并加以证明．

22．已知函数且的定义域为.

(1)求函数的零点；

(2)若，求a的取值范围.

参考答案：

1．B

求出集合，利用并集的定义可求得集合.

因为，，所以．

故选：B.

2．B

先利用函数单调性求得，，，进而求得之间的大小关系

因为，，

所以．

故选：B．

3．B

这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，4，5，根据，结合百分数的定义，即可求解.

由题意，这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，4，5，且，

可得这组数据的分位数为从小到大排列的第3个数和第4个数的平均数为.

故选：B.

4．A

∵函数的图象关于直线对称，

∴函数的图象关于直线对称，

∴函数为偶函数．

又对任意有，

∴函数在上为增函数．

又，

∴，

解得.

∴的取值范围是.选A．

5．C

根据线线，线面位置关系，数形结合解决即可.

对于（1），，则可能平行，也可能相交，参照正方体同一顶点处相邻的三个面即可，故（1）错误；

对于（2），当时，就不能得出，如图，故（2）错误；

对于（3），若，则平面与平面无公共点，又，所以直线与平面也没有公共点，所以，故（3）正确；

对于（4），因为，由得，又，所以，同理，所以，故（4）正确.

故选：C

6．C

根据两条直线平行求解即可.

当时，不存在，，不平行.

当时，，，

因为平行，所以，解得或.

当时，，，重合，舍去.

当时，，，.

综上.

故选：C

7．A

探讨函数的定义域、单调性，再逐一分析各选项判断作答.

函数的定义域为，选项C，D不满足，

因，则函数在，上都单调递增，B不满足，则A满足.

故选：A

方法点睛：函数图象的识别途径：(1)由函数的定义域，判断图象的左右位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；

(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性.

8．C

由函数在区间上既没有最大值也没有最小值，可得函数在区间上是单调函数，根据对称轴与区间的关系可求的范围.

由于二次函数在区间上既没有最大值也没有最小值，

因此函数在区间上是单调函数，

二次函数图象的对称轴方程为，

因此或，或，故选C.

本题主要考查了二次函数的性质的应用，解题的关键是判断二次函数在对应区间上的单调性，讨论对称轴与所给区间的关系，本题属于中档题.

9．ABD

【解析】利用终边相同的角的定义判断.

A. 因为，故正确；

B. 因为，故正确；

C. 令，解得，故错误；

D. 因为，故正确；

故选：ABD

10．BCD

取特殊值可说明A错；根据指数函数以及幂函数的单调性，可判断B,C的对错；利用作差法可判断D的对错.

对于A，取 满足，但，故A错；

对于B，是定义域上的增函数，故时，有成立，故B正确；

对于C, ,故，故C正确；

对于D，，故，故D正确，

故选：BCD.

11．BD

对于A、C，利用基本不等式，可得答案；

对于B，利用基本不等式，建立不等式，结合二次不等式，可得答案；

对于D，根据基本不等式中“1”的妙用，可得答案.

对于A，当时，，故A错误；

对于B，由，则，当且仅当时等号成立，即，

整理可得，解得，故B正确；

对于C，由，则，即，当且仅当，即时等号成立，故C错误；

对于D，，当且仅当，即时等号成立，故D正确.

故选：BD.

12．ABC

在同一坐标系中作出函数和函数的图象，再作出一条直线与两个图象相交，借助图象分析，满足等式时，的大小关系，

函数和函数的图象如图所示：

若，均为正数，则；

若，均为负数，则，

若，，

故选：ABC．

13． .

由对数式中真数大于0和分式中分母不等于0列式可得结果.

由题意知， 且

故答案为：.

14．

根据，利用诱导公式计算即可.

sin,

故答案为：

15．

计算出的值，即可得解.

对任意的，，则，故函数的定义域为，

因为．

所以，．

故答案为：.

16．

作出函数的图象，由题意可知，函数与直线的图象有个交点，数形结合可得出关于实数的不等式，即可求得实数的取值范围.

解：当时，，

当时，，

所以，函数在上的图象可视为函数在上的图象每次向右平移个单位后得到，

①若函数的图象恒在直线的下方时，

则，则，

则当时，函数无零点，且当时，，

此时，函数无零点，不合乎题意；

②若函数的图象与直线相切，

对于方程，即，，解得，此时，

当时，，此时，函数只有一个零点，不合乎题意；

③若时，如下图所示：

由图象可知，函数与函数在上的图象有个交点，

若使得函数有个零点，则，解得，此时；

④当时，由图象可知，函数与函数在上的图象只有个交点，

函数与函数在上的图象必有个交点，

此时，函数有个零点，合乎题意.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

17．(1)，

(2)

（1）利用指数函数、对数函数的单调性可分别求得集合、；

（2）求出集合，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围.

（1）解：，

.

（2）解：由（1）可知或，显然，

因为，所以，或，解得或.

因此，实数的取值范围是.

18．(1)单调递增区间为，单调递减区间为

(2)

（1）求出函数的定义域，利用复合函数法可求出函数的增区间和减区间；

（2）由可得出，结合对数函数的单调性以及二次不等式的解法，结合可得出的取值范围.

（1）解：对于函数，有，解得或，

所以，函数的定义域为，

因为内层函数的减区间为，增区间为，

外层函数为增函数，

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）解：由可得，即，即，

所以，，因为，解得.

因此，当时，不等式的解集为.

19．（1）；（2）.

【解析】本题考查圆的一般方程的求法和已知圆的位置关系求参数取值范围问题，难度不大.

（1）设出圆的一般方程，利用已知条件得到关于系数的方程组求解即可；

（2）利用两圆相交的条件建立关于的不等式组，求解即得.

（1）设圆C的方程为，则圆心，

由已知得，解得.

所以，圆C的方程为；

（2）圆C的方程为，即，

圆心，半径，

圆M的方程为，

即，圆心，半径，

因为圆C与圆M相交，所以，

即，解得：.

所以，实数a的取值范围为.

两圆相交的条件是圆心距大于半径之差的绝对值，同时小于半径之和.

20．(1)证明见解析；

(2)．

(1)利用平面与平面垂直的性质定理得出BC⊥平面PDC，即可证明BC⊥PD；

(2)利用等体积法，即可求点C到平面PDA的距离．

（1）∵四边形ABCD是长方形，∴BC⊥CD，

∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，

∴BC⊥平面PDC，

∵平面PDC，

∴BC⊥PD；

（2）取CD的中点E，连接AE和PE，

∵PD＝PC，∴PE⊥CD，

在Rt△PED中，．

∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE平面PDC，

∴PE⊥平面ABCD，

由(1)知：BC⊥平面PDC，

∵四边形ABCD是长方形，∴BC∥AD，

∴AD⊥平面PDC，

∵平面PDC，∴AD⊥PD，

设点C到平面PDA的距离为h．

连接AC，由得，，

∴点C到平面PDA的距离是．

21．（1）a＝－1；（2）函数f(x)在定义域R上单调递增，详见解析

（1）根据定义域为R的奇函数满足f(0)＝0即可求得结果；

（2）由定义法知，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，故可证得结果.

（1）因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R，所以f(0)＝＝0，所以a＝－1，经检验满足题意.

（2）f(x)＝＝1－，函数f(x)在定义域R上单调递增．

理由：设任意的x1，x2，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝.

因为x1<x2，所以，所以<0，

所以f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在定义域R上单调递增．

本题考查指数型复合函数的基本性质，要求学生会根据函数的奇偶性求参数以及利用定义法证明函数的单调性，属基础题.

22．(1)，

(2)

（1）令，求出的值即可；

（2）根据对数的运算性质不等式可化为，再分和两种情况讨论，结合对数函数的单调性即可得出答案.

（1）解：令，即，

∴，解得（经检验符合题意），

∴的零点为，；

（2）解：∵，

∴，

当时，函数单调递增，

原不等式等价于，解得，

当时，函数单调递减，

原不等式等价于，解得，

综上，的取值范围为.