数学-2022-2023学年九年级下学期开学摸底考试卷（人教版，河北专用）

2022-2023学年九年级下学期开学摸底考试卷（河北专用）

数学

17．【答案】

【分析】设与的交点为，设，由题意可得，，则，则，求解即可．

【详解】解：设与的交点为，如下图：

设，则，

由题意可得，，

∴，

∴，即

解得，即

故答案为：．

【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．

18．【答案】

【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答．

【详解】解：∵点P是的黄金分割点（），线段的长为，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了黄金分割的比例线段，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．

19．【答案】①②⑤

【分析】先根据抛物线开口向下、与轴的交点位于轴正半轴，再根据对称轴可得，由此可判断结论①；将点代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．

【详解】解：抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴，

，

抛物线的对称轴为，

，

，则结论①正确；

将点代入二次函数的解析式得：，结论③错误；

将代入得：，结论②正确；

抛物线的对称轴为，

和时的函数值相等，即都为，

又当时，随的增大而减小，且，

，结论④错误；

由函数图像可知，当时，取得最大值，最大值为，

，

，即，结论⑤正确；

综上，正确的结论有①②⑤．

故答案为①②⑤．

【点睛】本题主要考查了利用二次函数的图像判断式子的符号、二次函数的性质等知识点，从函数图像上得到相关信息是解题的关键．

20．【答案】（1）；（2）4

【分析】（1）根据一元二次方程的解法可进行求解；

（2）根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可进行求解．

【详解】解：（1）

∴；

（2）原式

．

【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法、特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键．

21．【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接根据概率公式求解；

（2）利用列表法展示所有9种等可能性结果，再找出甲、乙两名同学抽到的题目不在同一题组的结果数，然后根据概率公式求解．

【详解】（1）解：甲摸到“B组：动听百年”中问题的概率=；

（2）列表得：

由表格可知，共有9种等可能性结果，其中甲、乙两名同学抽到的题目不在同一题组的结果有6种，

∴

【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键．

22．【答案】(1)

(2)

【分析】（1）过点M作，垂足为Q，根据题意可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，即可求出的长；

（2）当时，过点Q作，交的延长线于点A，连接，利用平角定义可求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而求出，然后在中，利用勾股定理求出，最后在中，利用勾股定理即可求出的长．

【详解】（1）解：过点M作，垂足为Q，

则米，

在中，，米，

（米），

米，

伸展臂长为米，

故答案为：；

（2）解：当时，过点Q作，交的延长线于点A，连接，

，

在中，，米，

（米），

米，

（米），

在中，（米），

在中，（米），

挖掘机能挖的最远处距点N的距离为米，

故答案为：．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题关键．

23．【答案】(1)

(2)

【分析】（1）过点作轴的垂线段，垂足为，证明，得出的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；

（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点横坐标，根据平移的性质解答；

【详解】（1）解：如图，过点作轴的垂线段，垂足为，

则，

∵四边形是正方形，

∴，，

∴，

∵，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴；

将点代入，得，

∴反比例函数解析式为；

（2）解：如图，过点作轴于，

同理可得，

∴，

则

∴，

∵反比例函数解析式为；

∴当时，，

∴向左平移2个单位得到，点恰好落在反比例函数的图象上．

【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，掌握待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、平移的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质是解题的关键．

24．【答案】(1)见解析

(2)6

(3)

【分析】（1）连接，如图，利用垂径定理的推论得到，再利用得到，然后利用角度的代换可证明，则，从而根据切线的判定定理得到结论；

（2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可；

（3）利用圆周角定理得到，则，接着在中计算出，然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积．

【详解】（1）证明：连接，如图，

∵D为的下半圆弧的中点，

∴，

∴，

∵，

∴，

而，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴是的切线；

（2）设的半径为r，则

在中，，

解得（舍去），

即的半径为6；

（3）

在中，

，

∴

∴阴影部分的面积

【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．

25．【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】（1）根据平行线分线段成比例，可得，即可求解；

（2）根据，可得，再由，即可求解；

（3）根据题意可得，即可求解；

（4）过点D作于点F，延长至点M，使，过点M作于点E，交于点P，则，由垂线段最短得，的最小值为的长，证得，可得，再根据，可得，然后根据，列出方程，即可求解．

【详解】（1）解：在中，，，，

∴，

∵四边形为矩形，

∴，

∵为的中点，

∴，

即，

∴，

即当t的值为时，四边形为矩形；

（2）解：∵，，

∴，

∴，

∴，

即，

∴，

∴

，

即；

（3）解：根据题意得：，

即，

解得：（舍去）或4，

故存在某一时刻，使四边形与的面积比为；

（4）解：如图，过点D作于点F，延长至点M，使，过点M作于点E，交于点P，则，

此时，

由垂线段最短得，的最小值为的长，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

解得：，

即当时，的值最小．

【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短性质的应用，轴对称性质，求函数解析式，关键是构造直角三角形和应用相似三角形解决问题．

26．【答案】(1)、、的值分别为1、、

(2)见解析

(3)①或；②的值是5

【分析】（1）把，，代入，列方程组并且解该方程组求出a、b、c的值即可；

（2）先根据点、与点、关于直线对称，求出点、的坐标，再描出点、，并画出“部分抛物线”；

（3）由（1）得原抛物线的解析式为，将其配成顶点式，则翻折后得到的抛物线的顶点为，再根据轴对称的性质，可求出“部分抛物线”K的解析式为；①先求出K与L的公共点为，再结合图像，确定m的取值范围是或；②按和两种情况分类讨论，当m＞0时，先求出直线的解析式，再将其与L的解析式组成方程组，求出点M的纵坐标即为m的值；当时，则不是等腰直角三角形．

【详解】（1）解：把，，代入，

得，

解得，

、、的值分别为1、、．

（2）解：由（1）得，

由题意可知，点、与点、关于直线对称，

，，

描出点，，画出“部分抛物线” 如图1所示：

（3）解：由（1）得，L的解析式为，

∵，

∴该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，

∴将抛物线沿直线翻折得到的抛物线的顶点坐标为，

∴翻折后的抛物线为，即，

∵K与L关于直线对称，

∴“部分抛物线”K的解析式为．

由，

得，

与的公共点为，

①如图2，当直线在点上方，由直线与图形只有两个交点、，

；

如图3，当直线在点下方，

直线经过、的顶点、，

此时直线与图形只有两个交点、，

，

综上所述，或．

②如图2，，为等腰直角三角形，

设交轴于点，，

，，

，

轴，

，

，

，

，

，

设直线的解析式为，

则，

解得，

直线的解析式为，

点在直线上，

，

，

解得，（不符合题意，舍去），

，

；

如图3，，

，，

，

此时不是等腰直角三角形，

综上所述，的值是5．

【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、等腰直角三角形、待定系数法等知识点，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．