第二十二讲 与圆有关的计算-最新备战中考数学第一轮复习分点透练真题（全国通用）

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 第二十二讲　与圆有关的计算
命题点1 扇形的相关计算
类型一　　弧长的计算
1．（2021•梧州）若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（　　）
A．π B．π C．π D．2π
【答案】B
【解答】解：∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，
∴此扇形的弧长为＝π．
故选：B．
２．（2021•云南）如图，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径．若OA＝3，则劣弧BD的长是（　　）

A． B．π C． D．2π
【答案】B
【解答】解：连接OB、BD，如图：

∵△ABC为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴∠D＝∠C＝60°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵半径OA＝3，
∴劣弧BD的长为＝π，
故选：B．
３．（2021•广安）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路（劣弧AB）和便民路（线段AB）．已知A、B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走（　　）米．

A．6π﹣6 B．6π﹣9 C．12π﹣9 D．12π﹣18
【答案】D
【解答】解：作OC⊥AB于C，如图，

则AC＝BC，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠AOB）＝30°，
在Rt△AOC中，OC＝OA＝9米，
AC＝＝米，
∴AB＝2AC＝米，
又∵的长＝米，
∴走便民路比走观赏路少走（）米，
故选：D．
４．（2021秋•沭阳县校级月考）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路（劣弧AB）和便民路（线段AB）．已知A、B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走 　　　　　米．

【答案】12π﹣18）
【解答】解：过O作OC⊥AB于C，如图，

则AC＝BC，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠AOB）＝30°，
在Rt△AOC中，OA＝18米，∠A＝30°，
∴OC＝OA＝9（米），
∴AC＝＝＝9（米），
∴AB＝2AC＝18（米），
又∵的长＝＝12π（米），
∴走便民路比走观赏路少走（12π﹣18）米，
故答案为：（12π﹣18）．
５．（2021•长春）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA的长度为200米，圆心角∠AOB＝90°，则这段铁轨的长度为 　　　　米．（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）

【答案】100π
【解答】解：圆弧长是：＝100π（米）．
故答案是：100π．
６．（2021•娄底）如图所示的扇形中，已知OA＝20，AC＝30，＝40，则＝　　　　．

【答案】１００
【解答】解：设∠AOB＝n°．
由题意＝40，
∴nπ＝360，
∴＝＝100，
故答案为：100．
７．（2021•兰州）如图，传送带的一个转动轮的半径为10cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送6πcm，则n＝　　　　．

【答案】１０８
【解答】解：∵物品A被传送的距离等于转动了n°的弧长，
∴＝6π，
解得：n＝108，
故答案为：108．
８．（2021•河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，∠BAC＝22.5°，则的长为 　　　　．

【答案】
【解答】解：如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD．

∵OA＝OB＝OD＝5，∠BOC＝2∠BAC＝45°，
∴的长＝＝．
故答案为：．
９．（2021•金华）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．
（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B．
①求∠APO′的度数．
②求AP的长．
（2）如图2，BO′与相交于点D，若点D为的中点，且PD∥OB，求的长．


【答案】（１）①∠APO′＝60°，②　AP＝6﹣2．　（２）的＝
【解答】解：（1）①如图1中，∵BO′是⊙O的切线，
∴∠OBO′＝90°，
由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBO′＝45°，∠OPB＝∠BPO′，
∵∠AOB＝75°，
∴∠OPB＝∠BPO′＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴∠OPO′＝120°，
∴∠APO′＝180°﹣∠OPO′＝180°﹣120°＝60°．

②如图1中，过点B作BH⊥OA于H，在BH上取一点F，使得OF＝FB，连接OF．
∵∠BHO＝90°，
∴∠OBH＝90°﹣∠BOH＝15°，
∵FO＝FB，
∴∠FOB＝∠FBO＝15°，
∴∠OFH＝∠FOB+∠FBO＝30°，
设OH＝m，则HF＝m，OF＝FB＝2m，
∵OB2＝OH2+BH2，
∴62＝m2+（m+2m）2，
∴m＝或﹣（舍弃），
∴OH＝，BH＝，
在Rt△PBH中，PH＝＝，
∴PA＝OA﹣OH﹣PH＝6﹣﹣＝6﹣2．
解法二：连接OO′交PB于T，则BP⊥′OO′，
在Rt△OBT中，OT＝OB×sin45°＝3．
在Rt△OTP中，OP＝＝2，
∴AP＝OA﹣OP＝6﹣2．

（2）如图2中，连接AD，OD．
∵＝，
∴AD＝BD，∠AOD＝∠BOD，
由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBD，
∵PD∥OB，
∴∠DPB＝∠OBP，
∴∠DPB＝∠PBD，
∴DP＝DB＝AD，
∴∠DAP＝∠APD＝∠AOB，
∵AO＝OD＝OB，AD＝DB，
∴△AOD≌△BOD，
∴∠OBD＝∠OAD＝∠AOB＝2∠BOD，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝2∠DOB，
∴∠DOB＝36°，
∴∠AOB＝72°，
∴的长＝＝．


类型二　扇形面积的计算
．（2020•福建）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为　　．（结果保留π）
【答案】4π
【解答】解：S扇形＝＝4π，
故答案为：4π．
１１．（2021•嘉峪关）如图，从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为 　　dm2．

【答案】2π
【解答】解：连接AC，

∵从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC＝90°，
∴AC为直径，即AC＝4dm，AB＝BC（扇形的半径相等），
∵AB2+BC2＝22，
∴AB＝BC＝2dm，
∴阴影部分的面积是＝2π（dm2）．
故答案为：2π．
１２．（2021•重庆）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为 　　　．（结果保留π）

【答案】π
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝4，OA＝OC＝OB＝OD，AB∥CD,
∴OA＝OC＝2，∠ACD＝∠CAB＝36°，
∴图中阴影部分的面积为：2×＝π，
故答案为：π．

命题点２　　与扇形有关的阴影部分面积计算
类型一　　直接和差法
13．（2021•青海）如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（　　）

A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2
【答案】B
【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，
所以面积＝＝π（m2）；
小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m，
则面积＝＝（m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积＝π+＝π（m2）．
故选：B．

１４．（2021•怀化）如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 　　　　．（结果保留π）

【答案】π﹣
【解答】解：∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB
＝
＝π﹣．
故答案为：π﹣．

１５．（2021•广东）如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4．分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为 　　　　　．

【答案】4﹣π
【解答】解：等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴AB＝AC＝BC＝2
∵BE＝CE＝BC＝2，
∴阴影部分的面积S＝S△ABC﹣S扇形BDE﹣S扇形CEF＝2﹣×2＝4﹣π，
故答案为4﹣π．
１６．（2021•宜昌）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为 　　　　　　平方厘米．（圆周率用π表示）

【答案】（2π﹣2）
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝BC＝2厘米，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝1厘米，AD＝BD＝厘米，
∴△ABC的面积为BC•AD＝（厘米2），
S扇形BAC＝＝π（厘米2），
∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝（2π﹣2）厘米2，
故答案为：（2π﹣2）．

类型二　　构造和差法
１７．（2021•济宁）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是 　　　　．

【答案】﹣
【解答】解，连接OD，过D作DE⊥BC于E，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴sinC＝＝＝，BC＝＝＝2，
∴∠C＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∵OD＝BC＝，
∴DE＝，
∴阴影部分的面积是：2×2﹣﹣＝﹣，
故答案为：﹣．

１８．（2021•资阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝cm以点B为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，则图中阴影部分的面积为 　　　　　cm2．

【答案】（﹣π）
【解答】解：如图，连接BE．

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝cm，∠C＝∠ABC＝90°，CD∥AB，
在Rt△BCE中，
∵AB＝BE＝2cm，BC＝cm，
∴EC＝＝1cm，
∴∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝∠BEC＝60°，
∴S阴＝S矩形ABCD﹣S△BEC﹣S扇形AEB，
＝2﹣×1×﹣•π•22，
＝（﹣π）cm2．
故答案为：（﹣π）．
类型三　　等积转化法
１９．（2021•泰安）若△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为 　　　．

【答案】４
【解答】解：设AB交半圆于点D，连接CD．

∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB；
又∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CD垂直平分斜边AB，
∴CD＝BD＝AD，
∴＝，
∴S弓形BD＝S弓形CD，
∴S阴影＝SRt△ABC﹣SRt△BCD；
∵△ABC为等腰直角三角形，CD是斜边AB的垂直平分线，
∴SRt△ABC＝2SRt△BCD；
又SRt△ABC＝×4×4＝8，
∴S阴影＝4；
故答案为：4．
２０．（2020•朝阳）如图，点A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，则图中阴影面积为　　　　．

【答案】
【解答】解：∵∠ACB＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵OD∥AB，
∴S△ABD＝S△ABO，
∴S阴影＝S扇形AOB＝．
故答案为：．
类型四　　容斥原理法
２１．（2021•荆门）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 　　　　　．

【答案】2﹣
【解答】解：连接PB、PC，作PF⊥BC于F，
∵PB＝PC＝BC，
∴△PBC为等边三角形，
∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，
∴BF＝PB•cos60°＝PB＝1，PF＝PB•sin60°＝，
则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]×2
＝[﹣（﹣×2×）]×2＝2﹣，
故答案为：2﹣．

命题点３　　圆切线与阴影部分求面积结合
２２．（2021•扬州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．
（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．

【答案】（１）　CD与⊙B相切　（２）
【解答】解：（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB．
在△ABD和△FBD中，
，
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF＝BA，则点F在圆B上，
∴CD与⊙B相切；


（2）∵∠BCD＝60°，CB＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，
∴∠ABF＝60°，
∵AB＝BF＝，
∴AD＝DF＝AB·tan30°＝2，
∴阴影部分的面积＝S△ABD﹣S扇形ABE
＝
＝．
命题点４　圆锥、圆柱的相关计算
２３．（2021•聊城）用一块弧长16πcm的扇形铁片，做一个高为6cm的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为 　　　　cm2．
【答案】80π
【解答】解：∵扇形铁片的弧长16πcm，
∴圆锥的底面周长为16πcm，
∴圆锥的底面半径＝＝8（cm），
由勾股定理得：圆锥的母线长＝＝10（cm），
∴扇形铁片的面积＝×16π×10＝80π（cm2）
故答案为：80π．
２４．（2021•扬州）如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为10cm的正方形，该果罐侧面积为 　　　　cm2．

【答案】100π
【解答】解：由题意得圆柱的底面直径为10cm，高为10cm，
∴侧面积＝10π×10＝100π(cm2)．
故答案为：100π．
２５．（2021•呼和浩特）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 　　　　．（用含π的代数式表示），圆心角为 　　　　度．
【答案】12π，216
【解答】解：设底面圆的半径为rcm，
由勾股定理得：r＝＝6，
∴2πr＝2π×6＝12π，
根据题意得2π×6＝，
解得n＝216，
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为216°．
故答案为：12π，216．
２６． （2021•黔东南州）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm2，则这个扇形的圆心角的度数
　　是 　　度．

【答案】１５０
【解答】解：设圆锥的母线长为lcm，扇形的圆心角为n°，
∵圆锥的底面圆周长为20πcm，
∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为20πcm，
由题意得：×20π×l＝240π，
解得：l＝24，
则＝20π，
解得，n＝150，即扇形的圆心角为150°，
故答案为：150．
２７．（2021•广西）如图，从一块边长为2，∠A＝120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上（阴影部分），且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是 　　．

【答案】
【解答】解：连接AC、AE，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠BAC＝∠BAD＝×120°＝60°，AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∵圆弧与BC相切于E，
∴AE⊥BC，
∴BE＝CE＝1，
∴AE＝＝＝，
设圆锥的底面圆半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝，
即圆锥的底面圆半径为．
故答案为．

２８．（2021•邵阳）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）

【答案】（１）　∠BAC＝90°　（２）S阴＝(100﹣25π)cm2
【解答】解：（1）设∠BAC＝n°．
由题意得π•DE＝,AD＝2DE,
∴n＝90,
∴∠BAC＝90°．

(2)∵AD＝2DE＝10(cm),
∴S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF＝×10×20﹣＝(100﹣25π)cm2．


命题点５　　圆与正多边形的相关计算
２９．（2021秋•柯桥区期中）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
【答案】 A
【解答】解：连接OD．

∵AC＝4，AB＝2，
∴AC＝2AB，
∵∠ABC＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠DOB＝2∠C＝60°，
∵BC＝AB＝2，
∴OC＝OD＝OB＝，
∴S阴＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB＝×2×2﹣××﹣
＝2﹣﹣
＝﹣．
故选：A．
３０．（2021•贵阳）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（　　）

A．144° B．130° C．129° D．108°
【答案】A
【解答】解：正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠E＝∠D＝108°，
∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°，
故选：A．
３１．（2021•成都）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．4π B．6π C．8π D．12π
【答案】D
【解答】解：∵正六边形的外角和为360°，
∴每一个外角的度数为360°÷6＝60°，
∴正六边形的每个内角为180°﹣60°＝120°，
∵正六边形的边长为6，
∴S阴影＝＝12π，
故选：D．

３２．（2021•山西）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．2π B．4π C． D．
【答案】A
【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝＝120°，
∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°，
∴∠BAC＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°，
过B作BH⊥AC于H，
∴AH＝CH，BH＝AB＝×2＝1，
在Rt△ABH中，
AH＝＝＝，
∴AC＝2，
同理可证，∠EAF＝30°，
∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，
∴S扇形CAE＝＝2π，
∴图中阴影部分的面积为2π，
故选：A．
３３．（2021•绥化）边长为4cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是 　　　．
【答案】
【解答】解：连接OA，OB，作OG⊥AB于点G，
∵正六边形的边长为4cm，
∴正六边形的外接圆的半径4cm，
内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是GO＝×4＝2，
因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为＝．
故答案为：．

３４．（2021•大庆）如图，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F、C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E、A和D、B，顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为 　　　　　．

【答案】
【解答】解：连接EB，AD，
设⊙O的半径为r，
⊙O的面积S＝πr2，
弓形EF，AF的面积与弓形EO，AO的面积相等，
弓形CD，BC的面积与弓形OD，OB的面积相等，
∴图中阴影部分的面积＝S△EDO+S△ABO，
∵OE＝OD＝AO＝OB＝OF＝OC＝r，
∴△EDO、△AOB是正三角形，
∴阴影部分的面积＝×r×r×2＝r2，
∴⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为，
故答案为：．

３５．（2021•河北）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．
（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；
（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长PA7的值．

【答案】（１）比直径长　　（２）PA1⊥A7A11　　　（３）PA7＝A1A7•tan60°＝12
【解答】解：（1）由题意，∠A7OA11＝120°，
∴的长＝＝4π＞12，
∴比直径长．

（2）结论：PA1⊥A7A11．
理由：连接A1A7，A7A11，OA11．
∵A1A7是⊙O的直径，
∴∠A7A11A1＝90°，
∴PA1⊥A7A11．

（3）∵PA7是⊙O的切线，
∴PA7⊥A1A7，
∴∠PA7A1＝90°，
∵∠PA1A7＝60°，A1A7＝12，
∴PA7＝A1A7•tan60°＝12．