第九讲 一次函数-最新备战中考数学第一轮复习分点透练真题（全国通用）

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 第九讲 一次函数
命题点1 一次函数的图像与性质
类型一 与图像有关的判定
1．（2020•荆州）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：一次函数y＝x+1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝﹣1，
∴一次函数y＝x+1的图象经过点（0，1）和（﹣1，0），
∴一次函数y＝x+1的图象经过一、二、三象限，
故选：C．
2．（2021•柳州）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．k＞0 B．b＝2
C．y随x的增大而增大 D．x＝3时，y＝0
【答案】B
【解答】解：观察一次函数图象发现，图象过第一、二、四象限，
∴k＜0，A错误；
∴函数值y随x的增大而减小，C错误；
∵图象与y轴的交点为（0，2）
∴b＝2，B正确；
∵图象与x轴的交点为（4，0）
∴x＝4时，y＝0，D错误．
故选：B．
类型二 一次函数解析式与象限的关系
3．（2020•广安）一次函数y＝﹣x﹣7的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解答】解：∵k＝﹣1＜0，b＝﹣7＜0，
∴一次函数y＝﹣x﹣7的图象经过第二、三、四象限，
∴一次函数y＝﹣x﹣7的图象不经过第一象限．
故选：A．
4．（2020•牡丹江）已知一次函数y＝（2m﹣3）x+3n+1的图象经过一、二、三象限，则m、n的取值是（　　）
A．m＞3，n＞3 B．m＞，n＞﹣ C．m＜，n＜ D．m＞，n＜
【答案】B
【解答】解：∵一次函数y＝（2m﹣3）x+3n+1的图象经过一、二、三象限，
∴，
解得：m＞，n＞﹣，
故选：B．
5．（2021•上海）已知函数y＝kx经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1），请写出一个符合条件的函数解析式 　　 ．
【答案】y＝﹣2x
【解答】解：∵函数y＝kx经过二、四象限，
∴k＜0．
若函数y＝kx经过（﹣1，1），则1＝﹣k，即k＝﹣1，
故函数y＝kx经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1）时，k＜0且k≠﹣1，
∴函数解析式为y＝﹣2x，
故答案为y＝﹣2x．
类型三 与一次函数增减性、最值有关的问题
6．（2021•苏州）已知点A（，m），B（，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（　　）
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵点A（，m），B（，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，
∴m＝2+1，n＝2×+1＝3+1＝4，
∵2+1＜4，
∴m＜n，
故选：C．
7．（2020•安徽）已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（2，3） D．（3，4）
【答案】B
【解答】解：A、当点A的坐标为（﹣1，2）时，﹣k+3＝2，
解得：k＝1＞0，
∴y随x的增大而增大，选项A不符合题意；
B、当点A的坐标为（1，﹣2）时，k+3＝﹣2，
解得：k＝﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小，选项B符合题意；
C、当点A的坐标为（2，3）时，2k+3＝3，
解得：k＝0，选项C不符合题意；
D、当点A的坐标为（3，4）时，3k+3＝4，
解得：k＝＞0，
∴y随x的增大而增大，选项D不符合题意．
故选：B．
8．（2020•湖北）对于一次函数y＝x+2，下列说法不正确的是（　　）
A．图象经过点（1，3）
B．图象与x轴交于点（﹣2，0）
C．图象不经过第四象限
D．当x＞2时，y＜4
【答案】D
【解答】解：∵一次函数y＝x+2，
∴当x＝1时，y＝3，
∴图象经过点（1，3），故选项A正确；
令y＝0，解得x＝﹣2，
∴图象与x轴交于点（﹣2，0），故选项B正确；
∵k＝1＞0，b＝2＞0，
∴不经过第四象限，故选项C正确；
∵k＝1＞0，
∴函数值y随x的增大而增大，
当x＝2时，y＝4，
∴当x＞2时，y＞4，故选项D不正确，
故选：D．
9．（2021•成都）在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，则点P（3，k）在第 　　象限．
【答案】一
【解答】解：∵在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，
∴k＞0，
∴点P（3，k）在第一象限．
故答案为：一．
类型四 一次函数图像的交点问题
10．（2020•陕西）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解答】解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
解得，，
∴A（﹣3，0），B（﹣1，2），
∴△AOB的面积＝3×2＝3，
故选：B．
11．（2012•黔南州）如图，直线AB对应的函数表达式是（　　）

A．y＝﹣x+3 B．y＝x+3 C．y＝﹣x+3 D．y＝x+3
【答案】A
【解答】解：设直线AB对应的函数表达式是y＝kx+b，
把A（0，3），B（2，0）代入，
得，
解得，
故直线AB对应的函数表达式是y＝﹣x+3．
故选：A．
12．（2021•贵阳）小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线y＝knx+bn（n＝1，2，3，4，5，6，7），其中k1＝k2，b3＝b4＝b5，则他探究这7条直线的交点个数最多是（　　）
A．17个 B．18个 C．19个 D．21个
【答案】B
【解答】解：∵k1＝k2，b3＝b4＝b5，
∴直线y＝knx+bn（n＝1，2，3，4，5）中，
直线y＝k1x+b1与y＝k2x+b2无交点，y＝k3x+b3与y＝k4x+b4与y＝k5x+b5有1个交点，
∴直线y＝knx+bn（n＝1，2，3，4，5）最多有交点2×3+1＝7个，
第6条线与前5条线最多有5个交点，
第7条线与前6条线最多有6个交点，
∴交点个数最多为7+5+6＝18．
故选：B．
13.（2014•宜宾）如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（　　）

A．y＝2x+3 B．y＝x﹣3 C．y＝2x﹣3 D．y＝﹣x+3
【答案】D
【解答】解：∵B点在正比例函数y＝2x的图象上，横坐标为1，
∴y＝2×1＝2，
∴B（1，2），
设一次函数解析式为：y＝kx+b，
∵一次函数的图象过点A（0，3），与正比例函数y＝2x的图象相交于点B（1，2），
∴可得出方程组 ，
解得 ，
则这个一次函数的解析式为y＝﹣x+3，
故选：D．
14．（2020•南通）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．

【答案】（1） y＝﹣2x+6 （2）M（3，6）或（﹣1，2）
【解答】解：（1）把x＝1代入y＝x+3得y＝4，
∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
∴AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），
MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）．
命题点2 一次函数图像的平移、旋转与对称
15．（2021•嘉峪关）将直线y＝5x向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（　　）
A．y＝5x﹣2 B．y＝5x+2 C．y＝5（x+2） D．y＝5（x﹣2）
【答案】A
【解答】解：将直线y＝5x向下平移2个单位长度，所得的函数解析式为y＝5x﹣2．
故选：A．
16．（2021•陕西）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
【答案】A
【解答】解：将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到y＝2（x+3）+m﹣1，
把（0，0）代入，得到：0＝6+m﹣1，
解得m＝﹣5．
故选：A．
17．（2021•黄石）将直线y＝﹣x+1向左平移m（m＞0）个单位后，经过点（1，﹣3），则m的值为 　　．
【答案】3
【解答】解：将直线y＝﹣x+1向左平移m（m＞0）个单位后所得直线为：y＝﹣（x+m）+1．
将点（1，﹣3）代入，得﹣3＝﹣1+1﹣m．
解得m＝3．
故答案是：3．
18．（2020•南京）将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是 　 ．
【答案】　y＝x+2
【解答】解：在一次函数y＝﹣2x+4中，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝2，
∴直线y＝﹣2x+4经过点（0，4），（2，0）
将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，则点（0，4）的对应点为（﹣4，0），（2，0）的对应点是（0，2）
设对应的函数解析式为：y＝kx+b，
将点（﹣4，0）、（0，2）代入得，解得，
∴旋转后对应的函数解析式为：y＝x+2，
故答案为y＝x+2．
命题点3 一次函数与方程、不等式结合
类型一 一次函数与方程（组）的关系
19．（2021•贺州）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（　　）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【答案】C
【解答】解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y＝ax+b过B（2，0），
∴方程ax+b＝0的解是x＝2，
故选：C．
20．（2021•梧州）如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 　　．

【答案】
【解答】解：∵直线l1：y＝x+与直线l2：y＝kx+3相交于点A（2，1），
∴关于x、y的方程组的解为，
故答案为：．

类型二 一次函数与不等式（组）的关系
21．（2021•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）．根据图象可知，关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是（　　）

A．x＜2 B．x＜3 C．x＞2 D．x＞3
【答案】C
【解答】解：根据图象可得：不等式2x﹣1＞kx+b的解集为：x＞2，
故选：C．
22．（2020•乐山）直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤2的解集是（　　）

A．x≤﹣2 B．x≤﹣4 C．x≥﹣2 D．x≥﹣4
【答案】C
【解答】解：∵直线y＝kx+b与x轴交于点（2，0），与y轴交于点（0，1），
∴，解得
∴直线为y＝﹣+1，
当y＝2时，2＝﹣+1，解得x＝﹣2，
由图象可知：不等式kx+b≤2的解集是x≥﹣2，
故选：C．
23．（2021•娄底）如图，直线y＝x+b和y＝kx+4与x轴分别相交于点A（﹣4，0），点B（2，0），则解集为（　　）

A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4 C．x＞2 D．x＜﹣4或x＞2
【答案】A
【解答】解：∵当x＞﹣4时，y＝x+b＞0，
当x＜2时，y＝kx+4＞0，
∴解集为﹣4＜x＜2，
故选：A．
命题点4 一次函数与几何图形结合
24．（2021•重庆）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数y＝的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝
…
﹣
﹣
﹣
0

4
　　
0
　﹣　
　﹣　
　﹣　
…
（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的―条性质；
（3）已知函数y＝﹣x+3的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式﹣x+3＞的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）

【答案】（1）略 （2） 略 （3）x＜﹣0.3或1＜x＜2．
【解答】解：（1）把下表补充完整如下：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝
…
﹣
﹣
﹣
0

4

0
﹣
﹣

…
函数y＝的图象如图所示：

（2）①该函数图象是轴对称图形，对称轴是y轴；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值，当x＝0时，函数取得最大值4；
③当x＜0时，y随x的增大而增大：当x＞0时，y随x的增大而减小（以上三条性质写出一条即可）；
（3）由图象可知，不等式﹣x+3＞的解集为x＜﹣0.3或1＜x＜2．
25．（2020•广西）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，点A是直线l2上的动点，过点A作AB⊥l1于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A的纵坐标为t，△ABC的面积为s．
（1）当t＝2时，请直接写出点B的坐标；
（2）s关于t的函数解析式为s＝，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出a与b的值；
（3）在l2上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）B（﹣，） （2）a＝﹣ （3）①A（﹣2，1），S△ABC＝②A（﹣2，3），S△ABC＝2．
【解答】解：（1）解法一：如图1，连接AG，

当t＝2时，A（﹣2，2），
设B（x，x+1），
在y＝x+1中，当x＝0时，y＝1，
∴G（0，1），
∵AB⊥l1，
∴∠ABG＝90°，
∴AB2+BG2＝AG2，
即（x+2）2+（x+1﹣2）2+x2+（x+1﹣1）2＝（﹣2）2+（2﹣1）2，
解得：x1＝0（舍），x2＝﹣，
∴B（﹣，）；
解法二：如图1﹣1，过点B作BE⊥x轴于E，过点A作AH⊥BE于H，

当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x+1＝0，则x＝﹣1，
∴OF＝OG＝1，
∵∠GOF＝90°，
∴∠OGF＝∠OFG＝45°，
∴BE＝EF，
∵∠ABD＝90°，
∴∠ABH＝∠BAH＝45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AH＝BH，
当t＝2时，A（﹣2，2），
设B（x，x+1），
∴x+2＝2﹣（x+1），
∴x＝﹣，
∴B（﹣，）；
（2）如图2可知：当t＝7时，s＝4，

把（7，4）代入s＝中得：+7b﹣＝4，
解得：b＝﹣1，
如图3，过B作BH∥y轴，交AC于H，

由（1）知：当t＝2时，A（﹣2，2），B（﹣，），
∵C（0，3），
设AC的解析式为：y＝kx+n，
则，解得，
∴AC的解析式为：y＝x+3，
∴H（﹣，），
∴BH＝﹣＝，
∴s＝＝＝，
把（2，）代入s＝a（t+1）（t﹣5）得：a（2+1）（2﹣5）＝，
解得：a＝﹣；
（3）存在，设B（x，x+1），
分两种情况：
①当∠CAB＝90°时，如图4，

∵AB⊥l1，
∴AC∥l1，
∵l1：y＝x+1，C（0，3），
∴AC：y＝x+3，
∴A（﹣2，1），
∵D（﹣2，﹣1），
在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，
即（x+2）2+（x+1﹣1）2+（x+2）2+（x+1+1）2＝22，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2（舍），
∴B（﹣1，0），即B在x轴上，
∴AB＝＝，AC＝＝2，
∴S△ABC＝＝＝2；
②当∠ACB＝90°时，如图5，

∵∠ABD＝90°，∠ADB＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，
∵A（﹣2，t），D（﹣2，﹣1），
∴（x+2）2+（x+1﹣t）2＝（x+2）2+（x+1+1）2，
（x+1﹣t）2＝（x+2）2，
x+1﹣t＝x+2或x+1﹣t＝﹣x﹣2，
解得：t＝﹣1（舍）或t＝2x+3，
Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，
即（﹣2）2+（t﹣3）2+x2+（x+1﹣3）2＝（x+2）2+（x+1﹣t）2，
把t＝2x+3代入得：x2﹣3x＝0，
解得：x＝0或3，
当x＝3时，如图5，则t＝2×3+3＝9，
∴A（﹣2，9），B（3，4），
∴AC＝＝2，BC＝＝，
∴S△ABC＝＝＝10；
当x＝0时，如图6，

此时，A（﹣2，3），AC＝2，BC＝2，
∴S△ABC＝＝＝2．
命题点5 一次函数的实际应用
类型一 行程问题
26．（2021•陕西）某物流公司的一辆货车A从乙地出发运送货物至甲地，1小时后，这家公司的一辆货车B从甲地出发送货至乙地．货车A、货车B距甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的关系如图所示．
（1）求货车B距甲地的距离y与时间x的关系式；
（2）求货车B到乙地后，货车A还需多长时间到达甲地．


【答案】（1）y＝60x﹣60（1≤x≤5） （2）1小时
【解答】解：（1）设货车B距甲地的距离y与时间x的关系式为y＝kx+b，
根据题意得：
，
解得，
∴货车B距甲地的距离y与时间x的关系式为y＝60x﹣60（1≤x≤5）；
（2）当x＝3时，y＝60×3﹣60＝120，
故货车A的速度为：（240﹣120）÷3＝40（km/h），
货车A到达甲地所需时间为：240÷40＝6（小时），
6﹣5＝1（小时），
答：货车B到乙地后，货车A还需1小时到达甲地．
27．（2021•兰州）小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：
（1）观光车出发 　6　分钟追上小军；
（2）求l2所在直线对应的函数表达式；
（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．

【答案】（1）6 （2）y＝300x﹣4500（15≤x≤25）（3）早8分钟
【解答】解：（1）由图象可知，观光车出发：21﹣15＝6（分钟），追上小军；
故答案为：6；
（2）设l2所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b，
则，
解得，
15+3000÷300＝25（min），
∴l2所在直线对应的函数表达式为y＝300x﹣4500（15≤x≤25）；
（3）33﹣25＝8（min），
故观光车比小军早8分钟到达观景点．

28．（2021•牡丹江）在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，男男从A地跑步到C地，同时乐乐从B地跑步到A地，休息1分钟后接到通知，要求乐乐比男男早1分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是男男跑步时间t（分钟）与两人距A地路程s（米）之间的函数图象．
（1）a＝　　，乐乐去A地的速度为 　 　；
（2）结合图象，求出乐乐从A地到C地的函数解析式（写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两人距B地的距离相等的时间．

【答案】（1） 2，200米/分钟 （2）s＝300t﹣900（3＜t≤7）
（3）分钟或分钟或6分钟
【解答】解：（1）由函数图象得B地跑步到A地的路程是400米，
∵乐乐从B地跑步到A地，休息1分钟后接到通知，
∴a＝3﹣1＝2，
∴乐乐去A地的速度为：400÷2＝200（米/分钟），
故答案为：2，200米/分钟；
（2）设FG的解析式为：s＝kt+b（k≠0），
∵s＝kt+b（k≠0）的图象过点F（3，0）、G（7，1200），
∴，
解得：，
∴FG的解析式为：s＝300t﹣900（3＜t≤7），
即乐乐从A地到C地的函数解析式：s＝300t﹣900（3＜t≤7）；
（3）设OH的解析式为：s＝kt（k≠0），
∵s＝kt（k≠0）的图象过点H（8，1200），
∴1200＝8k，解得：k＝150，
∴OH的解析式为：s＝150t（0≤t≤8），
即男男从A地到C地的函数解析式：s＝150t，
①0≤t≤2时，
200t＝400﹣150t，
解得：t＝；
②2＜t≤3时，
400＝150t﹣400，
解得：t＝＞3，舍去；
③3＜t≤7时，
400﹣（300t﹣900）＝150t﹣400或（300t﹣900）﹣400＝150t﹣400，
解得：t＝或t＝6，
综上，两人距B地的距离相等的时间为分钟或分钟或6分钟．
29．（2021•陕西）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”、“猫”距起点的距离y（m）与时间x（min）之间的关系如图所示．
（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是 　　m/min；
（2）求AB的函数表达式；
（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．

【答案】（1）1 （2）分钟或分钟或6分钟 （3）13.5min
【解答】解：（1）由图象知：“鼠”6min跑了30m，
∴“鼠”的速度为：30÷6＝5（m/min），
“猫”5min跑了30m，
∴“猫”的速度为：30÷5＝6（m/min），
∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1（m/min），
故答案为：1；
（2）设AB的解析式为：y＝kx+b，
∵图象经过A（7，30）和B（10，18），
把点A和点B坐标代入函数解析式得：
，
解得：，
∴AB的解析式为：y＝﹣4x+58；
（3）令y＝0，则﹣4x+58＝0，
∴x＝14.5，
∵“猫”比“鼠”迟一分钟出发，
∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为14.5﹣1＝13.5（min）．
答：“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为13.5min．

类型二 方案问题
考向1 方案设计问题
30．（2021•西宁）城乡学校集团化办学已成为西宁教育的一张名片．“五四”期间，西宁市某集团校计划组织乡村学校初二年级200名师生到集团总校共同举办“十四岁集体生日”．现需租用A，B两种型号的客车共10辆，两种型号客车的载客量（不包括司机）和租金信息如表：
型号
载客量（人/辆）
租金单价（元/辆）
A
16
900
B
22
1200
若设租用A型客车x辆，租车总费用为y元．
（1）请写出y与x的函数关系式（不要求写自变量取值范围）；
（2）据资金预算，本次租车总费用不超过11800元，则A型客车至少需租几辆？
（3）在（2）的条件下，要保证全体师生都有座位，问有哪几种租车方案？请选出最省钱的租车方案．
【答案】（1）y＝﹣300x+12000 （2）至少需租1辆 （3）最省钱的租车方案是A型客车租3辆，B型客车租7辆
【解答】解：（1）y＝900x+1200（10﹣x）＝﹣300x+12000，
∴y＝﹣300x+12000；
（2）根据题意，得﹣300x+12000≤11800，
解得：x≥，
∵x应为正整数，
∴x≥1，
∴A型客车至少需租1辆；
（3）根据题意，得16x+22（10﹣x）≥200，
解得x≤，
结合（2）的条件，≤x≤，
∵x应为正整数，
∴x取1，2，3，
∴租车方案有3种，
方案一：A型客车租1辆，B型客车租9辆；
方案二：A型客车租2辆，B型客车租8辆；
方案三：A型客车租3辆，B型客车租7辆；
∵y＝﹣300x+12000，k＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝3时，函数值y最小，
∴最省钱的租车方案是A型客车租3辆，B型客车租7辆．
31．（2021•南通）A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：
A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；
B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折．
例如，一次购物的商品原价为500元，
去A超市的购物金额为：300×0.9+（500﹣300）×0.7＝410（元）；
去B超市的购物金额为：100+（500﹣100）×0.8＝420（元）．
（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式；
（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由．
【答案】（1）
（2）当200＜x＜400到B超市更省钱；当x＝400时，两家超市一样；当x＞400时，到A超市更省钱
【解答】解：（1）由题意可得，当x≤300时，yA＝0.9x；当x＞300时，yA＝0.9×300+0.7（x﹣300）＝0.7x+60，
故；
当x＞100时，yB＝100+0.8（x﹣100）＝0.8x+20；
；
（2）由题意，得0.9x＞0.8x+20，解得x＞200，
∴200＜x≤300时，到B超市更省钱；
0.7x+60＞0.8x+20，解得x＜400，
∴300＜x＜400，到B超市更省钱；
0.7x+60＝0.8x+20，解得x＝400，
∴当x＝400时，两家超市一样；
0.7x+60＜0.8x+20，解得x＞400，
∴当x＞400时，到A超市更省钱；
综上所述，当200＜x＜400到B超市更省钱；当x＝400时，两家超市一样；当x＞400时，到A超市更省钱．


32．（2021•河南）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：
类别
价格
A款玩偶
B款玩偶
进货价（元/个）
40
30
销售价（元/个）
56
45
（1）第一次小李用1100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．
（2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
（3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？
（注：利润率＝×100%）
【答案】（1） A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个 （2）A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元；
（3）第二次的进货方案更合算．
【解答】解：（1）设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进（30﹣x）个，
由题意，得40x+30（30﹣x）＝1100，
解得：x＝20．
30﹣20＝10（个）．
答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个；
（2）设A款玩偶购进a个，B款玩偶购进（30﹣a）个，获利y元，
由题意，得y＝（56﹣40）a+（45﹣30）（30﹣a）＝a+450．
∵A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．
∴a≤（30﹣a），
∴a≤10，
∵y＝a+450．
∴k＝1＞0，
∴y随a的增大而增大．
∴a＝10时，y最大＝460元．
∴B款玩偶为：30﹣10＝20（个）．
答：按照A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元；
（3）第一次的利润率＝×100%≈42.7%，
第二次的利润率＝×100%＝46%，
∵46%＞42.7%，
∴对于小李来说第二次的进货方案更合算．
考向2 方案选取问题
33．（2021•云南）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线l1，射线l2分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资y1（单位：元）和y2（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（x≥0）的函数关系．
（1）分别求y1、y2与x的函数解析式（解析式也称表达式）；
（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？

【答案】（1）y1＝30x（x≥0）；y2＝10x+800（x≥0）
（2）方案一给这名销售人员付3月份的工资
【解答】解：（1）设y1＝k1x，
根据题意得40k1＝1200，
解得k1＝30，
∴y1＝30x（x≥0）；
设y2＝k2x+b，
根据题意，得，
解得，
∴y2＝10x+800（x≥0）；
（2）当x＝70时，
y1＝30×70＝2100＞2000；
y2＝10×70+800＝1500＜2000；
∴这个公司采用了方案一给这名销售人员付3月份的工资．
类型三 费用或利润最值问题
34．（2021•温州）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．
营养品信息表
营养成分
每千克含铁42毫克
配料表
原料
每千克含铁
甲食材
50毫克
乙食材
10毫克
规格
每包食材含量
每包单价
A包装
1千克
45元
B包装
0.25千克
12元
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？
【答案】（1） 甲食材每千克进价为40元，乙食材每千克进价为20元；
（2） ①甲食材400千克，乙食材100千克
②当A为400包时，总利润最大，最大总利润为2800元
【解答】解：（1）设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元，
由题意得，
解得a＝20，
经检验，a＝20是所列方程的根，且符合题意，
∴2a＝40（元），
答：甲食材每千克进价为40元，乙食材每千克进价为20元；
（2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，
由题意得，解得，
答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；
②设A为m包，则B为＝（2000﹣4m）包，
∵A的数量不低于B的数量，
∴m≥2000﹣4m，
∴m≥400，
设总利润为W元，根据题意得：
W＝45m+12（2000﹣4m）﹣18000﹣2000＝﹣3m+4000，
∵k＝﹣3＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m＝400时，W的最大值为2800，
答：当A为400包时，总利润最大，最大总利润为2800元．





其他类型
35．（2021•绍兴）Ⅰ号无人机从海拔10m处出发，以10m/min的速度匀速上升，Ⅱ号无人机从海拔30m处同时出发，以a（m/min）的速度匀速上升，经过5min两架无人机位于同一海拔高度b（m）．无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系如图．两架无人机都上升了15min．
（1）求b的值及Ⅱ号无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系式；
（2）问无人机上升了多少时间，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米．

【答案】（1） y＝6x+30（0≤x≤15）
（2）上升12min，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米
【解答】解：（1）b＝10+10×5＝60，
设函数的表达式为y＝kx+t，
将（0，30）、（5，60）代入上式得，解得，
故函数表达式为y＝6x+30（0≤x≤15）；

（2）由题意得：（10x+10）﹣（6x+30）＝28，
解得x＝12＜15，
故无人机上升12min，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米．
36．（2021•大庆）如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度y（cm）与注水时间x（min）之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题：
（1）图②中折线EDC表示 　　槽中水的深度与注水时间之间的关系；线段AB表示 　甲　槽中水的深度与注水时间之间的关系；铁块的高度为 　　cm．
（2）注水多长时间，甲、乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程）

【答案】（1） 乙，甲，16 （2）注水2分钟，甲、乙两个水槽的水深度相同
【解答】解：（1）由题意可知，乙槽在注入水的过程中，由于有圆柱铁块在内，所以水的高度出现变化，
∴EDC表示的是乙槽的水深与注水时间的关系；
∵甲槽的水是匀速外倒，
∴线段AB表示甲槽水深与注水时间的关系；
折线EDC中，在D点表示乙槽水深16cm，也就是铁块的高度16cm；
故答案为：乙，甲，16；
（2）由图象可知，两个水槽深度相同时，线段ED与线段AB相交，
设AB的解析式为y＝kx+b，
将点（0，14），（7，0）代入，
得解得，，
∴y＝﹣2x+14；
设ED的解析式为y＝mx+n，
将点（0，4），（4，16）代入，
得，解得，
∴y＝3x+4；
联立方程，
∴，
∴注水2分钟，甲、乙两个水槽的水深度相同．