初中数学华师大版九年级下册第27章 圆27.2 与圆有关的位置关系1. 点和圆的位置关系优质课ppt课件

教学目标

1.了解点和圆的三种位置关系，掌握点到圆心的距离与半径之间的关系.

2.掌握“不在同一条直线上的三点确定一个圆”，并能作出这个圆.

3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.

教学重难点

重点：掌握点到圆心的距离与半径之间的关系.

难点：理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆及其运用.

教学过程

导入新课

【问题情境】观察下列图片.是一个小朋友玩飞镖游戏时在靶子上留下的小孔，这些小孔和这些同心圆是什么关系呢？

【思考】在这个图中有哪些图形？(点、圆)

这个图形体现了平面上的点与圆的位置关系，今天这节课我们就来研究这个问题．

探究新知

1.点和圆的位置关系

【问题】观察下图中点与圆的位置关系有哪几种？

师生活动：小组合作交流，小组代表发言，教师适当点拨.

【归纳总结】

点与圆的位置关系有三种：点在圆内（如点B），点在圆上（如点C），点在圆外（如点A）.

【探究】如何用数量关系来表示点与圆的位置关系呢？

师生活动：小组合作交流，小组代表发言，教师适当点拨.

先画图表示点与圆的三种位置关系，再探究以下问题：

(1)在你画出的三幅图中，分别测量点到圆心的距离与圆的半径r的大小进行比较．

(2)点与圆的三种位置关系所对应的d与r之间的数量关系.

通过测量，我们得出结果：

点在圆上： d= r；

点在圆内： d r；

点在圆外： d r．

教师总结：我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径，如果点在圆上，那么这个点到圆心的距离等于半径；如果点在圆内，那么这个点到圆心的距离小于半径；如果点在圆外，那么这个点到圆心的距离大于半径.

(3)如果圆的半径r与点到圆心的距离d的关系分别是：d= r，d r，d r，请分别指出点与圆的位置关系．

d= r：点在圆上；

d r：点在圆内；

d r：点在圆外.

教师总结：我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径，如果点到圆心的距离等于半径，那么这个点在圆上；如果点到圆心的距离小于半径，那么这个点在圆内；如果点到圆心的距离大于半径，那么这个点在圆外.

师生活动：学生总结，教师点评.

【归纳总结】设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：

(1)点P在⊙O上⇔d= r；

(2)点P在⊙O内⇔d< r；

(3)点P在⊙O外⇔d r.

注：“⇔”读作“等价于”，它表示从符号的左边可以推出右边，从右边可以推出左边 .

【新知应用】

例1　画出由所有到已知点O的距离大于或等于2 cm并且小于或等于3 cm的点组成的图形.

师生活动：学生动手画图，教师巡视，个别指导.

【解】如图所示，阴影部分就是所求图形.

2.过不在同一条直线上的三个点作一个圆

【问题情境1】平面上有一点A，经过已知点A的圆有几个？圆心在哪里？

师生活动：学生动手操作，教师点拨.

【解】

【归纳总结】能画出无数个圆，圆心为点A以外任意一点，半径为圆心与点A之间的距离.

【问题情境2】过两个点能不能确定一个圆?

师生活动：学生动手操作，讨论交流，教师适时指导.

【解】

【归纳总结】能画出无数个圆，圆心都在线段AB的垂直平分线上.

【问题情境3】经过不在同一条直线上的三点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作的圆心？

师生活动：教师适时引导分析，学生在教师的引导下，思考动手画图，再抽一名学生口述作图过程，教师再在黑板上板书尺规作图细节.

【作法】

（1）连结AB，BC；

（2）分别作AB，BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O.点O就是所求圆的圆心.

【归纳总结】不在同一条直线上的三个点确定一个圆.

3.三角形的外接圆与外心

（1）经过三角形（△ABC）的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.这个三角形叫做这个圆内接三角形.

（2）三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点.

例2　分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.

师生活动：学生动手画图，仔细观察图形，发现规律，教师适时点拨.

【归纳总结】

（1）锐角三角形的外心位于三角形内.

（2）直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点处.

（3）钝角三角形的外心位于三角形外.

【新知应用】

例3　如图，⊙O的半径r＝10，圆心O到直线l的距离OD＝6，在直线l上有A，B，C三点，AD＝6，BD＝8，CD＝5，问A，B，C三点与⊙O的位置关系如何？

师生活动：(引发学生思考)判断点与圆的位置关系的关键是判断点到圆心的距离与半径大小之间的大小关系.

【解】∵OA＝＝6<10，∴点A在⊙O内.

∵OB＝＝10，∴点B在⊙O上.

∵OC＝＝＞10，∴点C在⊙O外.

【归纳总结】(学生总结，老师点评)判断点与圆的位置关系的关键是比较点到圆心的距离与半径的大小.同时注意垂径定理和勾股定理的应用.

【拓展延伸】

例4　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CB＝8，AD是△ABC的角平分线，过A，D，C三点的圆与斜边AB交于点E，连结DE.

(1)求证：AC＝AE.

(2)求△ACD外接圆的直径.

师生活动：(引发学生思考)证明线段相等的方法有哪些？结合图形，适合用哪种方法？看到∠ACB＝90°，结合图形能得到哪些结论？对于求直径又该使用哪种方法？

 (1)【证明】∵∠ACB＝90°，且∠ACB为⊙O的圆周角，∴AD为⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∴∠ACB＝∠AED.

∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠EAD，∴CD＝DE.

在Rt△ACD与Rt△AED中，

∴ Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AC＝AE.

(2) 【解】∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10.

由(1)得，∠AED＝∠BED＝90°.

设CD＝DE＝x，则DB＝BC－CD＝8－x，EB＝AB－AE＝10－6＝4.

在Rt△BED中，根据勾股定理，得BD2＝BE2＋ED2，即(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3，∴CD＝3.

∵AC＝6，∴AD2＝AC2＋CD2＝62＋32＝45，∴AD＝3.

【归纳总结】(学生总结，老师点评)全等三角形的对应边相等是常用的证明线段相等的一种方法；利用三角形的外接圆的性质和勾股定理，直角三角形的外接圆直径大小就是直角三角形的斜边长.

课堂小结

学生独立总结，教师补充.

1.点和圆的位置关系；

2.过不在同一条直线上的三个点确定一个圆；

3.三角形的外接圆和外心.

布置作业

教材第48页练习第1，2题.

第55页习题27.2第1，2，3题.

板书设计

27.2 与圆有关的位置关系

1.点与圆的位置关系

1.点与圆的三种位置关系与对应的数量关系：

设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d,则有：

①点P在圆内d<r；②点P在圆上d＝r；③点P在圆外d>r.

2.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.

3.三角形的外接圆与外心.