重庆市中考数学一轮复习-专题04 分式（讲义）

2021年中考数学一轮专题复习
学案04 分式

中考命题说明


考点
课标要求
考查角度
1
分式的
概念
①了解分式的概念，明确分式与整式的区别，会确定使分式有意义的字母的取值范围；
②会求分式值为零时x的值．
考查分式的意义和分式值为零的情况．常以选择、填空题为主．
2
分式的
运算
①掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分；②能熟练地进行分式的加、减、乘、除运算及混合运算，并能解决相关的化简求值问题．
考查分式的基本性质和分式的运算．
常以选择、填空题、解答题的形式命题．

思维导图



知识点1：分式的相关概念

知识点梳理


1．分式：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．
三个条件缺一不可：①是形如的式子；②A，B为整式；③分母B中含有字母．
特别说明：也可以表示为(a-1)÷(a+1)，但(a-1)÷(a+1)不是分式，因为它不符合的形式．
判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，而只需看原式的本来“面目”是否符合分式的定义，与分子中的字母无关．比如，就是分式．
2．有意义的条件：
分母B的值不为 零 (B≠0) .
3.分式的值为零的条件：
当分子为 零 ，且分母不为零时，分式的值为零．(A=0且B≠0)
典型例题

【例1】下列式子是分式的是（ ）
A. 　 　B.　　 C. 　　 D.
【考点】分式的定义．
【分析】根据分式的定义逐项判断即可.
【答案】B
【例2】（2020•北京9/28）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
【考点】分式有意义的条件．
【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：若代数式有意义，
则x﹣7≠0，
解得：x≠7．
故答案为：x≠7．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
【例3】（2019•北京市9/28）分式的值为0，则x的值是 ．
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣1＝0且x≠0，易得x＝1．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x﹣1＝0且x≠0，
∴x＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．
知识点2：分式的基本性质

知识点梳理


1．分式的基本性质：， (M为不等于零的整式)．
2．约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
3．最简分式：分子与分母没有 公因式 的分式叫做最简分式．
4．通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式 相等 的同分母的分式，叫做分式的通分． 
5. 最简公分母：几个分式中，各分母的所有因式的最高次幂的积．
6. 变号法则： ．
典型例题

【例4】（2020•河北7/26）若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】分式的基本性质
【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵a≠b，
∴，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【例5】若把分式（x，y均不为0）中的x和y都扩大3倍，则原分式的值是（　　）
A．扩大3倍 B．缩小至原来的
C．不变 D．缩小至原来的
【分析】若把分式（x，y均不为0）中的x和y都扩大3倍，则分子扩大了3×3＝9倍，分母的x和y均扩大3倍，可用提取公因数法将3提到前面，9÷3＝3，故原分式的值扩大了3倍．故选A．
【答案】A．
【例6】下列分式变形中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】A、无法约分，此项不符合题意；
B、无法约分，此项不符合题意；
C、当m=0是，此时不成立，此项不符合题意；
D、，此项符合题意.
故答案为：D.
【答案】D.
【例7】约分： =（　　）
A． B． C． D．
【分析】==.故答案为B.
【答案】B.
【例8】已知两个分式：，，其中x≠±2，则A与B的关系是(　　)
A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．A大于B
【分析】，
，
故A＝-B.
【答案】C．
知识点3：分式的运算

知识点梳理


1．分式的乘除法：
（1）乘法法则：
（2）除法法则：÷＝·＝.(bcd≠0) 
2．分式的加减法：
（1）同分母分式相加减： (c≠0) 
（2）异分母分式相加减：±＝.(bd≠0)
3. 分式的乘方：. (n为整数，b≠0) 
4.分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算，如果有括号，先算括号里面的．
①实数的各种运算律也适用于分式的运算；②分式运算的结果要化成最简分式或整式．
典型例题

【例9】（2020•天津9/25）计算的结果是（ ）
A． B． C．1 D．x+1
【考点】分式的加减法
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的加减法，正确化简分式是解题关键．
【例10】（2020•重庆A卷19（2）/26）计算：．
【考点】分式的混合运算
【分析】先计算括号内的减法，再计算除法，注意约分和因式分解．
【解答】解：


．
【点评】考查分式的四则混合运算，掌握计算法则和因式分解是正确计算的前提．
【例11】（2020•安徽17/23）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：．
第5个等式：．

按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【考点】规律型：数字的变化类；列代数式
【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；
（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．
【解答】解：（1）第6个等式：；
（2）猜想的第n个等式：．
证明：∵左边右边，
∴等式成立．
故答案为：；．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．
知识点4：分式的化简求值

知识点梳理


1.分式的化简求值：分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0．灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式．化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义．
2.分式的自选代值：分式的化简求值题型中，自选代值多会设“陷阱”，因此代值时要注意：当分式运算中不含除法运算时，自选字母的值要使原分式的分母不为0；当分式运算中含有除法运算时，自选字母的值不仅要使原分式的分母不为0，还要使除式不为0．
典型例题

【例12】（2020•青海22/28）化简求值：；其中a2-a-1=0．
【考点】分式的化简求值
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解后约分得到原式，然后把a2=a+1代入计算即可．
【解答】解：原式

，
∵a2-a-1=0．
∴a2=a+1，
∴原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【例13】（2020•赤峰19/26）先化简，再求值： ，其中m满足：m2﹣m﹣1＝0．
【考点】分式的化简求值．有
【答案】1．
【分析】根据分式乘除法则和减法法则化简原式，再将已知方程变形为m2＝m+1，最后代入求值便可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
∵m2﹣m﹣1＝0，
∴m2＝m+1，
∴原式＝．
【点评】本题主要考查分式乘除法则和减法法则，求代数式的值，考查了整体代入思想，关键是熟练掌握分式混合运算的顺序和运算法则，解题技巧是将已知方程变形，巧用整体代入思想可快速求值．
【例14】（2019·通辽19/26）先化简，再求值．
，请从不等式组的整数解中选择一个你喜欢的求值．
【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．
【分析】根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后由不等式组，可以求得x的取值范围，再从中选取一个使得原分式有意义的整数x代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
由不等式组，得﹣3＜x≤2，
∴当x＝2时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
【例15】（2019·河北省13/26）如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　）

A．段① B．段② C．段③ D．段④
【考点】分式的加减法，化简求值．
【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案．
【解答】解：∵﹣＝﹣＝1﹣＝
又∵x为正整数，
∴≤＜1
故表示﹣的值的点落在②
故选：B．
【点评】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．
巩固训练

1.如果分式有意义，那么x的取值范围是 ．
2.当分式有意义时，x的取值范围为 ．　
3.已知分式，当x＝2时，分式无意义，则a＝ ____．
4.如果分式的值为0，则x的值应为____________．
5.化简：= ．
6.（2020•呼和浩特3/24）下列运算正确的是　　
A．
B．
C．
D．
7.（2020•包头4/26）下列计算结果正确的是（　　）
A．（a3）2＝a5 B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2
C．1+＝ D．a÷b•＝
8.（2020•重庆B卷19（2）/26）计算：．
9.（2019·安徽省18/23）观察以下等式：
第1个等式：＝+，
第2个等式：＝+，
第3个等式：＝+，
第4个等式：＝+，
第5个等式：＝+，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
10.一组按规律排列的式子：－，，－，，………，(ab≠0)，其中第7个式子是 ，第n个式子是 (n为正整数)．
11.（2019·天津市7/25）计算+的结果是（　　）
A．2 B．2a+2 C．1 D．
12.（2019·重庆市19（2）/26）计算：（a+）÷
13.下列运算中正确的是(　　)
A.－＝1 B.－＝ C.－＝a＋b D.－＝
14. (x－ )÷(1－)的结果是(　 　)
A. B．x－1 C. D.
15.（2020•山西16（2）/23）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．

第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第六步
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第　　步是进行分式的通分，通分的依据是　　．或填为：　　；
②第　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　；
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
16.（2020•兴安盟•呼伦贝尔19/26）先化简，再求值：，其中．
17.（2020•江西14/23）先化简，再求值：，其中．
18.（2020•福建19/25）先化简，再求值：，其中．
19.（2020•宁夏19/26）先化简，再求值：，其中．
20.（2020•河南16/23）先化简，再求值：，其中．
21.（2019•呼伦贝尔•兴安盟19/26）先化简，再求值：，其中．
22.（2019•包头15/26）化简：1﹣÷＝　 　．
23.（2019•鄂尔多斯17（1）/24）先化简：+÷，再从﹣1≤x≤3的整数中选取一个你喜欢的x的值代入求值．
24.（2019·北京市6/28）如果m+n＝1，那么代数式（+）• （m2﹣n2）的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
25.先化简，再求值：·(1－)，其中a＝－3.
巩固训练解析

1.如果分式有意义，那么x的取值范围是 ．
【答案】
【考点】分式的意义．
【解答】由分式的意义，知：，所以，
2.当分式有意义时，x的取值范围为 ．　
【考点】分式有意义的条件．2
【分析】分式有意义，分母x﹣2≠0，易求x的取值范围．
【解答】解：当分母x﹣2≠0，即x≠2时，分式有意义．
故填：x≠2．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
3.已知分式，当x＝2时，分式无意义，则a＝ ____．
【分析】当x＝2时，分式无意义，说明分母为0，即22-5×2+a=0，解得a=6.
【答案】6.
4.如果分式的值为0，则x的值应为____________．
【分析】要使分式的值为0，则分子为0，且同时分母不为0.列式子为：3x2-27=0且x-3≠0.解得x＝－3.
【答案】－3.
5.化简：= ．
【考点】约分．.
【分析】将分母分解因式，然后再约分、化简．
【解答】解：原式==．
【点评】利用分式的性质变形时必须注意所乘的（或所除的）整式不为零．
6.（2020•呼和浩特3/24）下列运算正确的是　　
A．
B．
C．
D．
【考点】幂的乘方与积的乘方；分式的混合运算；二次根式的乘除法；完全平方公式
【分析】分别根据二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则判断即可．
【解答】解：A、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、


，故选项正确；
D、，故选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则，解题的关键是学会计算，掌握运算法则．
7.（2020•包头4/26）下列计算结果正确的是（　　）
A．（a3）2＝a5 B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2
C．1+＝ D．a÷b•＝
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；分式的混合运算．
【答案】D
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝a6，不符合题意；
B、原式＝（﹣bc）2＝b2c2，不符合题意；
C、原式＝，不符合题意；
D、原式＝，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了分式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8.（2020•重庆B卷19（2）/26）计算：．
【考点】分式的混合运算
【分析】根据分式的四则计算的法则进行计算即可，
【解答】解：，
，
，
．
【点评】本题考查分式的四则运算，掌握计算法则是正确计算的前提．
9.（2019·安徽省18/23）观察以下等式：
第1个等式：＝+，
第2个等式：＝+，
第3个等式：＝+，
第4个等式：＝+，
第5个等式：＝+，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】（1）根据已知等式即可得；
（2）根据已知等式得出规律＝+，再利用分式的混合运算法则验证即可．
【解答】解：（1）第6个等式为：＝+，
故答案为：＝+；
（2）＝+
证明：∵右边＝+==＝左边．
∴等式成立，
故答案为：＝+．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出＝+的规律，并熟练加以运用．
10.一组按规律排列的式子：－，，－，，………，(ab≠0)，其中第7个式子是 ，第n个式子是 (n为正整数)．
【分析】分式前符号一正一负交替；分母的指数1，2，3，以此类推；分子的指数2，5，8依次比前一个指数大3，根据此规律推出第7个式子和第n个式子.
【答案】－； (－1)n.
11.（2019·天津市7/25）计算+的结果是（　　）
A．2 B．2a+2 C．1 D．
【考点】分式的加减法．
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12.（2019·重庆市19（2）/26）计算：（a+）÷
【考点】分式的混合运算．
【分析】根据分式的加法和除法可以解答本题．
【解答】解：（a+）÷
＝·
＝
＝
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
13.下列运算中正确的是(　　)
A.－＝1 B.－＝ C.－＝a＋b D.－＝
【分析】A、原式==，此项错误；
B、原式==，此项错误；
C、原式===＝a＋b，此项正确；
D、原式====，此项错误.
故答案为：C.
【答案】C.
14. (x－ )÷(1－)的结果是(　 　)
A. B．x－1 C. D.
【分析】原式=== x－1.
故答案为：B.
【答案】B.
15.（2020•山西16（2）/23）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．

第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第六步
任务一：填空：
① 以上化简步骤中，第　　步是进行分式的通分，通分的依据是　　．或填为：　　；
②第　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　；
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【考点】分式的混合运算
【分析】①根据分式的基本性质即可判断；
②根据分式的加减运算法则即可判断；
任务二：依据分式加减运算法则计算可得；
任务三：答案不唯一，只要合理即可．
【解答】解：①以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质．或填为：分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；
②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；
任务二：
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第六步；
任务三：答案不唯一，如：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；五；括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式的基本性质．
16.（2020•兴安盟•呼伦贝尔19/26）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．
【解答】解：原式
，
将代入得：原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
17.（2020•江西14/23）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
【解答】解：原式

，
当时，
原式．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18.（2020•福建19/25）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值
【分析】先把括号内通分，再计算括号内的减法运算和把除法运算化为乘法运算，然后把分母因式分解后进行约分得到原式，再把的值代入计算即可．
【解答】解：原式

，
当时，原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．
19.（2020•宁夏19/26）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式


当时，原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是选择正确的计算方法，对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．
20.（2020•河南16/23）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
【解答】解：

，
把代入．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21.（2019•呼伦贝尔•兴安盟19/26）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值
【分析】根据分式的加减法和乘法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：


，
当时，原式．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
22.（2019•包头15/26）化简：1﹣÷＝　 　．
【解答】解：1﹣÷＝1﹣•＝1﹣＝，
故答案为：．
23.（2019•鄂尔多斯17（1）/24）先化简：+÷，再从﹣1≤x≤3的整数中选取一个你喜欢的x的值代入求值．
【解答】解：（1）+÷
＝+·
＝+
＝，
当x＝3时，原式＝＝6；
24.（2019·北京市6/28）如果m+n＝1，那么代数式（+）• （m2﹣n2）的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【考点】分式的化简求值．
【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•（m+n）（m﹣n）＝•（m+n）（m﹣n）＝3（m+n），
当m+n＝1时，原式＝3．
故选：D．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25.先化简，再求值：·(1－)，其中a＝－3.
【分析】先根据分式的混合运算化简分式，再把a＝－3代入即可.
【答案】解：·(1－)＝·(－)