重庆市中考数学一轮复习-专题22 锐角三角函数（讲义）

2021年中考数学一轮专题复习
学案22 锐角三角函数

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
锐角三角函数
通过实例认识锐角三角函数，知道30°，45°，60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．
常以选择题、填空题的形式考查锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值的计算等．
2
解直角三角形
①会利用锐角三角函数解直角三角形；
②能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题．
常以选择题、填空题、解答题的形式考查运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题，以应用题为主．

知识点1： 锐角三角函数


知识点梳理

1. 锐角三角函数的定义：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b

正弦：．
余弦：．
余切：．
2. 几个重要公式：
设α是一个锐角，则sinα＝cos(90°－α)，cosα＝sin(90°－α)，sin2α＋cos2α＝1．
3. 特殊角的三角函数值：
α
sinα
cosα
tanα
30°



45°


1
60°



4. 锐角三角函数值的变化规律：
①当0°＜α＜90°时，sinα（tanα）随着角度的增大（减小）而 增大（减小） ．
②当0°＜α＜90°时，cosα随着角度的增大（减小）而 减小（增大） ．
典型例题

【例1】（2020•包头20/26）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE．若∠ADB＝30°，则tan∠DEC的值为 ．

【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点C作CF⊥BD于点F，设CD＝2，易证△ABE≌△CDF（AAS），从而可求出AE＝CF＝，BE＝FD＝1，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，设CD＝2，

在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，BE＝FD，
∵AE⊥BD，
∴∠ADB＝∠BAE＝30°，
∴AE＝CF＝，BE＝FD＝1，
∵∠BAE＝∠ADB＝30°，
∴BD＝2AB＝4，
∴EF＝4﹣2×1＝2，
∴tan∠DEC＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握含30°角直角三角形的性质是解题的关键．
【例2】（2020•天津2/25）2sin45°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】特殊角的三角函数值
【分析】根据解答即可．
【解答】解：．
故选：B．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．
【例3】（2020•北京17/28）计算：．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．有
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝5．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
知识点2： 解直角三角形


知识点梳理

1. 解直角三角形：在直角三角形中，由 已知元素 求 未知元素 的过程，叫做解直角三角形．
2. 解直角三角形的常用关系：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，则：

（1）三边关系：a2＋b2＝c2．
（2）两锐角关系：∠A＋∠B＝90°．
（3）边与角关系：，，．
（4）sin2A＋cos2A＝1．
3. 解直角三角形的应用常用知识：
（1）仰角和俯角：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
（2）坡度和坡角
坡度（坡比）：坡面的 铅直高度h 与 水平宽度l 的比，叫做坡度或坡比，一般用i表示．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα．
坡度越大，α角越大，坡面 越陡 ．
（3）方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．

典型例题

【例4】（2020•安徽8/23）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A．若AC=4，，则BD的长度为（ ）

A． B． C． D．4
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【分析】在△ABC中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由三角函数求得BD．
【解答】解：∵∠C=90°，AC=4，，
∴，
∴，
∵∠DBC=∠A．
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．
【例5】（2020•吉林20/26）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35 m的C处，用高1.5 m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1 m）．
（参考数据：sin36°=0.59，cos36°=0.81，tan36°=0.73）

【考点】解直角三角形的应用—仰角俯角问题
【分析】设AB与DE交于点F．在Rt△ADF中，利用三角函数定义求出AF，即可得出答案．
【解答】解：设AB与DE交于点F，如图所示：

由题意得：DF⊥AB，BE=CD=1.5 cm，DF=BC=35 cm，
在Rt△ADF中，∠AFD=90°，，
∴AF=DF×tan36°≈35×0.73=25.55（m），
∴AB=AF+BF=25.55+1.5≈27（m）；
答：塔AB的高度约27 m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．
【例6】（2020•重庆A卷9/26）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60 m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i=1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD=45 m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（ ）（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）

A．76.9 m B．82.1 m C．94.8 m D．112.6 m
【考点】解直角三角形的应用—仰角俯角问题；解直角三角形的应用—坡度坡角问题
【分析】构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出DE、EC、BE、DF、AF，进而求出AB．
【解答】解：如图，由题意得，∠ADF=28°，CD=45，BC=60，

在Rt△DEC中，
∵山坡CD的坡度i=1：0.75，
∴，
设DE=4x，则EC=3x，由勾股定理可得CD=5x，
又CD=45，即5x=45，
∴x=9，
∴EC=3x=27，DE=4x=36=FB，
∴BE=BC+EC=60+27=87=DF，
在Rt△ADF中，
AF=tan28°×DF≈0.53×87≈46.11，
∴AB=AF+FB=46.11+36≈82.1，
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形的边角关系，掌握坡比的意义和直角三角形的边角关系是正确计算的前提．
【例7】（2020•兴安盟•呼伦贝尔20/26）A，B两地间有一段笔直的高速铁路，长度为100 km．某时发生的地震对地面上以点C为圆心，30 km为半径的圆形区域内的建筑物有影响．分别从A，B两地处测得点C的方位角如图所示，tanα=1.776，tanβ=1.224．高速铁路是否会受到地震的影响？请通过计算说明理由．

【考点】解直角三角形的应用—方向角问题
【分析】首先过C作CD⊥AB于D，由题意得AD=CD·tanα，BD=CD·tanβ，继而可得CD·tanα+CD·tanβ=AB，则可求得CD的长，再进行比较，即可得出高速公路是否穿过地震区．
【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，

∴∠ACD=α，∠BCD=β，
∴，，
∴AD=CD·tanα，BD=CD·tanβ，
由AD+BD=AB，得CD·tanα+CD·tanβ=AB=100，
则，
∴高速公路不会受到地震影响．
【点评】此题考查了三角函数的实际应用，此题难度适中．注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．

巩固训练

1.（2020•鄂尔多斯12/24）计算：+﹣3tan60°+(π-)0＝ ．
2.（2020•青海21/28）计算：．
3.（2020•兴安盟•呼伦贝尔18/26）计算：．
4.（2020•赤峰11/26）如图，⊙A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B（﹣4，0），交y轴于点C（0，3），点D为第二象限内圆上一点．则∠CDO的正弦值是（　　）

A． B． C． D．
5.（2020•包头24/26）如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，直线l为⊙O的切线，A是切点，D是OA上一点，CD的延长线交直线l于点E，F是OB上一点，CF的延长线交⊙O于点G，连接AC，AG，已知⊙O的半径为3，CE＝，5BF﹣5AD＝4．
（I）求AE的长；
（2）求cos∠CAG的值及CG的长．

6.（2020•广东22/25）如图1，在四边形中，AD∥BC，，是⊙O的直径，平分．
（1）求证：直线与⊙O相切；
（2）如图2，记（1）中的切点为，为优弧上一点，，．求的值．

7.（2020•上海21/25）如图，在直角梯形中，AB∥DC，，，，．
（1）求梯形的面积；
（2）联结，求的正切值．

8.（2020•北京23/28）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC＝∠AOF；
（2）若sinC＝，BD＝8，求EF的长．

9.（2020•呼和浩特19/24）如图，一艘船由港沿北偏东方向航行到港，然后再沿北偏西方向航行至港，已知港在港北偏东方向．
（1）直接写出的度数；
（2）求、两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）

10.（2020•通辽19/26）从处看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，处与楼的水平距离为．若，，求这栋楼高．

11.（2020•包头22/26）如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地，当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一电视塔P．他由A地向正北方向骑行了3km到达B地，发现电视塔P在他北偏东75°方向，然后他由B地向北偏东15°方向骑行了6km到达C地．
（1）求A地与电视塔P的距离；
（2）求C地与电视塔P的距离．

12.（2020•鄂尔多斯20/24）图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形．为使身高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O，花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm，已知龙头手柄OA长为10cm，花洒直径AB是8cm，龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA＝26°，∠OAB＝146°，则安装时，旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？（计算结果精确到1cm，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）

13.（2020•赤峰16/26）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为 　米（结果保留根号）．

14.（2020•赤峰23/26）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，点P是⊙O上一点，且PA＝PC，PD∥AC，与BA的延长线交于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若tan∠PAC＝，AC＝12，求直径AB的长．

15.（2020•海南20/22）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车．某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图，隧道在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行，到达点处测得点的俯角为，继续飞行1500米到达点处，测得点的俯角为．
（1）填空： 度，　　度；
（2）求隧道的长度（结果精确到1米）．
（参考数据：，

16.（2020•山西21/23）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为．
（1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离（参考数据：，，；
（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．

17.（2020•青海24/28）某市为了加快网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点测得发射塔顶端点的仰角是，向前走60米到达点测得点的仰角是，测得发射塔底部点的仰角是．请你帮小军计算出信号发射塔的高度．（结果精确到0.1米，

18.（2020•天津22/25）如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接，．测得，，．根据测得的数据，求的长（结果取整数）．
参考数据：，，．

19.（2020•陕西20/25）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高．他俩在小明家的窗台处，测得商业大厦顶部的仰角的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在处测得商业大厦底部的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台处测得大厦底部的俯角的度数，竟然发现与恰好相等．已知，，三点共线，，，，，试求商业大厦的高．

20.（2020•江西20/23）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长，支撑板长，底座长．托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．（结果保留小数点后一位）
（1）若，，求点到直线的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．（参考数据：，，，，，，

21.（2020•福建21/25）如图，与⊙O相切于点，交⊙O于点，的延长线交⊙O于点，是上不与，重合的点，．
（1）求的大小；
（2）若⊙O的半径为3，点在的延长线上，且，求证：与⊙O相切．

22.（2020•重庆B卷9/26）如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边点处，某测量员从山脚点出发沿水平方向前行78米到点（点，，在同一直线上），再沿斜坡方向前行78米到点（点，，，，在同一平面内），在点处测得信号塔顶端的仰角为，悬崖的高为144.5米，斜坡的坡度（或坡比），则信号塔的高度约为　　
（参考数据：，，

A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
23.（2020•新疆兵团20/23）如图，为测量建筑物的高度，在点测得建筑物顶部点的仰角为，再向建筑物前进30米到达点，测得建筑物顶部点的仰角为，，三点在一条直线上），求建筑物的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，，，

24.（2020•新疆兵团22/23）如图，在⊙O中，为⊙O的直径，为⊙O上一点，是的中点，过点作的垂线，交的延长线于点．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求的长．

25.（2020•河南18/23）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得观星台最高点的仰角为，然后沿方向前进到达点处，测得点的仰角为．测角仪的高度为．
（1）求观星台最高点距离地面的高度（结果精确到．参考数据：，，，；
（2）“景点简介”显示，观星台的高度为．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
26.（2020•安徽18/23）如图，山顶上有一个信号塔，已知信号塔高米，在山脚下点处测得塔底的仰角，塔顶的仰角，求山高（点，，在同一条竖直线上）．
（参考数据：，，．

巩固训练解析

1.（2020•鄂尔多斯12/24）计算：+﹣3tan60°+(π-)0＝　10　．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+9﹣3+1
＝10．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
2.（2020•青海21/28）计算：．
【考点】特殊角的三角函数值；负整数指数幂；实数的运算；零指数幂
【分析】利用负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数，开立方的运算法则运算即可．
【解答】解：原式

．
【点评】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数，开立方的运算法则，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
3.（2020•兴安盟•呼伦贝尔18/26）计算：．
【考点】特殊角的三角函数值；负整数指数幂；实数的运算；零指数幂
【分析】先化简各项，再作加减法，即可计算．
【解答】解：原式
，
故答案为：0．
【点评】此题考查实数的混合运算以及特殊角的三角函数值，关键是掌握运算法则和运算顺序．
4.（2020•赤峰11/26）如图，⊙A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B（﹣4，0），交y轴于点C（0，3），点D为第二象限内圆上一点．则∠CDO的正弦值是（　　）

A． B． C． D．
【考点】坐标与图形性质；圆周角定理；解直角三角形．有
【答案】A
【分析】连接BC，如图，先利用勾股定理计算出BC＝5，再根据正弦的定义得到sin∠OBC＝，再根据圆周角定理得到∠ODC＝∠OBC，从而得到sin∠CDO的值．
【解答】解：连接BC，如图，

∵B（﹣4，0），C（0，3），
∴OB＝4，OC＝3，
∴BC＝＝5，
∴sin∠OBC＝＝，
∵∠ODC＝∠OBC，
∴sin∠CDO＝sin∠OBC＝．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5.（2020•包头24/26）如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，直线l为⊙O的切线，A是切点，D是OA上一点，CD的延长线交直线l于点E，F是OB上一点，CF的延长线交⊙O于点G，连接AC，AG，已知⊙O的半径为3，CE＝，5BF﹣5AD＝4．
（I）求AE的长；
（2）求cos∠CAG的值及CG的长．

【考点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）延长CO交⊙O于T，过点E作EH⊥CT于H．首先证明四边形AEHO是矩形，利用勾股定理求出CH，OH即可．
（2）利用勾股定理求出CF，利用相似三角形的性质求出FG，证明∠CAG＝∠CTG，求出cos∠CTG即可解决问题．
【解答】解：（1）延长CO交⊙O于T，过点E作EH⊥CT于H．
∵直线l是⊙O的切线，
∴AE⊥OD，
∵OC⊥AB，
∴∠EAO＝∠AOH＝∠EHO＝90°，
∴四边形AEHO是矩形，
∴EH＝OA＝3，AE＝OH，
∵CH＝＝＝5，
∴AE＝OH＝CH﹣CO＝5﹣3＝2．
（2）∵AE∥OC，
∴＝＝，
∴AD＝OA＝，
∵5BF﹣5AD＝4，
∴BF＝2，
∴OF＝OB﹣BF＝1，AF＝AO+OF＝4，CF＝＝＝，
∵∠FAC＝∠FGB，∠AFC＝∠GFB，
∴△AFC∽△GFB，
∴＝，
∴＝，
∴FG＝，
∴CG＝FG+CF＝，
∵CT是直径，
∴∠CGT＝90°，
∴GT＝＝＝，
∴cos∠CTG＝＝＝，
∵∠CAG＝∠CTG，
∴cos∠CAG＝．

【点评】本题考查切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
6.（2020•广东22/25）如图1，在四边形中，AD∥BC，，是⊙O的直径，平分．
（1）求证：直线与⊙O相切；
（2）如图2，记（1）中的切点为，为优弧上一点，，．求的值．

【考点】解直角三角形；切线的判定与性质；圆周角定理；直角梯形
【分析】（1）证明：作于，证△OCE≌△OCB（AAS），得出，即可得出结论；
（2）作于，连接，则四边形是矩形，得，，则，证、是的切线，由切线长定理得，，则，由勾股定理得，则，证，由圆周角定理得，则，由三角函数定义即可得出答案．
【解答】（1）证明：作于，如图1所示：

则，
∵AD∥BC，，
，
，
平分，
，
在△OCE和△OCB中，，
∴△OCE≌△OCB（AAS），
，
又，
直线与⊙O相切；
（2）解：作于，连接，如图2所示：

则四边形是矩形，
，，
，
，，
，，
、是⊙O的切线，
由（1）得：是⊙O的切线，
，，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质、勾股定理、圆周角定理等知识；熟练掌握切线的判定与性质和圆周角定理是解题的关键．
7.（2020•上海21/25）如图，在直角梯形中，AB∥DC，，，，．
（1）求梯形的面积；
（2）联结，求的正切值．

【考点】直角梯形；解直角三角形
【分析】（1）过作于，推出四边形是矩形，得到，，根据勾股定理得到，于是得到梯形的面积；
（2）过作于，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，，于是得到结论．
【解答】解：（1）过作于，

∵AB∥DC，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
梯形的面积；
（2）过作于，

∵CD∥AB，
，
，
∴△CDH∽△DBA，
，
，
，
，
，
的正切值．
【点评】本题考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
8.（2020•北京23/28）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC＝∠AOF；
（2）若sinC＝，BD＝8，求EF的长．

【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形．有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据平行线的性质得到∠AOF＝∠B，根据切线的性质得到∠CDO＝90°，等量代换即可得到结论；
（2）根据三角形中位线定理得到OE＝BD＝8＝4，设OD＝x，OC＝3x，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OD，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
∵OF⊥AD，
∴OF∥BD，
∴∠AOF＝∠B，
∵CD是⊙O的切线，D为切点，
∴∠CDO＝90°，
∴∠CDA+∠ADO＝∠ADO+∠BDO＝90°，
∴∠CDA＝∠BDO，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∴∠AOF＝∠ADC；
（2）∵OF∥BD，AO＝OB，
∴AE＝DE，
∴OE＝BD＝×8＝4，
∵sinC＝＝，
∴设OD＝x，OC＝3x，
∴OB＝x，
∴CB＝4x，
∵OF∥BD，
∴△COF∽△CBD，
∴，
∴，
∴OF＝6，
∴EF＝OF﹣OE＝6﹣4＝2．
【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
9.（2020•呼和浩特19/24）如图，一艘船由港沿北偏东方向航行到港，然后再沿北偏西方向航行至港，已知港在港北偏东方向．
（1）直接写出的度数；
（2）求、两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）

【考点】解直角三角形的应用方向角问题
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等即可得出答案；
（2）由题意得，，，，过作于，解直角三角形即可得到答案．
【解答】解：（1）如图，由题意得：
；
（2）由题意得，，，，
过作于，如图所示：

，
在Rt△ABE中，，
∴△ABE是等腰直角三角形，
，
，
在Rt△CBE中，，，
，

，两港之间的距离为．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10.（2020•通辽19/26）从处看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，处与楼的水平距离为．若，，求这栋楼高．

【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题
【分析】在两个直角三角形中，利用边角关系求出、的长，即可求楼高．
【解答】解：在Rt△ABD中，（米，
在Rt△ACD中，（米，
（米．
答：这栋楼高约为270米．
【点评】本题考查直角三角形的边角关系的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
11.（2020•包头22/26）如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地，当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一电视塔P．他由A地向正北方向骑行了3km到达B地，发现电视塔P在他北偏东75°方向，然后他由B地向北偏东15°方向骑行了6km到达C地．
（1）求A地与电视塔P的距离；
（2）求C地与电视塔P的距离．

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）过B作BD⊥AP于点D，在直角△ABD中利用三角函数求得AD、BD的长，然后在直角△PCD中利用三角函数求得BP、PD的长；
（2）过C作CE⊥BP于点E，利用三角函数求得BE的长，即可得到PE＝BE，然后根据线段垂直平分线的性质定理求得PC＝BC＝6．
【解答】解：（1）过B作BD⊥AP于D．

依题意∠BAD＝45°，则∠ABD＝45°，
在Rt△ABD中，AD＝BD＝AB＝×3＝3，
∵∠PBN＝75°，
∴∠APB＝∠PBN﹣∠PAB＝30°，
∴PD＝cot30°•BD＝•BD＝3，PB＝2BD＝6，
∴AP＝AD+PD＝3+3；
∴A地与电视塔P的距离为（3+3）km；
（2）过C作CE⊥BP于点E，

∵∠PBN＝75°，∠CBN＝15°，
∴∠CBE＝60°，
∴BE＝cos60°•BC＝＝3，
∵PB＝6，
∴PE＝PB﹣BE＝3，
∴PE＝BE，
∵CE⊥PB，
∴PC＝BC＝6．
∴C地与电视塔P的距离6km．
【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．
12.（2020•鄂尔多斯20/24）图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形．为使身高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O，花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm，已知龙头手柄OA长为10cm，花洒直径AB是8cm，龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA＝26°，∠OAB＝146°，则安装时，旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？（计算结果精确到1cm，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）

【考点】解直角三角形的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】通过作辅助线构造直角三角形，分别在Rt△ABF和在Rt△AOE中，根据锐角三角函数求出OE、BF，而点B到地面的高度为175+15＝190cm，进而求出OG即可．
【解答】解：如图，过点B作地面的垂线，垂足为D，过点 A作地面GD的平行线，交OC于点E，交BD于点F，

在Rt△AOE中，∠AOE＝26°，OA＝10，
则OE＝OA•cos∠AOE≈10×0.90＝9cm，
在Rt△ABF中，∠BAF＝146°﹣90°﹣26°＝30°，AB＝8，
则BF＝AB•sin∠BOF＝8×＝4cm，
∴OG＝BD﹣BF﹣OE＝（175+15）﹣4﹣9＝177cm，
答：旋转头的固定点O与地面的距离应为177cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
13.（2020•赤峰16/26）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为　12　米（结果保留根号）．

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可得在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝9，在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，AD＝9，再根据特殊角三角函数即可分别求出CD和BD的长，进而可得该建筑物的高度BC．
【解答】解：根据题意可知：
在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝9，
∴CD＝AD•tan30°＝9×＝3，
在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，AD＝9，
∴BD＝AD•tan60°＝9，
∴BC＝CD+BD＝3+9＝12（米）．
答；该建筑物的高度BC为12米．
故答案为：12．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
14.（2020•赤峰23/26）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，点P是⊙O上一点，且PA＝PC，PD∥AC，与BA的延长线交于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若tan∠PAC＝，AC＝12，求直径AB的长．

【考点】圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形．有
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）AB＝13．
【分析】（1）连接PO，交AC于H，由等腰三角形的性质可得∠PAC＝∠PCA，∠PAO＝∠OPA，由平行线的性质和圆周角定理可得∠DPA＝∠PAC＝∠PCA＝∠PBA，∠APB＝90°，可证∠DPO＝90°，可得结论；
（2）由等腰三角形的性质可求AH＝HC＝AC＝6，由锐角三角函数可求PH＝4，由勾股定理可求AO的长，即可求解．
【解答】解：（1）连接PO，交AC于H，

∵PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA，
∵∠PCA＝∠PBA，
∴∠PAC＝∠PCA＝∠PBA，
∵DP∥AC，
∴∠DPA＝∠PAC＝∠PCA＝∠PBA，
∵OA＝OP，
∴∠PAO＝∠OPA，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
∴∠PAB+∠ABP＝90°，
∴∠OPA+∠DPA＝90°，
∴∠DPO＝90°，
又∵OP是半径，
∴DP是⊙O的切线；
（2）∵DP∥AC，∠DPO＝90°，
∴∠DPO＝∠AHO＝90°，
又∵PA＝PC，
∴AH＝HC＝AC＝6，
∵tan∠PAC＝＝，
∴PH＝×AH＝4，
∵AO2＝AH2+OH2，
∴AO2＝36+（OA﹣4）2，
∴OA＝，
∴AB＝2OA＝13．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
15.（2020•海南20/22）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车．某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图，隧道在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行，到达点处测得点的俯角为，继续飞行1500米到达点处，测得点的俯角为．
（1）填空：　30　度，　　度；
（2）求隧道的长度（结果精确到1米）．
（参考数据：，

【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题
【分析】（1）根据点处测得点的俯角为，点处测得点的俯角为．可得度，度；
（2）如图，过点作于点，过点作于点，可得，，根据锐角三角函数即可求出隧道的长度．
【解答】解：（1）点处测得点的俯角为，点处测得点的俯角为．
度，度；
故答案为：30，45；
（2）如图，过点作于点，过点作于点，
则，，

在Rt△APM中，，
，
在Rt△QNB中，，
，
（米．
答：隧道的长度约为2729米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
16.（2020•山西21/23）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为．
（1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离（参考数据：，，；
（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．

【考点】解直角三角形的应用
【分析】（1）连接，并向两方延长，分别交，于，，由点，在同一条水平线上，， 均垂直于地面可知，，，所以的长度就是与之间的距离，同时，由两圆弧翼成轴对称可得，，解直角三角形即可得到结论；
（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）连接，并向两方延长，分别交，于，，

由点，在同一条水平线上，， 均垂直于地面可知，，，
所以的长度就是与之间的距离，
同时，由两圆弧翼成轴对称可得，，
在Rt△ABM中，，，，
，
，
，
与之间的距离为；
（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，
根据题意得，，
解得：，
经检验，是原方程的根，
当时，，
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
17.（2020•青海24/28）某市为了加快网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点测得发射塔顶端点的仰角是，向前走60米到达点测得点的仰角是，测得发射塔底部点的仰角是．请你帮小军计算出信号发射塔的高度．（结果精确到0.1米，

【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题
【分析】延长交直线于点，设米，在Rt△APC和Rt△BPC中，根据三角函数利用表示出和，根据即可列出方程求得的值，再在直角中利用三角函数求得的长，则的长度即可求解．
【解答】解：延长交直线于点，设米．

在Rt△APC中，，
则米；


在Rt△BPC中，米，
米，
则，
解得：，
则米．
在Rt△BCQ中，米．
（米．
答：信号发射塔的高度约是94.6米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角的问题，仰角的定义，以及三角函数，正确求得的长度是关键．
18.（2020•天津22/25）如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接，．测得，，．根据测得的数据，求的长（结果取整数）．
参考数据：，，．

【考点】解直角三角形的应用
【分析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点作，垂足为，

，
，
设米，
在Rt△ADB中，，，
又，即，
，
解得，，
答：的长约为．
【点评】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．
19.（2020•陕西20/25）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高．他俩在小明家的窗台处，测得商业大厦顶部的仰角的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在处测得商业大厦底部的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台处测得大厦底部的俯角的度数，竟然发现与恰好相等．已知，，三点共线，，，，，试求商业大厦的高．

【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】过点作于点，过点作于点，可得四边形和四边形均为矩形，可以证明△BFN≌△CEM，得，进而可得商业大厦的高．
【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点，

，
，，
四边形和四边形均为矩形，
，，
，
∴△BFN≌△CEM （ASA），
，
由矩形性质可知：，
．
答：商业大厦的高为．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义，构造全等三角形解决问题．
20.（2020•江西20/23）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长，支撑板长，底座长．托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．（结果保留小数点后一位）
（1）若，，求点到直线的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．（参考数据：，，，，，，

【考点】解直角三角形的应用
【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出、，即可求出点到直线的距离；
（2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出相应的角度即可．
【解答】解：（1）如图2，过作，交的延长线于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，

由题意可知，，，，，
在Rt△CDN中， ，
，
又，
，
，，
∴AM∥CN，
，
，
在Rt△AFC中，，
，
答：点到直线的距离约为；
（2）旋转后，如图3所示，根据题意可知，

在Rt△BCD中，，，
，
，
因此旋转的角度为：，
答：旋转的角度约为．
【点评】本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法，也是基本的方法．
21.（2020•福建21/25）如图，与⊙O相切于点，交⊙O于点，的延长线交⊙O于点，是上不与，重合的点，．
（1）求的大小；
（2）若⊙O的半径为3，点在的延长线上，且，求证：与⊙O相切．

【考点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形
【分析】（1）连接，由切线求出的度数，再由三角函数求出，由三角形的外角性质求得，最后由圆周解与圆心角的关系求得结果；
（2）连接，，证明△BOF≌△DOF，得，便可得结论．
【解答】解：（1）连接，如图1，

与⊙O相切于点，
，
，
，
，
；
（2）证明：连接，，如图2，

是切线，
，
，，
，
，
，
，
在△BOF和△DOF中，
，
∴△BOF≌△DOF（SAS），
，
与⊙O相切．
【点评】本题主要考查了圆的切线的性质与判定，解直角三角形，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，第（2）题关键是证明三角形全等．
22.（2020•重庆B卷9/26）如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边点处，某测量员从山脚点出发沿水平方向前行78米到点（点，，在同一直线上），再沿斜坡方向前行78米到点（点，，，，在同一平面内），在点处测得信号塔顶端的仰角为，悬崖的高为144.5米，斜坡的坡度（或坡比），则信号塔的高度约为　　
（参考数据：，，

A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题；解直角三角形的应用坡度坡角问题
【分析】过点作交的延长线于点，过点作于点，根据斜坡的坡度（或坡比）可设，则，利用勾股定理求出的值，进而可得出与的长，故可得出的长．由矩形的判定定理得出四边形是矩形，故可得出，，再由锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出答案．
【解答】解：过点作交的延长线于点，过点作于点，

斜坡的坡度（或坡比），米，
设，则．
在Rt△DEF中，
，即，
解得，
米，米，
米．
，，，
四边形是矩形，
米，米．
在Rt△AEM中，
，
米，
米．
米．
故选：D．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23.（2020•新疆兵团20/23）如图，为测量建筑物的高度，在点测得建筑物顶部点的仰角为，再向建筑物前进30米到达点，测得建筑物顶部点的仰角为，，三点在一条直线上），求建筑物的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，，，

【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题
【分析】在Rt△BDC中，根据三角函数的定义得到，求得，在Rt△ACD中，根据三角函数的定义得到，求得，列方程即可得到结论．
【解答】解：在Rt△BDC中，
，
，
，
在Rt△ACD中，
，
，
，
，
解得：（米，
答：建筑物的高度为16米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．
24.（2020•新疆兵团22/23）如图，在⊙O中，为⊙O的直径，为⊙O上一点，是的中点，过点作的垂线，交的延长线于点．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求的长．

【考点】切线的判定；解直角三角形
【分析】（1）根据已知条件得到，推出AD∥OP，根据平行线的性质得到，于是得到是⊙O的切线；
（2）连接交于，根据圆周角定理得到，推出四边形是矩形，得到，，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是⊙O的切线；
（2）解：连接交于，

为⊙O的直径，
，
是的中点，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25.（2020•河南18/23）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得观星台最高点的仰角为，然后沿方向前进到达点处，测得点的仰角为．测角仪的高度为．
（1）求观星台最高点距离地面的高度（结果精确到．参考数据：，，，；
（2）“景点简介”显示，观星台的高度为．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题
【分析】（1）过作于，延长交于，则四边形，四边形是矩形，于是得到，，求得，设，得到，解直角三角形即可得到结论；
（2）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
【解答】解：（1）过作于，延长交于，

则四边形，四边形是矩形，
，，
，，
∴△ACE是等腰直角三角形，
，
设，
，
，
，
，
，
答：观星台最高点距离地面的高度约为；
（2） “景点简介”显示，观星台的高度为，
本次测量结果的误差为，
减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
26.（2020•安徽18/23）如图，山顶上有一个信号塔，已知信号塔高米，在山脚下点处测得塔底的仰角，塔顶的仰角，求山高（点，，在同一条竖直线上）．
（参考数据：，，．

【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题
【分析】根据三角函数的定义和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：由题意，在Rt△ABD中，，
，
，
在Rt△BCD中，，
，
，
，
，
米，
（米，