2022-2023学年天津市滨海新区塘沽第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年天津市滨海新区塘沽第一中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．过、两点的直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可求得结果.

【详解】设直线的倾斜角为，则，所以，，.

故选：C.

2．已知向量，若，则x等于（    ）

A． B．  C．3 D．6

【答案】B

【分析】由，列方程求解即可.

【详解】因为向量，且，

所以，得，

故选：B.

3．“”是“方程表示双曲线”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】方程表示双曲线等价于，求解判断即可

【详解】方程表示双曲线等价于，即或，

故“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.

故选：A

4．平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）中，，，则（    ）

A． B．6 C．3 D．

【答案】A

【分析】利用空间向量运算法则得到，再利用数量积公式进行运算得到，从而求出.

【详解】由空间向量可得：，

，

所以

故选：A

5．已知抛物线：上一点到其焦点的距离等于，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线距离，列方程求出的值.

【详解】依题意可知，，

故选：C

6．若点是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，，则（    ）．

A．5 B．13 C．5或13 D．1或5

【答案】C

【分析】根据双曲线的定义可得选项.

【详解】由题意可知，，，，

若，则，或13．

故选：C.

7．已知点，点在圆上，则△的面积的最小值为（    ）

A． B．3 C．2 D．

【答案】D

【分析】首先求出直线AB的方程和线段AB的长度，利用圆心到直线的距离再减去圆的半径得出△ABC的高的最小值，即可求解.

【详解】圆的圆心，半径为1

∵，则，直线

圆心到直线的距离

∵△ABC的面积最小时，点C到直线AB的距离最短，该最短距离即圆心到直线AB的距离减去圆的半径

∴边上高的最小值为，则的最小值为

故选：D.

8．如图，是直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，然后坐标运算即可.

【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

设，则，，，，

可得，，

，

此时，与所成角的余弦值是.

故选：A

9．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】判断点在椭圆内，再借助“点差法”求出这条弦所在直线的斜率即可计算作答.

【详解】依题意，点在椭圆内，设这条弦的两个端点，

由得：，又，

于是得弦AB所在直线斜率，方程为：，即，

所以这条弦所在的直线方程是.

故选：B

10．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．4

【答案】B

【分析】取渐近线方程为，根据圆心到直线距离公式结合勾股定理计算得到答案.

【详解】不妨取渐近线为，即，

圆心到渐近线的距离为，得到，

故，故离心率为.

故选：B

11．以下四个命题表述正确的个数（    ）

①圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于；

②曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为；

③已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为2；

④已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过点.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】①根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；②根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解；③利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；④利用切线的性质得切点弦方程，再根据切点弦方程求定点.

【详解】①：圆的圆心为，半径 .

圆心到直线的距离，

所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，

故①正确；

②：方程可化为 ，

故曲线表示圆心为，半径的圆.

方程可化为

因为圆与曲线有四条公切线，

所以曲线也为圆，且圆心为，半径，

同时两圆的位置关系为外离，

有，即，解得，

故②错误；

③：圆的圆心，半径，

圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.

由切线的性质知，为直角三角形，

，

当且仅当与直线垂直时等号成立，所以的最小值为，

故③正确；

④：设点，因为点在直线上，

所以， ，

由圆的切线性质知，直线的方程为

，即，

整理得，

要求直线过定点，则应满足，解得.

所以直线过定点，故④正确.

故选：C.

12．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则下列曲线中与双曲线C有共同渐近线的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件求出双曲线C的渐近线方程，再逐一分析各个选项判断作答.

【详解】依题意，双曲线C：过点，

则有，解得，因此，双曲线C的渐近线方程为，

对于A，双曲线的渐近线方程为，A正确；

对于B，双曲线的渐近线方程为，B不正确；

对于C，双曲线的渐近线方程为，C不正确；

对于D，双曲线的渐近线方程为，D不正确.

故选：A

二、填空题

13．圆与圆的公共弦所在直线的方程为_______.

【答案】

【分析】将圆的方程作差即可求得公共弦方程.

【详解】将所给的两圆的方程作差可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为：，

即.

【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，公共弦方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

14．过点的直线l与圆相切，则直线l在y轴上的截距为__________．

【答案】4

【分析】根据题意，分析可得点在圆上，根据垂直关系求出切线的斜率，由点斜式求出切线方程，根据截距的定义可得结果.

【详解】因为，所以点在圆上，

∴切线l的斜率，

则切线l的方程为，变形可得，

所以直线l在y轴上的截距为4；

故答案为：4.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，考查了求圆的切线方程，考查了直线的截距，属于基础题.

15．直线与曲线有且只有一个公共点，则b的取值范围是_____.

【答案】

【解析】根据图形表示当直线与半圆有一个交点时，求的取值范围.

【详解】曲线化简为 ，

所以曲线表示如图的半圆，直线表示斜率为1的平行线，

当直线与半圆只有一个公共点时，直线与半圆相切时，有一个交点，

此时，解得：，或（舍）

当直线过点时，有两个交点，此时，当直线过点时，有一个交点，此时，

根据图象可知，当直线有一个交点时，的取值范围是.

故答案为：

【点睛】本题考查直线与圆相交问题，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型，本题的关键是正确画出对应的图形.

16．已知，，，若点在平面内，则______.

【答案】

【分析】求出平面的法向量，由法向量求参数值．

【详解】设平面的一个法向量是，又，

所以，取得，

在平面上，

则，．

故答案为：．

17．设、分别为椭圆与双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线的渐近线的方程是 ________．

【答案】

【分析】设，在中，由余弦定理可得，再利用椭圆和双曲线的几何性质列方程求解即可.

【详解】设，不妨设，

由椭圆和双曲线的性质可得，解得，

又椭圆的离心率，双曲线的离心率，，

在中，由余弦定理得，

解得，即，

根据均值不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，

即当两条曲线的离心率之积最小时，，

所以由双曲线性质解得，

即双曲线的渐近线方程为，

根据椭圆和双曲线的对称新，当仍成立，

故答案为：.

三、双空题

18．已知抛物线y＝ax2过点（4，2），则a＝_____，准线方程为_____

【答案】         

【分析】先由抛物线所过点的坐标，得到，进而可得出准线方程.

【详解】依题意，得：，

解得：，

抛物线方程为：，即，

所以，准线方程为：．

故答案为(1).     (2).

【点睛】本题主要考查抛物线的准线方程，熟记抛物线的性质即可，属于常考题型.

四、解答题

19．已知点，圆的圆心在直线上且与轴切于点，

(1)求圆的方程；

(2)若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；

(3)设点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．

【答案】(1)

(2)或

(3)．

【分析】(1)先设出圆心，再根据圆的圆心在直线上且与轴切于点建立方程即可求解.

(2)先讨论斜率存在，设出直线方程，根据弦长公式建立方程，求出斜率;再讨论斜率不存在时，求出直线方程，验证是否存在即可.

(3)先设点的坐标为，根据相关点法即可求出的轨迹方程.

【详解】（1）圆的圆心在直线上且与轴切于点，

设圆心坐标为，则，

解得，，

圆心，半径，

故圆的方程为.

（2）点，直线过点，

设直线的斜率为存在）则方程为，

又圆的圆心为，半径，弦长为，

故弦心距，

故，解得，

所以直线方程为，

即，

当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件，

故的方程为或.

（3）设点的坐标为，点的坐标为，．

由于，且为的中点，

，

于是有①，

在圆上运动，

，

将①代入上式得，

即点的轨迹方程为．

20．如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面的夹角的余弦值；

(3)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）使用空间向量证明：只需证明与平面的法向量垂直即可；

（2）分别求出两个平面的法向量，使用空间向量求两面夹角的余弦值；

（3） 设，根据直线与平面所成角的正弦值使用空间向量求出值.

【详解】（1）证明：四边形为矩形，，

又平面平面，平面平面，面

平面．

取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，

设平面的法向量，

，，

由，取，得，

又，，则，

又平面，平面；

（2）设平面的法向量，

，，

由，取，可得，

，

即平面与平面夹角的余弦值为；

（3）点在线段上，设，，，

，0，，2，，，，

又平面的法向量，设直线与平面所成角为，

，

，即，

，，．

，，，则，

的长为．

21．如图，椭圆经过点，且离心率为.

(I)求椭圆的方程；

(II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），

问：直线与的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由．

【答案】(1) (2)2

【详解】（Ⅰ）由题意知，综合，解得，所以，椭圆的方程为.

（Ⅱ）由题设知，直线的方程为，代入，得

，

由已知，设，

则，

从而直线与的斜率之和

.

【解析】1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题.

22．设椭圆的右顶点为，离心率为，且以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点异于点，直线与轴相交于点，若的面积为，求直线的方程；

(3)是轴正半轴上的一点，过椭圆的右焦点和点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2)或或或；

(3)．

【分析】（1）根据已知得到关于的方程组，解方程组即得解；

（2）设直线方程为，，求出直线方程，再解方程即得解；

（3）设直线的方程为，其中，，，，，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，求出，再就点的位置分两种情况讨论得解.

【详解】（1）由题意可得，

且点到直线的距离

又，解得，

所以椭圆的方程为.

（2）设直线方程为，，与直线的方程联立

可得点，，

联立直线方程和椭圆方程消去，整理得，

解得，，可得，，

由，，

则直线方程，令，解得，即，

所以有，

整理得，解得或，

所以直线的方程为或或或.

（3）设直线的方程为，其中，，，，，

联立，得，

，，，

，

当点在椭圆及外部，即时，，，

；

当点在椭圆内部，即时，，，

，

令，则，

，

综上所述，的取值范围为．

【点睛】关键点睛：解答本题的关键有两点，关键一，是就点的位置分两种情况讨论；关键二是灵活运用方法求函数的取值范围.