2022-2023学年山东省淄博市桓台县桓台第二中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省淄博市桓台县桓台第二中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知，，则以为直径的圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求得圆心和半径，由此求得圆的方程.

【详解】的中点为圆心，

半径，

所以所求圆的方程为.

故选：A

2．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“∥”的（    ）

A．充要条件 B．既不充分也不必要条件

C．充分不必要条件 D．必要不充分条件

【答案】D

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合向量垂直的性质，线面平行的判定和性质分析判断.

【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为，且，

所以∥或，

而当∥时，，

所以“”是“∥”的必要不充分条件，

故选：D

3．已知，，且，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】利用向量平行的充要条件列出关于x、y的方程组，解之即可求得x、y的值.

【详解】，，

则，

由，可得，解之得

故选：B

4．已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且轴，直线交y轴于点P，若，则椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用几何关系，得，即可求得椭圆的离心率.

【详解】由条件可知，，即.

故选：B

5．双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】求出右顶点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式即可求解.

【详解】由可得，，所以，

所以右顶点坐标为，渐近线方程为即，

所以点到渐近线的距离，

故选：A.

6．设，，直线经过圆的圆心，则的最小值为（    ）

A．1 B．4 C．2 D．

【答案】B

【分析】圆心坐标代入直线方程得，然后用“1”的代换得定值后由基本不等式得最小值．

【详解】圆心为（1，1），所以

于是

当且仅当，即时取等号.

故选：B．

7．2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂降重开幕，为了增强主席台的亮度，且为了避免主席台就坐人员面对强光的不适，灯光设计人员巧妙地通过双曲线镜面反射出发散光线达到了预期的效果.如图，从双曲线右焦点发出的光线的反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的离心率为，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据离心率为得到，，利用特殊值的思路，设双曲线的标准方程为，，，然后利用勾股定理列方程解得，最后求的余弦值即可.

【详解】因为，所以，，不妨设双曲线的标准方程为，设，则，所以，解得（已舍去），所以.

故选：D.

8．如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】取中点，连接，证明平面，求出P在FC上.将平面沿BC翻折到与平面ABCD共面，将B关于CF对称到，过作与E，则即为点到底面的距离与它到点的距离之和的最小值.

【详解】取中点，连接，

由，，可知，则，

∴由知，即.

∵平面ABCD，⊥平面ABCD，∴AC⊥，又AC⊥BD，BD∩＝B，

∴平面，∵平面，∴，

∵，∴平面，

∵，∴平面，平面，

∵在侧面内，∴平面平面，即P在CF上；

∵平面⊥平面ABCD，且交线为BC，

∴P到平面ABCD的距离即为P到BC的距离，

将平面沿BC翻折到与平面ABCD共面，如图：

将B关于CF对称到，过作与E，则即为点到底面的距离与它到点的距离之和的最小值.

以B为原点，建立如图所示坐标系，则B(0，0)，F(1，0)，C(0，2)，

直线CF方程为，即，

设，则，

∴.

故选：A﹒

二、多选题

9．点在圆上，点在圆上，则（    ）

A．的最小值为

B．两圆公切线有两条

C．两个圆心所在的直线斜率为

D．两个圆相交弦所在直线的方程为

【答案】AC

【分析】由两圆方程可得圆心和半径，由两圆位置关系的判定可得两圆相外切，由此依次判断各个选项即可得到结果.

【详解】由圆的方程知：圆的圆心，半径；圆的圆心，半径；

，两圆外切；

对于A，若重合，为两圆的切点，则，A正确；

对于B，两圆外切，则公切线有条，B错误；

对于C，，C正确；

对于D，两圆相外切，两个圆不存在相交弦，D错误.

故选：AC.

10．若方程所表示的曲线为，则下面四个选项中正确的是（       ）

A．若，则曲线为椭圆

B．若曲线为椭圆，且长轴在轴上，则

C．若曲线为双曲线，则或

D．曲线可能是圆.

【答案】BCD

【分析】利用椭圆，双曲线和圆的方程特征求解判断.

【详解】A.若方程表示椭圆，则，解得且，故错误；

B.若曲线为椭圆，且长轴在轴上，则，解得，故正确；

 C.若曲线为双曲线，则，解得或，故正确；

D.曲线是圆，则，解得，故正确；

故选：BCD

11．直线不过第二象限，则a的可取值为（    ）

A． B．2 C．3 D．4

【答案】BCD

【分析】对参数的值分类讨论，根据题意，即可求得满足题意的参数范围，再进行选择即可.

【详解】当即时，直线不过第二象限，所以符合题意；

当即时，直线过第二象限，所以不符合题意，

当时，直线，若直线l不过第二象限，所以，解得.

综上所述：.

故选：BCD.

12．给出下列命题，其中为假命题的是（      ）

A．已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则

B．已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为

C．若两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则

D．已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量，总存在实数使得

【答案】AD

【分析】根据直线与平面的位置关系、线面角的定义、向量共面的定理，逐一分析选项，即可得答案.

【详解】对于A：由题意可得或，故A错误；

对于B：

由图象可得，，则，

所以，根据线面角的定义可得：与所成角为，故B正确

对于C：因为，所以，故，故C正确；

对于D：当空间的三个向量，，不共面时，对于空间的任意一个向量，总存在实数使得，故D错误.

故选：AD

三、填空题

13．已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为________________

【答案】

【分析】把点到平面距离问题转化为向量数量积问题求解．

【详解】解：，0，，点到平面的距离为．

故答案为：.

14．已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，则椭圆的标准方程为______.

【答案】

【分析】设椭圆的方程为，运用离心率公式和，，的关系，解方程可得，，进而得到椭圆标准方程；

【详解】解：设椭圆的方程为，

由题意可得，，，

可得，，，

则椭圆的标准方程为.

故答案为：.

15．已知点在直线上，则的最小值为__________.

【答案】5

【分析】由题得表示点到点的距离，再利用点到直线的距离求解.

【详解】由题得表示点到点的距离.

又∵点在直线上，

∴的最小值等于点到直线的距离，

且.

【点睛】本题主要考查点到两点间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

16．已知为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为________.

【答案】9

【分析】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心,再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离,结合双曲线的定义即可求的最大值.

【详解】，，，则

故双曲线的两个焦点为，，

，也分别是两个圆的圆心，半径分别为，

所以，

则

，

故答案为：9

四、解答题

17．已知直线l过定点

(1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程；

(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)求出直线的斜率可得l的斜率，再借助直线点斜式方程即可得解.

(2)按直线l是否过原点分类讨论计算作答.

【详解】（1）直线的斜率为，于是得直线l的斜率，则，即，

所以直线l的方程是：.

（2）因直线l在两坐标轴上的截距相等，则当直线l过原点时，直线l的方程为：，即，

当直线l不过原点时，设其方程为：，则有，解得，此时，直线l的方程为：，

所以直线l的方程为：或.

18．已知圆经过和两点,且圆心在直线上.

(1)求圆的方程；

(2)若直线与圆相切，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设圆，依题意得到方程组，解得即可；

（2）利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可；

【详解】（1）解：设圆，由题意得：

，解得：，

∴圆；

（2）解：∵直线与圆相切，

∴圆心到直线 的距离为，

解得：.

19．已知双曲线的标准方程为 ．

（1）写出双曲线的实轴长，虚轴长，离心率，左、右焦点、的坐标；

（2）若点在双曲线上，求证：．

【答案】详见解析

【分析】(1)根据双曲线的标准方程，求得a和b的值，即可求得答案；

(2)根据直线斜率求得，从而可得.

【详解】(1)由，可得：，，所以离心率为，左、右焦点分别为,；

(2)因为,,,所以，所以

【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质与直线垂直的判定，属于基础题型.

20．已知平行六面体，，，，，设，，；

（1）试用、、表示；

（2）求的长度.

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）用向量的线性运算求；

（2）把（1）等式平方，由数量积的运算求模．

【详解】解：（1）

（2）

，，

所以

．

的长度为．

21．在边长为2的菱形中，，点E是边的中点（如图1），将△沿折起到△的位置，连接，得到四棱锥（如图2）．

(1)证明：平面；

(2)若，连接，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析.

(2)

【分析】（1）利用菱形的性质有，再应用线面垂直的判定即可证结论.

（2）构建空间直角坐标系，确定相关点的坐标，进而求直线的方向向量、平面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示，求线面角的正弦值.

【详解】（1）由题设，为菱形，E是的中点且，

∴，即，又，

∴面.

（2）由，结合（1）可构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，则，

∴，

若是面的一个法向量，则，令，则，

∴，故直线与平面所成角的正弦值为.

22．已知椭圆：过点，长轴长为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点作直线与椭圆交于，两点，当为线段中点时，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）椭圆基本量计算.

（2）点差法求斜率即可.

【详解】（1）因为椭圆的长轴长为，所以，得，

又椭圆过点，

所以，得.   

所以椭圆的标准方程为:.

（2）直线的斜率不存在时，过点，直线的方程为：

此时线段中点为，不合题意.  

所以直线的斜率必存在，设其为，，，

因为为的中点，则，所以，

将、坐标代入椭圆的标准方程为得，，

两式相减得：，整理得：，

所以，，

所以.

所以直线的方程为，即.

因为点在椭圆内部，所以直线必与椭圆相交于两点，此直线即为所求.