2022-2023学年山东省济宁市微山县第二中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省济宁市微山县第二中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出直线斜率，可得倾斜角.

【详解】直线的斜率，则倾斜角为.

故选：C.

2．已知，，则（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】B

【分析】利用空间向量的夹角余弦值公式即可求得.

【详解】解：，，

.

故选：B.

3．“”是“直线与直线平行”的（    ）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】由可得直线与直线平行，即充分条件成立；由直线与直线平行，求得的值为，即必要条件成立；

【详解】因为，所以直线，直线，则与平行，故充分条件成立；

当直线与直线平行时，，解得或，当时，直线与直线重合，当时，直线，直线平行，故必要条件成立.

综上知，“”是“直线与直线平行”的充要条件.

故选：A.

4．甲､乙两位同学独立地解答某道数学题，若甲､乙解出的概率都是，则这道数学题被解出的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用对立事件的概率求法，先求这道数学题解不出的概率，则这道数学题被解出的概率即为所求.

【详解】由题意知，这道数学题解不出的概率为，

∴这道数学题被解出的概率.

故选：C

5．直线被圆所截得的最短弦长等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先求出直线过定点坐标，当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，求出弦心距，利用勾股定理求出结果即可．

【详解】解：圆的圆心为，半径，

又直线，直线恒过定点，

当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦，

此时弦心距为．

所截得的最短弦长：．

故选：C．

6．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有：，共7种，

故所求概率.

故选：D.

7．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分析可知直线过圆心，则，且有且，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】圆的圆心为，由题意可知，直线过圆心，则，

因为，则且，

因此，，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为.

故选：A.

8．若直线：与曲线：有两个交点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】直线恒过定点，曲线表示右半圆，画出草图可得有两个交点，需求临界相切时的斜率（1个交点）与临界过点A的直线的斜率（2个交点）.

【详解】∵直线l： 恒过定点

曲线C： 即：

∴曲线C表示：以（1，1）为圆心，1为半径的的那部分圆.

∵直线l与曲线C有两个交点，

∴如图所示，

当过点M的直线与图中这部分圆相切时有1个交点，

此时 解得：

当过点M的直线也过点 时有2个交点，

此时

∴

故选：B.

二、多选题

9．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（    ）

A．2个球都是红球的概率为

B．2个球不都是红球的概率为

C．至少有1个红球的概率为

D．2个球中恰有1个红球的概率为

【答案】ACD

【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率，判断A;利用对立事件的概率计算方法求得2个球不都是红球的概率，判断B;根据对立事件的概率计算判断C;根据互斥事件的概率计算可判断D.

【详解】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，从“乙袋中摸出一个红球”为事件，

则，，

对于A选项，2个球都是红球为，其概率为，故A选项正确，

对于B选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，故B选项错误，

对于C选项，2个球至少有一个红球的概率为，故C选项正确，

对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率为，故D选项正确．

故选：ACD．

10．小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（    ）

A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜

B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜

C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜

D．小明､小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜

【答案】ACD

【分析】在四个选项中分别列出小明与小华获胜的情况，由此判断两人获胜是否为等可能事件．

【详解】解：对于A，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平

对于B，恰有一枚正面向上包括正，反反，正两种情况，而两枚都正面向上仅有正，正一种情况，

所以游戏不公平

对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，所以游戏公平

对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，一共四种情况：（6,6），（6,8），（8,6），（8,8）；两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平．

故选：ACD．

【点睛】本题考查等可能事件的判断，考查运算求解能力，是基础题．

11．已知圆C：，直线l：.下列说法正确的是（    ）

A．直线l恒过定点

B．圆C被y轴截得的弦长为

C．直线l被圆C截得弦长存在最大值，此时直线l的方程为

D．直线l被圆C截得弦长存在最小值，此时直线l的方程为

【答案】BD

【分析】对A，将直线整理为，联立方程即可求出定点；对B，令即可求出；对C，根据直线不过圆心可判断；对D，根据直线垂直于圆心到定点连线可求.

【详解】将直线l的方程整理为，由，解得.则无论m为何值，直线l恒过定点，故A不正确；

令，则，解得，故圆C被y轴截得的弦长为，故B正确；

无论m为何值，直线l不过圆心，即直线l被圆C截得的弦长不存在最大值，故C错误；

当截得的弦长最短时，此时直线l垂直于圆心与定点的连线，则直线l的斜率为，此时直线l的方程为，即，故D正确.

故选：BD.

12．如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是（    ）

A．几何体的外接球半径

B．平面

C．异面直线与所成角的正弦值的取值范围为

D．面与底面所成角正弦值的取值范围为

【答案】BCD

【分析】对于A，几何体的外接球与正方体的外接球相同，可求得半径；对于B，利用面面平行的性质定理即可判断；对于C，找到异面直线与所成角，结合线面垂直的性质，列出正弦值的等式，再结合的取值范围，即可求解；对于D，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式，结合三角函数的知识可进行求解.

【详解】对于A，因为几何体关于正方体的中心对称，其外接球与正方体的外接球相同，半径为，故A错误；

对于B，在正方体中，且，故为平行四边形，所以，而平面，平面，故平面，

同理可证平面，又因为，平面，

所以平面平面，因为平面，

所以平面，故B正确；

对于C，由平面，平面，可得，即，

由于，则异面直线与所成的角为，其正弦值为，

在中，易得，所以，

所以异面直线与所成角的正弦值的取值范围为，故C正确；

对于D，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则，

则有，，设，

则，所以，

设平面的法向量，则，即，

令，则，故，

由题意知，取平面的一个法向量，

则，

则面与底面所成角正弦值为，

由于，故当时取最小值，

则取到最小值，

当或时取最大值12，则取到最大值，

所以面与底面所成角正弦值的取值范围为，故D正确，

故选：BCD.

三、填空题

13．经过两直线2x+y-1=0与x-y-2=0的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是___________．

【答案】x+y=0或x-y-2=0

【分析】先求解两直线的交点坐标，再运用截距式求解直线的方程可得出结果.

【详解】解：联立两直线方程可得：，解得，可得两条直线交点P（1，-1）．

直线经过原点时，可得直线方程为y=-x；

直线不经过原点时，设直线方程为，

把交点P（1，-1）代入可得，解得a=2．

所以直线的方程为x-y-2=0．

综上直线方程为：x+y=0或x-y-2=0．

故答案为：x+y=0或x-y-2=0．

14．已知空间中有三点，，，则到直线的距离为______.

【答案】2

【分析】根据空间中点到直线距离的求法计算即可.

【详解】由题知，，

所以

所以，

所以到直线的距离为，

故答案为：2

15．写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．

【答案】或或

【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.

【详解】[方法一]：

显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，

于是，

故①，于是或，

再结合①解得或或，

所以直线方程有三条，分别为，，

填一条即可

[方法二]：

设圆的圆心，半径为，

圆的圆心，半径，

则，因此两圆外切，

由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；

又由方程和相减可得方程，

即为过两圆公共切点的切线方程，

又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，

直线OC与直线的交点为，

设过该点的直线为，则，解得，

从而该切线的方程为填一条即可

[方法三]：

圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为，

两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，

如图，

当切线为l时，因为，所以，设方程为

O到l的距离，解得，所以l的方程为，

当切线为m时，设直线方程为，其中，，

由题意，解得，

当切线为n时，易知切线方程为，

故答案为：或或.

16．若圆上到直线的距离等于的点恰有3个，则实数a的值为___________.

【答案】或

【分析】设圆心到直线的距离为，由题意有，

利用点到直线距离公式列出等式即可求解.

【详解】圆，即，

所以圆C的圆心坐标为，半径，

因为圆上到直线距离等于的点恰有3个，

设圆心到直线的距离为，则，

即，解得或，

故答案为：或.

四、解答题

17．已知的三个顶点分别为，，，

(1)BC边上中线所在直线的方程（D为BC中点）；

(2)BC边的垂直平分线的方程；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求解中点的坐标，计算直线AD的斜率，从而得中线的方程；（2）计算直线BC的斜率，从而可得中垂线的斜率，写出中垂线方程.

【详解】（1）线段BC的中点，所以直线AD的斜率为，

所以中线的方程为：，即

（2）直线BC的斜率，所以BC中垂线的斜率为，又因为BC的中点，

所以中垂线的方程为：，即

18．袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球､黄球､绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：

（1）从中任取一球，得到黑球､黄球､绿球的概率各是多少？

（2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？

【答案】（1）黑球､黄球､绿球的概率分别是，，；（2）.

【解析】（1）从中任取一球，分别记得到黑球､黄球､绿球为事件，，，由已知列出的方程组可得答案；

（2）求出从9个球中取出2个球的样本空间中共有的样本点，再求出两个球同色的样本点可得答案.

【详解】（1）从中任取一球，分别记得到黑球､黄球､绿球为事件，，，

由于，，为互斥事件，

根据已知，得，

解得，

所以，任取一球，得到黑球､黄球､绿球的概率分别是，，.

（2）由（1）知黑球､黄球､绿球个数分别为3，2，4，

从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点，

其中两个是黑球的样本点是3个，两个黄球的是1个，两个绿球的是6个，

于是，两个球同色的概率为，

则两个球颜色不相同的概率是.

【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的概率，一般地，如果事件A1、A2、…、An彼此互斥，那么事件A1+A2+…+An发生(即A1、A2、…、An中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).

19．已知直线方程为．

(1)若直线的倾斜角为，求的值；

(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．

【答案】(1)；

(2)面积的最小值为，此时直线的方程为.

【分析】（1）由直线的斜率和倾斜角的关系可求得的值；

（2）求出点、的坐标，根据已知条件求出的取值范围，求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求得面积的最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出直线的方程.

【详解】（1）解：由题意可得.

（2）解：在直线的方程中，令可得，即点，

令可得，即点，

由已知可得，解得，

所以，

，

当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.

20．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点，分别为棱，的中点.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行；

（2）利用向量法求直线与平面所成角的正弦值．

【详解】（1）证明：因为平面，，，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，

则，，，

设平面的一个法向量为，

则，令，则，，

则平面的一个法向量为，

所以，则，又平面

平面；

（2）解：由（1）得，所以，

设直线与平面所成角为．

．

直线与平面所成角的正弦值为．

21．已知圆．

(1)直线过点，且与圆C相切，求直线的方程；

(2)设直线与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求的面积S的最大值．

【答案】(1)x＝－1或4x－3y＋7＝0

(2)

【分析】（1）根据直线的斜率是否存在，分别设出直线方程，再根据圆心到直线的距离等于半径，即可解出；

（2）根据弦长公式求出，再根据几何性质可知，当时，点P到直线距离的最大值为半径加上圆心到直线的距离，即可解出．

【详解】（1）由题意得C（2，0），圆C的半径为3．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－l＝k（x＋1），即kx－y＋k＋1＝0，

由直线与圆C相切，得，解得，所以直线的方程为4x－3y＋7＝0．

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然与圆C相切．

综上，直线的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0．

（2）由题意得圆心C到直线的距离，

设圆C的半径为r，所以r＝3，所以，

点P到直线距离的最大值为，

则的面积的最大值．

22．如图，在正四棱锥P－ABCD中，AC，BD交于点O，，．

(1)求二面角的大小；

(2)在线段AD上是否存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为？若存在，指出点Q的位置；若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，当Q为AD上靠近A的四等分点时，PQ与平面APB所成角的正弦值为

【分析】（1）如图建系，求得各点坐标，进而可得坐标，即可求得平面PAB的法向量，根据线面垂直的性质及判定定理，可证平面，则即为平面的法向量，根据二面角的向量求法，即可得答案.

（2）假设存在点Q满足题意，设，因为，即可求得Q点坐标，进而可得坐标，根据线面角的向量求法，代入公式，计算可得值，即可得答案.

【详解】（1）由题意得平面ABCD，且，

以O为原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴正方向建系，如图所示

所以，

所以，

设平面PAB的法向量，

则，即，

令，可得，所以，

因为平面ABCD，平面ABCD，

所以，

又因为，，平面PAC，

所以平面，

所以即为平面的法向量，

所以，

又，由图象可得二面角为锐二面角，

所以二面角的大小为

（2）假设线段AD上存在一点Q，满足题意，

设，因为，

所以，解得，

所以，则，

因为平面PAB的法向量，

设得PQ与平面APB所成角为

所以，

解得或（舍）

所以在线段AD上存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为，此时，即Q为AD上靠近A的四等分点，