2022-2023学年山东省济宁市泗水县高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省济宁市泗水县高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知、分别表示随机事件A、B发生的概率，那么是下列哪个事件的概率（    ）

A．事件A、B同时发生 B．事件A、B至少有一个发生

C．事件A、B都不发生 D．事件A、B至多有一个发生

【答案】D

【分析】根据对立事件的概念，即可判断.

【详解】表示随机事件、同时发生，所以就是事件、至多有一个发生.

故选：D

2．直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（    ）

A．6 B．2

C．12 D．16

【答案】B

【分析】求出直线过的定点，得到圆心到直线的距离的最大值，从而得到弦长|AB|的最小值.

【详解】因为直线y＝kx－1过定点(0，－1)，

故圆C的圆心C(－3，3)到直线y＝kx－1的距离的最大值为＝5.

又圆C的半径为6，故弦长|AB|的最小值为.

故选：B

3．空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用向量的加减法，将分解用表示即可.

【详解】由图可知：，

即，

故选：B

4．已知集合，任取，则的概率为（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合间的元素关系及古典概型计算公式求解即可.

【详解】解：因为集合

所以，且，则集合中6个元素，有3个在集合中，

则任取，则的概率为.

故选：C.

5．如图，在平行六面体中，（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.

【详解】解：

；

故选：C

6．直线的倾斜角的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设直线的倾斜角为，可得，根据正切函数的性质可得结果.

【详解】直线，

所以直线的斜率，

又，所以，

又

所以

故选：.

7．抛掷一枚骰子，向上的一面的点数中（    ）

①“大于3点”与“小于2点”； ②“大于3点”与“小于3点”；

③“大于3点”与“小于4点”； ④“大于3点”与“小于5点”．

其中是互斥事件但不是对立事件的有（    ）

A．①② B．①②③ C．③④ D．①③④

【答案】A

【分析】由互斥事件与对立事件的定义求解即可

【详解】对于①：“大于3点”与“小于2点”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥不对立事件，故①正确；

对于②：“大于3点”与“小于3点”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥不对立事件，故②正确；

对于③：“大于3点”与“小于4点”不能同时发生，但必有一个发生，是互斥且对立事件，故③错误；

对于④：“大于3点”与“小于5点”能同时发生，比如4点，故不是互斥事件，故④错误；

故选：A

8．某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为、，两人能否获得满分相互独立，则下列说法正确的是（    ）．

A．两人均获得满分的概率为

B．两人至少一人获得满分的概率为

C．两人恰好只有甲获得满分的概率为

D．两人至多一人获得满分的概率为

【答案】A

【分析】利用独立事件同时发生的概率公式和对立事件概率公式计算各自的概率，进而作出判定

【详解】解：∵甲、乙两人能得满分的概率分别为、，

两人能否获得满分相互独立，分别记甲，乙能得满分的事件为M，N，

则，，M，N相互独立，

∴两人均获得满分的概率为，故A正确；

两人至少一人获得满分的概率为，故B错误；

两人恰好只有甲获得满分的概率为，故C错误；

两人至多一人获得满分的概率为，故D错误．

故选：A．

二、多选题

9．已知直线：，则下列说法正确的是（    ）．

A．直线的斜率可以等于0 B．直线恒过点

C．若直线与轴的夹角为，则或 D．若直线在两坐标轴上的截距相等，则

【答案】BC

【分析】根据题意由直线的相关知识，逐个分析即可．

【详解】当时，直线的斜率不存在，

当时，直线的斜率为，不可能等于0，故A选项错误；

直线与轴的夹角为，直线的倾斜角为或，又直线的斜率为，

或或，故C选项正确；

直线的方程可化为，

所以直线过定点，故B选项正确；

当时，直线在轴上的截距不存在，

当时，令，得，令，得，

令，得，故D选项错误，

故选：BC．

10．下列说法正确的是（    ）

A．抛掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是3的概率为

B．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，，则题被解出的概率是

C．某小组由5名学生组成，其中3名男生，2名女生，现从中任选两名学生参加演讲比赛，至少有一名男生与至少有一名女生是互斥事件

D．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是

【答案】AD

【分析】结合古典概型概率公式求得概率判断AD，由独立事件同时发生的概率公式结合对立事件概率公式求解后判断B，根据互斥事件的定义判断C．

【详解】A．至少有一枚骰子的点数是3，即只有一枚骰子的点数是3，或两枚骰子的点数都是3，概率为，A正确；

B．由独立事件同时发生的概率公式得题被解出的概率为，B错；

C．如果选出的两名学生是一男一女，则两个事件同时发生，它们不是互斥事件，C错；

D．两位男生和两位女生随机排成一列，总排法为，两位女生不相邻的排法为，概率为，D正确．

故选：AD．

11．已知空间中三点，，，则（    ）

A．与是共线向量

B．与向量方向相同的单位向量坐标是

C．与夹角的余弦值是

D．在上的投影向量的模为

【答案】BD

【分析】求出向量坐标，，，由空间向量共线定理判断A，求出判断B，根据向量夹角公式计算判断C，求出在上的投影，其绝对值为投影向量的模，判断D．

【详解】由已知，，，

，因此与不共线，A错；

，所以与向量方向相同的单位向量坐标是，B正确；

，，

，C错；

在上的投影是，所以投影向量的模为，D正确

故选：BD．

12．下列说法正确的是（       ）

A．若事件与互斥，则是必然事件

B．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国四大名著．现有这四大名著各一本，甲、乙、丙、 丁分别任取一本进行阅读，设事件“甲取到《红楼梦》”，事件“乙取到《红楼梦》”，则与是互斥但不对立事件

C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件“向上的点数不大于”，事件“向上的点数为质数”，则

D．个产品中有个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则含有个基本事件

【答案】BCD

【分析】根据互斥事件、必然事件、对立事件的定义可知AB正误；写出事件即可知C正确；列举出基本事件即可知D正确.

【详解】对于A，事件与互斥，若，则不是必然事件，A错误；

对于B，事件与事件不能同时发生，事件与事件是互斥事件；

事件不发生时，事件也未必发生，事件与事件不是对立事件；B正确；

对于C，，，，C正确；

对于D，检查产品的质量，则基本事件有{正品}、{次品}，共个，D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．已知，若与平行，则___________.

【答案】

【分析】根据空间平行向量的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】因为，

所以，，

因为与平行，

所以有，

故答案为：

14．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为________.

【答案】

【分析】由已知，根据题意建立空间直角坐标系，分别表示出各点坐标，然后通过异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，即可列式计算.

【详解】

以D为原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.

正方体的棱长为2，则A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0).

所以,,

所以，

所以，解得或（舍去）.

故答案为：.

15．甲、乙、丙三人被系统随机地预约到，，三家医院接种新冠疫苗，每家医院恰有1人预约．已知医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体新冠疫苗，医院接种的是需要打两针的灭活新冠疫苗，医院接种的是需要打三针的重组蛋白新冠疫苗，则甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且乙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的概率等于_________．

【答案】##

【分析】用列举法结合古典概型的概率公式求解即可

【详解】甲、乙、丙三人被系统随机地预约到三家医院接种新冠疫苗的情况有

，，共6种，

其中甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且乙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的情况有3种，

故概率为

故答案为：

四、双空题

16．圆与圆的公共弦所在直线的方程为______________，公共弦长为________.

【答案】         

【分析】根据两圆的方程可求公共弦的方程，根据公式可求公共弦长.

【详解】联立两圆的方程得，

两式相减并化简，得，此即两圆公共弦所在直线的方程.

由得，

圆的圆心坐标为，半径，

圆心到直线的距离为.

设公共弦长为，由勾股定理得，即，解得，

故公共弦长为.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知直线方程为.

(1)若直线的倾斜角为，求的值;

(2)若，直线分别与轴、轴交于两点，为坐标原点，求面积.

【答案】(1)

(2)4

【分析】（1）由斜率与倾斜角的关系直接求解，

（2）由直线方程求出两点坐标，从而可求出的面积.

【详解】（1）直线方程为

因为直线的倾斜角为，

所以斜率，

（2）当时，，即，

当时，，

当时，，

所以，

所以的面积为.

18．甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B．事件A与B是相互独立的．求：

(1)两人都射中的概率；

(2)两人中恰有一人射中的概率；

【答案】(1)0.72

(2)0.26

【分析】（1）由题意，根据独立事件概率相乘，可得答案；

（2）根据事件之间的关系，结合互斥事件概率加法公式以及独立事件的性质，可得答案.

【详解】（1）两人都射中的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.8×0.9＝0.72．

（2）两人中恰有一人射中的概率为.

19．已知空间中三点，，，设，.

(1)求向量与向量的坐标；

(2)若与互相垂直，求实数的值.

【答案】(1)，；

(2)或.

【分析】（1）根据空间向量坐标表示公式进行求解即可；

（2）根据空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】（1），；

（2）∵，，

且与互相垂直，

∴

解得或.

20．已知圆E经过点，，且______.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①与y轴相切；②圆E恒被直线平分；③过直线与直线的交点

(1)求圆E的方程；

(2)求过点的圆E的切线方程，并求切线长.

【答案】(1)

(2)切线方程为或，切线长

【分析】（1）根据题意设出圆的一般方程或标准方程，对①②③逐个分析，求出圆的标准方程即可；（2）先判断点P在圆外，知切线有两条，分情况讨论即可.

【详解】（1）选①，设圆E的方程为，

由题意可得，解得，

则圆E的方程为

选②，直线恒过，

而圆E恒被直线平分，

所以恒过圆心，因为直线过定点，

所以圆心为，可设圆的标准方程为，

由圆E经过点，得，

则圆E的方程为

选③，由条件易知，

设圆的方程为，

由题意可得，解得，

则圆E的方程为，即

（2）因为，所以点P在圆E外，

若直线斜率存在，设切线的斜率为，

则切线方程为，即

所以，解得

所以切线方程为，

若直线斜率不存在，直线方程为，满足题意.

综上过点的圆E的切线方程为或，

切线长

21．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，高为4.

(1)证明：

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明向量数量积等于零来证明；(2)计算平面的法向量，根据与法向量的夹角与与平面所成角互余求解.

【详解】（1）（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴

建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，,

，，

=,,即 .

（2）由(1)得，，

设平面的一个法向量为，

则取

因为与法向量所成的角和与平面所成的角互余，

所以，直线与平面所成角的正弦值为.

22．已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的直线'与圆相交于两点．

(1)求圆的标准方程；

(2)当时，求直线'的方程．

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】(1)根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式求出圆的半径，结合圆心即可求出圆的方程；

(2)如图取的中点Q，连接AQ，则，结合点直线的距离公式和几何法求弦长可得，根据直线斜率存在和不存在分类讨论，即可求解.

【详解】（1）设圆A的半径为r，由题意知，

圆心到直线l的距离为，即，

所以圆A的方程为；

（2）当直线与x轴垂直时，直线方程为，即，

点A到直线的距离为1，此时，符合题意；

当直线与x轴不垂直时，设，即，

取的中点Q，连接AQ，则，

因为，所以，

又点A到直线的距离为，

所以，解得，所以直线方程为.

综上，直线的方程为或.