2023-2024学年江苏省徐州市第七中学高二上学期9月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省徐州市第七中学高二上学期9月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直线方程可整理得到斜率，由斜率和倾斜角关系可求得结果.
【详解】由得：，
直线的斜率，直线的倾斜角为.
故选：C.
2．已知，，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB的中点的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据中点坐标公式可得直线在轴截距，根据截距式即可求解直线的截距式方程.
【详解】由中点坐标公式可得线段AB的中点为，故可知轴上的截距为4，故直线的方程为.
故选：B
3．以点为圆心，与轴相切的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据圆与轴相切得出半径，再根据圆心和半径写出圆的标准方程.
【详解】由题知，圆心为，
因为圆 与轴相切，所以圆的半径，
所求圆的方程为.
故选：C.
4．若点P在直线上，且P到直线的距离为，则点P的坐标为
A．B．C．或D．或
【答案】C
【详解】试题分析：设，解方程得或，所以P点坐标为或
【解析】点到直线的距离
5．若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】由题意可设直线的方程为：，则满足关系式，化简得，对进行分类讨论即可求解.
【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，，
又点在直线上，所以，，
又三角形的面积为16，所以，，
所以，整理得；
当时，方程变为，解得或满足题意，
将和分别代入，解得对应的分别为；
当时，方程变为，解得或满足题意，
将和分别代入，解得对应的分别为；
综上所述：满足题意的直线为：，共有4条.
故选：D.
6．已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．
【答案】A
【分析】由题意，作图，利用已知两点坐标计算斜率，可得答案.
【详解】
由，则直线的斜率，
由，则直线的斜率，
由图可知，，解得.
故选：A.
7．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】直线l：恒过定点，
由，得到，
所以曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，），如下图所示：

当直线l经过点时，l与曲线C有两个不同的交点，此时，
当l与半圆相切时，由，得，
由图可知，当时，l与曲线C有两个不同的交点，
故选：A.
8．设直线，圆，若在圆上存在两点，，在直线上存在一点，使，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为到直线的距离小于或等于2，再由点到直线的距离公式得到关于的不等式，求解即可.
【详解】圆：，圆心为：，半径为，
因为在圆上存在两点，，在直线上存在一点，使得，
所以在直线上存在一点，使得到的距离等于2，
所以只需到直线的距离小于或等于2，
故，解得
故选：A
【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法.
二、多选题
9．（多选题）已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为B．圆的圆心为
C．圆的半径为5D．圆被轴截得的弦长为6
【答案】ACD
【分析】由圆的标准方程，可得出圆的圆心、半径，可知AC正确，令，求出值，进而可求出圆被轴截得的弦长，即可选出答案.
【详解】圆，故圆心为，半径为，则AC正确，B错误；
令，得，解得或，即圆被轴截得的弦长为6，即D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查圆的标准方程，考查弦长，考查学生对基础知识的掌握.
10．若圆上恰有相异两点到直线的距离等于，则的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】求出圆心到直线的距离，使得圆心到直线的距离与半径的差的绝对值小于，即可满足题意．
【详解】圆心到直线的距离，
因为圆上恰有相异两点到直线的距离等于，
所以， 即，
解得，
结合选项可知，BC正确，
故选：BC．
11．已知直线l过点P（－1，1），且与直线以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与直线l1的斜率互为相反数B．所围成的等腰三角形面积为1
C．直线l关于原点的对称直线方程为D．原点到直线l的距离为
【答案】ACD
【分析】由题直线l与直线的倾斜角互补，可求直线l方程，即可判断.
【详解】由题意可知直线l与直线的倾斜角互补，

所以直线l的斜率为－2，故A正确；
直线l过点P（－1，1），
∴直线方程l为：,
所以所围成的等腰三角形面积为，故B错误；
所以直线l关于原点的对称直线方程为，故C正确；
所以原点到直线l的距离为，故D正确.
故答案为：ACD.
12．设，过定点的直线与过定点的直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线与直线垂直
B．的最大值为
C．点的轨迹方程为
D．的最小值为
【答案】AD
【分析】A选项，根据两直线垂直满足的关系式进行判断；B选项，求出和，由⊥，得到，再结合基本不等式得到答案；C选项，分析得到，点的轨迹为以为直径的圆，求出轨迹方程；D选项，设的中点为，求出，得到点轨迹方程，进而得到的最小值为圆心距减去两半径，结合求出答案.
【详解】对于A：因为，所以一定垂直，故A正确；
对于B：变形得到，令，解得，从而，
变形得到，令，解得，从而，
由⊥，由勾股定理得，
由基本不等式可得，故，
当且仅当时等号成立，故B错误；
对于C：由B可知，点的轨迹为以为直径的圆，其中线段的中点坐标为，半径为，
此时圆的方程为，
又当时直线，直线，此时两直线的交点为，
点在圆上，
当时直线的斜率存在且不为，
直线的斜率也存在，
此时点不在直线与上，所以点不为与的交点，
故点的轨迹方程为（除点外），故C错误；
对于D：圆的圆心为，半径为，
设的中点为，由垂径定理得，

故点的轨迹方程为，
因为点轨迹方程为，
则的最小值为圆心距减去两半径，即，
其中，
所以的最小值为，故D正确.
故选：AD
三、填空题
13．已知直线，若，则 ．
【答案】2
【分析】由题知，进而解方程并检验即可得答案.
【详解】解：因为直线平行，
所以，，即，解得：或
当时，，显然重合，舍；
当时，，满足.
所以，
故答案为：
14．已知过点的直线l被圆所截得的弦长为8，则直线l的方程为 .
【答案】或．
【分析】求出圆的圆心、半径，当直线的斜率不存在时，直线方程为，成立；当直线的斜率存在时，设直线，求出圆心到直线的距离，由过点的直线被圆所截得的弦长为8，利用勾股定理能求出直线的方程．
【详解】圆的圆心为，半径，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，
联立，得或，
直线被圆所截得的弦长为8，成立；
当直线的斜率存在时，设直线，
圆心到直线的距离，
过点的直线被圆所截得的弦长为8，
由勾股定理，得，
即，解得，
直线，整理，得．
综上直线的方程为或．
故答案为：或．
15．在平面直角坐标系中，点，，若直线上存在点使得，则实数的取值范围是 ．
【答案】.
【分析】设由，求出点轨迹方程，可判断其轨迹为圆，点又在直线，转化为直线与圆有公共点，只需圆心到直线的距离小于半径，得到关于的不等式，求解，即可得出结论.
【详解】设，，，
，
整理得，又点在直线，
直线与圆共公共点，
圆心到直线的距离，
即.
故答案为:.
【点睛】本题考查求曲线的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题.
16．在平面直角坐标系中，定义两点之间的折线距离为，设点是圆上一点，点是直线上一点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】结合图形，易知定点到直线上一点的折线距离的最小值等于该点到直线的水平距离或竖直距离中较小的一个，先求出圆上的点到直线距离的最小值，然后即可得出答案.
【详解】结合图形，易知定点到直线上一点的折线距离的最小值等于该点到直线的水平距离或竖直距离中较小的一个，
直线的倾斜角为，斜率为，则，
因此，定点到直线上一点的折线距离的最小值等于该点到直线的竖直距离，
圆心到直线的距离为，
因此圆上的点到直线的最小距离为，
故圆上的点到直线的最小折线距离为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知直线的方程为，若直线过点，且.
(1)求直线和直线的交点坐标；
(2)已知直线经过直线与直线的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）求出直线的方程与方程联立求解交点坐标即可；
（2）分类讨论，截距都为0与截距都不为0两种情况求解的方程即可.
【详解】（1）因为直线过点，且，
所以直线的方程为，即，
联立，解得，，
所以直线和直线的交点坐标为；
（2）当直线在两坐标轴上的截距都为0时，此时直线方程为，
当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，此时可设直线方程为，
因为直线过，
所以，
所以，此时直线方程为，即，
综上直线的方程为或.
18．已知的三个顶点是．
(1)求边的高所在直线的方程；
(2)若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）求出直线的斜率，则可求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线的方程，
（2）由题意分直线与平行和直线通过的中点两种情况求解.
【详解】（1）因为，所以边的高所在直线的斜率为，
所以边上高所在直线为
即．
（2）因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点，
①当直线与平行,
所以，所以，即．
②当直线通过的中点，
所以，所以，即．
综上：直线的方程为或．
19．已知直线和圆，
(1)当为何值时，截得的弦长为2；
(2)若直线和圆交于两点，此时，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用弦长求出圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式即可列式求解；
（2）先利用平面几何知识求出圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式即可列式求解.
【详解】（1）设为圆心到直线的距离，则由题意知，即，所以，
又由于圆的圆心为，
所以圆心到直线的距离，所以，
即当时，直线被圆截得的弦长为2.
（2）由于，所以组成等腰直角三角形，

所以圆心到直线的距离，
所以，所以，
即当时，直线和圆交于两点，且.
20．已知圆的圆心在直线上，且与直线：相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）求过点与圆相切的直线方程.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）先得到过点且与直线：垂直的直线方程，与联立求得圆心即可；
（2）若过点的直线斜率不存在，即直线是判断，若过点的直线斜率存在，设直线方程为，再根据直线与圆相切求解.
【详解】（1）过点与直线：垂直的直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
由，解得.
所以.
故圆的方程为：.
（2）①若过点的直线斜率不存在，即直线是，与圆相切，符合题意；
②若过点的直线斜率存在，设直线方程为，
即，
若直线与圆相切，则有，
解得.
此时直线的方程为，即.
综上，切线的方程为或.
21．已知圆C过点，，且圆心C在直线上.
(1)求圆C的方程；
(2)若点P在圆C上，点，M为AP的中点，O为坐标原点，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设圆的方程为：，将、，两点坐标代入圆的一般方程，将圆心代入，得出关于的方程组，解出这三个未知数的值，可得出圆的一般方程.
（2）设，，计算出点的轨迹方程，得到其轨迹方程为，分析出OM与圆相切时最大，计算即可得到答案.
【详解】（1）设圆的方程为：，
则有，解得．
∴圆的方程为：．
（2）由（1）知圆，
设，，
则，所以
又P在圆上，

所以，
所以，
即M的轨迹方程为.
数形结合易知，当OM与圆相切时，取最大值，
此时，
.
所以的最大值为.
22．在平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论.
【答案】(1)，且
(2)（，且）；
(3)过定点和，证明见解析.
【分析】（1）令得抛物线与轴交点，此交点不能是原点；令，则方程＞0，即可求的范围．
（2）设出所求圆的一般方程，令得到的方程与是同一个方程；令得到的方程有一个根为，由此求得参数及圆的一般方程．
（3）把圆方程里面的合并到一起，令的系数为零，得到方程组，求解该方程组，即得圆过的定点．
【详解】（1）令得抛物线与轴交点是；
令，
由题意，且，解得，且．
即实数的取值范围，且．
（2）设所求圆的一般方程为，
由题意得函数的图像与两坐标轴的三个交点即为圆和坐标轴的交点，
令得，，由题意可得，这与是同一个方程，故，．
令得，，由题意可得，此方程有一个根为，代入此方程得出，
∴圆的方程为（，且）．
（3）把圆的方程改写为，令，
解得或，故圆过定点和．