2022-2023学年河南省禹州市高级中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省禹州市高级中学高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据并集的定义计算．

【详解】，，

∴.

故选：D.

2．复数的虚部为（    ）

A．1 B．－1 C．i D．－i

【答案】B

【分析】根据复数的运算即可化简复数，然后根据虚部的概念即可求解.

【详解】，∴虚部为－1．

故选：B

3．已知，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可.

【详解】因为，所以，

所以，

所以在上的投影向量为

故选：B

4．已知为空间两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，，则

【答案】B

【分析】对于选项A，平行于同一平面的两直线不一定平行，故选项A错误；

对于选项B，垂直于同一平面的两直线平行，故选项B正确；

对于选项C，与同一直线平行的两个平面可能相交，故选项C错误；

对于选项D，分别在两个平行平面内的两直线可能异面，故选项D错误.

【详解】由为两条不同的直线，为两个不同的平面，

对于选项A，若，,则与平行，相交或异面，故选项A错误；

对于选项B，若，，则，故选项B正确；

对于选项C，若，，则与平行或相交，故选项C错误；

对于选项D，若，，，则与平行或异面，故选项D错误.

故选：B.

5．社会实践课上，老师让甲、乙两同学独立地完成某项任务，已知两人能完成该项任务的概率分别为，，则此项任务被甲、乙两人完成的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】从对立事件出发，求出此项任务不能完成的概率，即可得能被完成的概率.

【详解】解：依题意，此项任务不能完成的概率为，

此项任务被甲乙两人完成的概率为.

故选:D.

6．将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，则下列结论中正确的是（    ）

A．函数的图象关于点对称

B．函数的最小正周期是

C．函数在单调递减

D．函数在的最小值是-3

【答案】C

【分析】利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再利用余弦函数的对称性可判断A;利用周期公式，判断B;根据余弦函数的单调性，判断C,D.

【详解】由已知可得，

对于A, 由于当时，为函数最大值，故函数的图象不关于点，对称，故错误；

对于B, 函数的最小正周期是,故B错误；

对于C,当时，，此时g（x）单调递减．故C正确；

对于D, 当时，，此时g（x）单调递减． ，故D错误，

故选：．

7．数据，，，…，的平均数为，方差，则数据，，，…，的标准差为（    ）

A．6 B．7 C．12 D．36

【答案】A

【分析】利用方差的性质计算可得答案.

【详解】数据，，，…，的方差，则数据，，，…，的方差为，标准差为.

故选：A.

8．在中，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据结合数量积的运算律求出，再利用余弦定理即可得解.

【详解】解：，

∴，

∴，

∴．

故选：A.

9．已知，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用对数的运算性质可得，再利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】由得，则且，．

．

因为，当且仅当时取等号，

所以，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.

故选：C.

10．已知，是以为直径的圆上的动点，且，则的最大值是（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【分析】建系，把表示出来，结合辅助角公式及三角函数的有界性，即可求得最大值．

【详解】解：如图，以圆心为原点，直径所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，

则，设，

∴，

∴

，

设，则，

即的最大值是2.

故选：A.

【点睛】本题考查平面向量及辅助角公式的综合运用，旨在考查学生的数形结合思想．

11．已知，，则向量与的夹角为（    ）

A．90° B．60° C．30° D．0°

【答案】A

【分析】结合空间向量的夹角坐标运算公式以及三角恒等变换化简求出夹角的余弦值，进而可得到结果.

【详解】因为，，

所以，，

设向量与的夹角为，则

，

因为，所以，故向量与的夹角为，

故选：A.

12．已知，若关于x的方程（m为常数）在（0）内有两个不同的解a，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据诱导公式、同角的三角函数关系式，结合换元法、二次函数的对称性进行求解即可.

【详解】因为，

所以，

整理得：，

因为，所以，令，

即函数，显然该函数的对称轴为，

因为关于x的方程（m为常数）在（0）内有两个不同的解a，，所以有，，

因此，

故选：A

二、填空题

13．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为______．

【答案】

【分析】空间直角坐标系中任一点 关于坐标平面 的对称点 ，写出结果即可

【详解】由题意可得：点关于 平面的对称点的坐标是 ，

故答案为：

14．在中，，用斜二测画法画出的直观图，则该直观图的面积为______.

【答案】

【分析】根据题意计算出原图的面积，由直观图与原图的面积之比为，计算可得答案.

【详解】如图所示，作出底边上的高，

则，

所以，

所以该直观图的面积.

故答案为：.

15．有三点、、，则与向量、同时垂直的单位向量为______．

【答案】或

【分析】先利用题意算出，，设与向量、同时垂直的向量为，利用垂直关系算出，即可得到答案

【详解】解：因为、、，

所以，，

设与向量、同时垂直的向量为，

所以，令，解得，

所以，

所以与向量、同时垂直的单位向量为或

故答案为：或

16．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为，则方亭的体积为______.

【答案】

【分析】分析可知，设，则，过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、，根据正四棱台的侧面积计算出的值，再利用台体的体积公式可求得结果．

【详解】解：由题意得，设，则，.

过点，在平面内分别作，，垂足分别为点、，

在等腰梯形中，因为，，，则四边形为矩形，

所以，，则，

因为，，，

所以，所以，

在中，由勾股定理得，

所以等腰梯形的面积为，所以.

所以，，方亭的高，

故方亭的体积为.

故答案为：

三、解答题

17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.

(1)若，求b；

(2)若，求的面积S.

【答案】(1)

(2)

【分析】第（1）问中，由正弦定理即可得b.

第（2）问中，由余弦定理和面积公式即可求解.

【详解】(1)由，，得，所以，

因为正弦定理得，所以.

（或，所以）

(2)由余弦定理，得，即，

化简得，所以，或（舍去）.

所以.

18．已知.

(1)求；

(2)求与夹角的余弦值；

(3)当时，求实数的值.

【答案】(1)-10

(2)

(3)或

【分析】（1）根据空间向量的坐标运算律,即可求解.

（2）根据空间向量的夹角公式,代入求解.

（3）由,转化为数量积为0即可.

【详解】(1)；

(2)；

(3)当时，，得，

，或.

19．俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查.现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)求样本中数据落在的频率；

(2)求样本数据的第50百分位数；

(3)若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在组的概率.

【答案】(1)0.4

(2)52.5

(3)

【分析】(1)利用概率和为1求解；

(2)由题意可得样本数据的第50百分位数落在第四组，再按百分数位定义求解即可;

(3)先求出抽取人数中年龄在的有2人，在[60,70]的有4人，用列举法求解即可.

【详解】(1)解：依题意，样本中数据落在为；

(2)解：样本数据的第50百分位数落在第四组，且第50百分位数为.

(3)解：与两组的频率之比为，

现从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，则组抽取2人，记为a，b，

组抽取4人，记为1，2，3，4.

所有可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，，共15种.

其中至少有1人的年龄在的情况有，，，，，，，，，共9种，

记“抽取的2人中至少有1人的年龄在组”为事件A，则.

20．已知.

(1)若，且，求的值；

(2)求的最小正周期和单调递减区间.

【答案】(1)

(2)最小正周期为，单调递减区间为

【分析】（1）求出代入可得答案；

（2）利用正余弦的二倍角公式和两角和的正弦展开式化简可得，再用正弦的周期公式和单调递减区间可得答案.

【详解】(1)若，且，则，

所以；

(2)，

所以的最小正周期为，

由，，

得，.

所以的单调递减区间为.

21．如图，在直三棱柱中，，，M为AB的中点．

(1)证明：平面；

(2)求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接交AC于点N，连接，则由三角形中位线定理可得，然后由线面平行的判定定理可证得结论，

（2）由，利用等体积法求解

【详解】(1)连接交于点，则为中点，连接，

∵M为AB中点，∴，

∵平面，平面，

∴//平面，

(2)∵，，∴AC⊥平面，

∴，

∵在直三棱柱中，，，M为AB的中点．

∴，，

∵为中点，

∴，

∴，

∴

设点到平面的距离为h，由得

，解得．

22．已知函数（且）.

(1)求函数的定义域，并判断的奇偶性；

(2)是否存在实数m，使得不等式成立？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)定义域为，奇函数

(2)存在，当时，，当时，

【分析】（1）由对数函数的性质求定义，由奇偶性定义判断奇偶性；

（2）分类讨论得函数的单调性，则单调性解不等式可得，注意对数函数的定义域．

【详解】(1)由得.所以的定义域为，

因为函数的定义域关于原点对称，且，

所以为奇函数.

(2)①当时，在上为增函数，假设存在实数m，使得不等式成立，则，解得.

②当时，在上为减函数，假设存在实数m，使得不等式成立，则，解得.

综上，①当时，存在，使得不等式成立；②当时，存在，使得不等式成立.