2022-2023学年黑龙江省双鸭山市饶河县饶河县高级中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省双鸭山市饶河县饶河县高级中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则中元素的个数为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．无数个

【答案】C

【分析】利用列举法表示出集合，即可判断；

【详解】解：，

故集合中含有个元素；

故选：C

2．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】由题意：钱大姐常说“好货不便宜”，可得“好货” “不便宜”，故必要性成立，

但没说“不便宜的是好货”，故“不便宜” “好货”，故充分性不成立，

“不便宜”是“好货”的必要不充分条件；

故选：B

3．已知函数，若，则（    ）

A．1或 B．或 C．或5 D．1或5

【答案】A

【分析】分类讨论求分段函数对应函数值的自变量值即可.

【详解】当时，得：；

当时，得：；

综上，或.

故选：A

4．已知为虚数单位，复数，则复数z的虚部是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据复数的除法解得，再结合虚部概念理解判断.

【详解】∵

∴复数z的虚部是

故选：B.

5．已知，且，则（    ）

A．3 B．6 C．12 D．18

【答案】D

【分析】先由指数式化为对数式，利用换底公式得到，从而得到，计算出.

【详解】由得：，

由换底公式可得：，

则，

所以，

因为，

所以

故选：D

6．在中，已知，，，则角的大小为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】根据正弦定理理解三角形，根据边角关系，可得答案.

【详解】由正弦定理，可得，则，由，则，

由，则或.

故选：C.

7．设 ，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数单调性及中间值比较大小.

【详解】因为在上单调递减，，

所以，

因为，在定义域上单调递增，

所以，，

故.

故选：D

8．已知正四棱锥的侧棱长为3，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为，则该正四棱锥的体积是（    ）

A． B． C．18 D．27

【答案】A

【分析】根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理即可求解长度，进而由体积公式即可求解.

【详解】如图，设正四棱锥的底面边长 ，高为，外接球的球心为,

则，

∵球的体积为，所以球的半径，

在中，则，

在中，，

解得,，

所以正四棱锥的体积，

故选:A

二、多选题

9．连续掷两次骰子，设先后得到的点数为m，n，则（    ）

A．的概率为 B．m是偶数的概率为

C．的概率为 D．m>n的概率为

【答案】ABC

【分析】根据古典概型的知识求得正确答案.

【详解】连续掷两次骰子，基本事件有：

，

，

，

，

，

，

共种，

其中的有：，共种，概率为，A选项正确.

是偶数的有：

，

，

，

共种，概率为，B选项正确.

的有：，共种，概率为，C选项正确.

的有：

，，，

， ，

共种，概率为，D选项错误.

故选：ABC

10．PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在以下，空气质量为一级，在，空气质量为二级，超过为超标.如图是某地12月1日至10日的PM2.5（单位：）的日均值，则下列说法正确的是（    ）

A．这10天中有3天空气质量为一级

B．从3日到6日PM2.5日均值逐渐升高

C．这10天中PM2.5日均值的中位数是45

D．这10天中PM2.5日均值的极差是48

【答案】AB

【分析】根据中位数和极差定义可判断CD，根据表中数据可判断AB.

【详解】由图可知：第1天、第3天、第4天空气质量为一级，A正确；

从3日到6日PM2.5日均值逐渐升高，B正确；

由图可知，这10天中PM2.5日均值的中位数为，C错误；

这10天中PM2.5日均值的极差是，D错误.

故选：AB

11．已知圆过点，且与圆相切于原点，直线则下列结论中，正确的有（    ）

A．圆的方程为 B．直线过定点

C．直线被圆所截得的弦长的最小值为 D．直线被圆截得的弦长有最大值时，则

【答案】AC

【分析】设，根据题意列方程组解得可判断A，根据直线方程可求出直线所经过的定点判断B，再根据圆心到直线的距离的最大值可得直线被圆所截得的弦长的最小值可判断C，根据直线被圆截得的弦长最大时，直线过圆心可判断D.

【详解】设，圆的圆心，半径为，

则，解得，

所以圆的方程为，故A正确；

因为，即，

由得，所以直线过定点，故B错误；

设圆心到直线的距离为，

则，当且仅当时，等号成立，

所以弦长，

所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故C正确；

直线被圆截得的弦长最大时，则直线过圆心，

所以，即，故D错误.

故选：AC.

12．矩形ABCD中，，，沿对角线AC将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论正确的有（    ）

A．四面体ABCD的体积为

B．点B与D之间的距离为

C．异面直线AC与BD所成角为45°

D．直线AD与平面ABC所成角的正弦值为

【答案】ACD

【分析】分别作，垂足为E，F，利用向量法求出，可判断B，由题可得平面，然后利用棱锥的体积公式可得可判断A，利用向量法求出判断C，根据等积法结合条件可得直线AD与平面ABC所成角的正弦值判断D.

【详解】分别作，垂足为E，F，则，

由已知可得，，

因为，

所以

，

所以，故B错误；

因为，，

所以，即，

同理，

又，平面，

则平面，

所以四面体ABCD的体积为，故A正确；

由题可得，，，

则

，

则，得，

所以异面直线与所成的角为，故C正确；

设点到平面为，则，

所以，

所以，

设直线AD与平面ABC所成角为，则，故D正确.

故选：ACD．

三、填空题

13．方程表示圆，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】化为标准方程后列不等式求解，

【详解】由得，

则，得，

故答案为：

14．若是双曲线上一点，则到两个焦点的距离之差为______.

【答案】

【分析】由双曲线方程可得，根据双曲线定义可求得结果.

【详解】由题意得：双曲线标准方程为，则，

由双曲线定义知：，则.

故答案为：.

15．已知椭圆的两个焦点，，点P在椭圆上，且，则__．

【答案】

【分析】由给定椭圆求出半焦距，再由对称性写出坐标，结合，利用勾股定理和椭圆的定义可列出方程，即可求出，进而可得答案.

【详解】由椭圆知，椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距，

由椭圆对称性不妨令焦点，因点P在椭圆C上，且，

设，，则由，解得

即有，

所以的值为.

故答案为：

16．设点M、N分别是不等边的重心与外心，已知、，且．则动点C的轨迹E______；

【答案】

【分析】设点，由重心坐标和外心坐标，结合圆的几何性质以及列方程，化简后求得轨迹E的方程．

【详解】设点，则的重心，

∵是不等边三角形，∴，

再设的外心，

∵已知，∴MN∥AB，∴，

∵点N是的外心，∴，

即，

化简整理得轨迹E的方程是.

∴动点C的轨迹E是指焦点在轴上的标准位置的一个椭圆（去掉其顶点）．

故答案为：.

【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和曲线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题．

四、解答题

17．（1）若直线过点，且与直线平行，求直线的一般式方程．

（2）若直线过点，且与直线垂直，求直线的斜截式方程．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由题可设直线方程为，进而即得；

（2）设直线方程为，把点坐标代入即得.

【详解】（1）设直线方程为：，将代入方程，得 ，

所以直线方程为 ；

（2）设直线方程为：，将代入方程，得 ，

所以直线方程为，

即直线的斜截式方程为．

18．已知点是椭圆上一点，求点P到点的距离的取值范围．

【答案】

【分析】根据题意可知，由两点之间的距离公式可得，，再根据二次函数的单调性，即可求出结果.

【详解】解：因为点是椭圆上一点，

所以，

又，，

所以，，

设，，

则，

所以函数在区间上单调递减，

所以，，

所以，

所以函数点P到点的距离的取值范围.

19．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．

(1)求第七组的频率；

(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；

(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．

【答案】(1)；(2)平均数为，中位数为；(3)．

【分析】(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率；

(2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数；

(3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率.

【详解】解：(1)第六组的频率为，

∴第七组的频率为．

(2)由直方图得，身高在第一组的频率为，

身高在第二组的频率为，

身高在第三组的频率为，

身高在第四组的频率为，

由于，，

设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，

由得，

所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为

．

(3)第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，

第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，

则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，

因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以．

20．在中，角A,,所对的边为,，,，

，，若

(1)求函数的图象的对称点；

(2)若,且的面积为，求的周长.

【答案】(1)；

(2)20.

【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算，结合两角和的正余弦公式及二倍角公式可得解析式，令即可得对称中心；

（2）由三角形的面积公式及余弦定理即可得周长.

【详解】（1）由得，，

由得，

令

∴ 函数的图象的对称点为；

（2）

∴周长为.

21．在长方体 中，已知 ，E为的中点.

(1)在线段上是否存在点F，使得平面平面？若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由；

(2)设 ，点G在上且满足，求 与平面 所成角的余弦值.

【答案】(1)在线段上存在点F，使得平面平面，且F为线段中点,证明见解析；

(2)

【分析】（1）F为线段中点时，平面平面，先证明平面，继而证明，且，从而四边形是平行四边形，，进而 平面，由此能证明平面平面；

（2）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，求得相关点坐标，求出平面的法向量，利用向量法即可求得与平面 所成角的余弦值.

【详解】（1）在线段上存在点F，使得平面平面，且F为线段中点．

证明：在长方体中，,

∵ 平面，平面,

∴平面，

∵E为 的中点，F为的中点，

∴ ，且，

∴四边形是平行四边形，∴ ，

∵平面，平面，∴ 平面，

∵平面，

∴平面平面.

（2）在长方体中，

以D为坐标原点，所在直线分别轴，建立空间直角坐标系 ，

， ，

 故   ， ，

设平面的法向量为 ，则 ，

取 ，得 ，

 , 设 ，则 ，

则，∴ ，

设与平面所成角为 ，

则 ，

∴ ，

 故与平面所成角的余弦值为.

22．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，过作直线l交椭圆C于M，N两点，的周长为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)在轴上是否存在异于点的定点Q，使得直线l变化时，直线与的斜率之和为0？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，坐标为

【分析】（1）利用椭圆定义和离心率列方程可解；

（2）记点N关于x轴的对称点为，将问题转化为三点能否共线问题，设直线方程联立椭圆方程消元，利用韦达定理代入共线的坐标表示可解.

【详解】（1）由椭圆定义可知的周长为4a，

所以由题可知，解得，所以

所以椭圆C的方程为

（2）如图，设，，记点N关于x轴的对称点为，

易知直线l的斜率不为0，故设其方程为，代入整理可得：

，则

直线与的斜率之和为0，等价于三点共线，

等价于

即，等价于

因为

所以时，恒成立，即直线与的斜率之和为0.

所以，存在定点Q，使得直线l变化时，直线与的斜率之和为0，点Q坐标为