2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第二高级中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第二高级中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先求得直线的斜率，然后根据斜率和倾斜角的关系，求得.

【详解】可得直线的斜率为，

由斜率和倾斜角的关系可得，

又∵

∴

故选：A.

【点睛】本小题主要考查直线倾斜角与斜率，属于基础题.

2．直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线l的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】联立已知两条直线方程求出交点，再根据两直线平行则斜率相同求出斜率即可.

【详解】由得两直线交点为(－1，0)，直线l斜率与相同，为，

则直线l方程为y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0.

故选：B.

3．在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】结合图形，由空间向量的线性运算可得.

【详解】

如图，因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为AC中点，

所以，

所以.

故选：C

4．若椭圆的短轴长是焦距的2倍，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】记椭圆的焦距为，根据题中条件，得到，进而可求出离心率.

【详解】记椭圆的焦距为，

因为椭圆的短轴长是焦距的2倍，

所以，即，所以，即，即，所以，

因此椭圆的离心率为.

故选：B.

5．已知：与：，则两圆的位置关系是（    ）

A．相交 B．相离 C．外切 D．内切

【答案】A

【解析】利用圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的关系可得正确的选项.

【详解】，

故，两圆半径之和为3，半径之差的绝对值为1，

而，故两圆的位置关系是相交，

故选：A.

6．已知为椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】点为椭圆上的动点，，分别为两个圆上的动点，三个点都是动点，需要研究图形的结构特征，注意到两圆的圆心分别是椭圆的左、右焦点，如图，因此可以固定其中两个点，实现动静转化．

由椭圆的定义得到为定值，至于，只需与圆的半径产生联系即可．

【详解】根据椭圆的定义，得，

所以，

即所求取值范围为．

故选：A

7．已知四棱锥中，，，，则点到底面的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出平面的一个法向量，然后求与法向量夹角的余弦值，利用点到面的距离公式即可求解.

【详解】设是平面的一个法向量，

则由题设，即

令，可得， ，所以 ，    

，

，，

，

故点到平面的距离为

故点到平面的距离为，

故选：D．

【点睛】方法点睛：向量方法求点到面的距离

设是平面的一条斜线，是平面的一个法向量，则点到平面的距离为

8．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（    ）

A．6 B． C．8 D．

【答案】B

【分析】利用椭圆的几何性质，得到，，进而利用得出，进而可求出

【详解】解：由椭圆的方程可得，

所以，得

且，，

在中，由余弦定理可得

，

而，所以，，

又因为，，所以，

所以，

故选：B

二、多选题

9．将一个椭圆绕其对称中心旋转，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据对偶椭圆的定义求出，再根据关系逐一判断即可.

【详解】由题意，根据对偶椭圆定义，在椭圆标准方程中，，则，

，，，，是对偶椭圆；

B，，，不满足，不是对偶椭圆；

C，，，满足，是对偶椭圆；

D，，，不满足，不是对偶椭圆．

故选：AC

10．若是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，是直线b上不同的两点的，则以下命题正确（    ）

A． B．

C．，使得 D．设与的夹角为，则.

【答案】BCD

【分析】根据空间向量与空间位置关系一一判断即可；

【详解】解：对于A，当且平面时，满足，故A错误；

对于B：若则，若则，即可得到，故B正确；

对于C：若，则，则，使得，若，使得则，所以，故C正确；

对于D：设与的夹角为，则，所以，故D正确；

故选：BCD

11．设圆，过点的直线与C交于两点，则下列结论正确的为（    ）

A．P可能为中点 B．的最小值为3

C．若，则的方程为 D．的面积最大值为

【答案】AD

【分析】判断点P在圆的内部，当直线时，P为中点，且此时最小，利用弦长公式可求得，可分别判断ABC，利用基本不等式可判断D.

【详解】圆，圆心，半径

对于A，，即点P在圆的内部，当直线时，P为中点，故A正确；

对于B，当直线时，最小，，，

则直线的方程为，圆心到直线的距离，，故B错误；

对于C，当直线斜率不存在时，即，此时，符合；

当直线斜率存在时，设直线的方程为，由，得，

则圆心到直线的距离，解得，即，所以满足题意的直线为或，故C错误；

对于D，，

当且仅当，即时等号成立，所以的面积最大值为，故D正确.

故选：AD

12．在矩形中，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列各选项正确的是（    ）

A．四面体外接球的表面积为

B．点B与点D之间的距离为

C．四面体的体积为

D．异面直线与所成的角为

【答案】ACD

【分析】求出，即可判定 A正确；分别作，垂足为E，F，利用向量法求出，即可判定B错误；证明平面，求出，故C正确；利用向量法求出，所以异面直线与所成的角为，故D正确，

【详解】解：如图，因为和都是以为斜边的直角三角形，则为四面体外接球的直径．

因为，则，

所以四面体外接球的表面积为，故A正确；

分别作，垂足为E，F，则．

由已知可得，．因为，则

，所以，故B错误；

因为，

则．同理．又，平面，

则平面，所以，故C正确；

由已知可得，，，

则，则，得，

所以异面直线与所成的角为，故D正确，

故选：ACD．

三、填空题

13．若椭圆的一个焦点为，则p的值为______．

【答案】3

【分析】利用椭圆标准方程概念求解

【详解】因为焦点为，所以焦点在y轴上，所以

故答案为：3

14．已知，若与垂直，则___________.

【答案】##

【分析】由向量垂直可得，即可求出.

【详解】因为，

所以，，

因为与垂直，

所以，解得.

故答案为：.

15．在正方体中，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为___________.

【答案】 ##0.5

【分析】可通过连接，将和夹角转化成与所成的角，然后再去求解.

【详解】

如图所示，连接、，分别为，的中点，所以，

所以和夹角就是与所成的角，

而是正三角形，所以，所以，

直线和夹角的余弦值为.

故答案为：.

16．已知椭圆的左、右焦点分别为、，关于原点对称的点A、B在椭圆上，且满足，若令且，则该椭圆离心率的取值范围为___________．

【答案】

【分析】由得为矩形，则，故，结合正弦函数即可求得范围．

【详解】由已知可得，且四边形为矩形．

所以，

又因为，所以．

得离心率．

因为，所以，可得，

从而．

故答案为：

四、解答题

17．求适合下列条件的椭圆标准方程：

（1）经过点,；

（2）长轴长等于20,焦距等于12.

【答案】（1）；（2）或

【解析】（1）设椭圆方程,根据椭圆经过点,,得出,代入方程即可.

（2）椭圆的长轴长等于20,焦距等于12,得,则可得,根据焦点所在的轴代入对应的标准方程即可.

【详解】解:（1）设椭圆方程为:,

因为椭圆经过点,,

,分别为左顶点和下顶点,

所以得,

所以椭圆标准方程为.

（2）椭圆的长轴长等于20,焦距等于12

依题意:,所以

所以椭圆标准方程为:或.

【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法,需要注意焦点所在的轴的情况,是基础题.

18．直线l经过两条直线和的交点P，且直线l在x轴上的截距为．

(1)求直线l的方程；

(2)求直线l与坐标轴围成的三角形面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）联立和的直线方程，求出交点P的坐标，再根据点斜式或者两点式即可求出直线l的方程；

（2）分别求出直线l与x轴和y轴的交点，坐标的绝对值即是三角形的底边和高.

【详解】（1）∵直线l经过两条直线和的交点，

∴解得，，即，

由题意可知直线的斜率存在，设为k且，则过，

代入可得．∴直线l的方程．

（2）在直线中，令可得，

令可得，所以直线l与坐标轴围成的三角形面积．

19．已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).

(1)求以为邻边的平行四边形的面积;

(2)若|a|=,且a分别与垂直,求向量a的坐标.

【答案】（1）；（2）或

【分析】（1）先写出两边表示向量坐标，再由向量夹角公式求角A的余弦值，由同角关系求角A的正弦值，再由面积公式可求解．（2）设，由向量垂直则数量积为0，待定系数法求得向量坐标．

【详解】(1)由题中条件可知,=(-2,-1,3),=(1,-3,2),

所以cos<>=.

于是sin<>=.

故以为邻边的平行四边形的面积为

S=||||sin<>=14×=7.

(2)设a=(x,y,z),由题意得

解得

故a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).

【点睛】求平面向量夹角公式：，若，则．

20．已知圆C的圆心在直线上，且经过点和．

(1)求圆C的标准方程；

(2)若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）点和的中垂线经过圆心，两直线联立方程得圆心坐标，再利用两点间距离公式求解半径.

（2）已知弦长，求解直线方程，分类讨论斜率是否存在.

【详解】（1）点和的中点为，,所以中垂线的， 利用点斜式得方程为，联立方程 得圆心坐标为， 所以圆C的标准方程为.

（2）当过点的直线l斜率不存在时，直线方程为，此时弦长，符合题意.

当过点的直线l斜率存在时,设直线方程为，化简得，弦心距，所以，解得，所以直线方程为.综上所述直线方程为或.

21．图1是由等边三角形和等腰直角三角形组成的一个平面图形，其中.若，将沿折起，连接，如图2.

(1)求证：平面平面；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点E，连接，根据等边三角形中线即为高线，及勾股定理可证得，，从而得到平面，进而证得面面垂直；（2）利用空间向量法或作角求角的几何方法进行求解.

【详解】（1）如图，取的中点E，连接，

，

为等边三角形，为等腰直角三角形，

，又，即，

又平面平面，

又平面平面平面.

（2）（解法一）由（1）知平面，又平面平面，平面平面，，所以平面，

过点E作交于点H，则平面，所以两两垂直，

以点E为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

则有，，

设为平面的一个法向量，

则.即

令，则

易知，为平面的一个法向量，，

由图可知，二面角为锐角，二面角的余弦值为.

（解法二）过D作于F，又平面平面，平面平面，，所以平面，

平面，又平面是二面角的平面角，

又

在中，由余弦定理得，

∴二面角的余弦值为.

22．设圆的圆心为，点，点为圆上动点，线段的垂直平分线与线段交于点，设点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）若直线与曲线交于点，，与圆：切于点，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由.

【答案】（1）；（2）是定值，定值为2.

【解析】(1)由垂直平分线的定义知，证明为定值即可根据椭圆的定义写出点E的轨迹方程；（2）分类讨论，当直线斜率不存在时，求出直线方程及其与椭圆的交点，利用向量证明，则；当直线斜率存在时，设出直线方程并与椭圆联立，利用直线与圆相切的性质、韦达定理及向量证明，则.

【详解】（1）由条件可得，半径.

又线段的垂直平分线与线段交于点，所以.

则有.

所以点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的椭圆，

其方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为.

由椭圆的方程可知，，

解法1：则，，.即.

从而在中，.

解法2：则.

解法3：因为切点为，所以.

②当直线的斜率存在时，设的方程为，，.

因为直线与圆相切，所以，即.

联立和椭圆方程，得.

则，

，.

解法1：则

所以.

从而在中，.

所以为定值2.

解法2：所以

又因为，在椭圆上，

所以上式

所以为定值2.

解法3：设切点，联立，

得.

所以，.

此时，有

所以为定值2.

【点睛】解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路是：定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，从而找出这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个值。

1、从特殊入手，求出定值，再证明

圆锥曲线中的定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的实虚轴，抛物线的焦参数等，在求定值之前，要大胆设参，运算推理，到最后消除参数求出定值；

2、直接推理计算，通过消参得到定值

直接推理计算，通过消参得到定值的关键在于引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式得恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.