2021-2022学年四川省资阳市外国语实验学校高二下学期期中数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年四川省资阳市外国语实验学校高二下学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．已知复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据共轭复数的定义求出，进而利用复数运算法则进行计算.

【详解】由题意可知，，所以．

故选：B

2．，则与分别为（    ）

A．与 B．与

C．与0 D．0与

【答案】C

【分析】利用正弦函数和常数导数公式，结合代入法进行求解即可.

【详解】因为，所以，所以，，

故选：C

3．设抛物线上一点的横坐标为4，则点到该抛物线焦点的距离为（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由抛物线的定义求解即可．

【详解】解：因为抛物线上一点到轴的距离是4，

则点的横坐标为4，

又抛物线的准线为，

所以点到抛物线准线的距离为，

由抛物线的定义可知，点到该抛物线焦点的距离是6．

故选：C.

4．曲线与曲线的（    ）

A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等

【答案】D

【分析】通过的范围，结合曲线，求解焦距，实半轴长，虚半轴长，判断选项即可．

【详解】的实半轴的长为5，虚半轴的长为3，

实数满足，曲线是双曲线，

实半轴的长为，虚半轴的长为，

显然两条曲线的实轴的长与虚轴的长不相等，所以A、B均不正确；

焦距为：，焦距相等，所以D正确；

离心率为：和，不相等，所以C不正确．

故选：D．

5．将曲线按曲线伸缩变换后得到的曲线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由得，然后代入即可得出答案.

【详解】由得，代入得

所以

所以将曲线按伸缩变换后得到的曲线方程为

故选：A

【点睛】本题考查的是伸缩变换，较简单.

6．设函数f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数图象得出单调性，然后判断导函数的正负即可选出答案.

【详解】由函数的图象，知当时，是单调递减的，所以；

当时，先减少，后增加，最后减少，所以先负后正，最后为负．

故选：B．

【点睛】本题考查原函数的单调性与导函数的正负的关系.属于基础题.

7．为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到的实验数据如下表，并由此计算得到回归直线方程，后来工作人员不慎将下表中的实验数据丢失.

则上表中丢失的实验数据的值为（    ）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

【答案】D

【分析】根据给定数据求出样本中心点，再借助回归直线必过样本中心点即可计算作答.

【详解】由表中数据可得，，

将点代入中，得，解得，

所以丢失的实验数据的值为2.5.

故选：D

8．直线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

【答案】A

【分析】先将直线与曲线的参数方程转化成普通方程，再利用圆心到直线的距离与半径的关系判断交点个数即可.

【详解】直线（为参数），消去参数，得直线的普通方程为，

曲线（为参数），消去参数，得曲线的普通方程为，

曲线为圆，圆心，半径为，

则圆心到直线的距离为，

所以直线与圆相切，只有一个交点.

故选：A.

【点睛】本题考查了参数方程与普通方程之间的转化和直线与圆交点个数的判断，属于常考题.

9．已知，，，，…，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意求得，，，，从中找出规律，据此分析可得答案．

【详解】由已知，有，

，…，可以归纳出：

，

．

所以．

故选：A

10．已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（    ）

A．3 B．1 C． D．

【答案】C

【分析】由双曲线定义把转化为到右焦点的距离，然后由平面几何性质得结论．

【详解】设双曲线C的实半轴长为，右焦点为，

所以，

当且仅当M为的延长线与双曲线交点时取等号.

故选：C．

11．已知直线与曲线在点处的切线互相垂直，则的值为（     ）

A． B． C．-1 D．1

【答案】C

【分析】先求导，得到，利用两直线垂直关系得到方程，求出答案.

【详解】，，由题意得：，解得：.

故选：C

12．已知，分别是双曲线：（，）的左､右焦点，直线与交于，两点，且，四边形的周长与面积满足，则的渐近线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】不妨设，结合双曲线定义和余弦定理可得，再由

四边形的周长与面积关系求得关系，由得出关系即可求双曲线的渐近线.

【详解】不妨设，

由双曲线的定义可知，，即，

又，所以由余弦定理可得，

由可得 ，

由可得，

所以.

由题意可知，四边形为平行四边形，

所以四边形的周长，

 四边形的面积.

因为，所以，

整理得，由，得，即.

所以的渐近线方程是.

故选：C.

二、填空题

13．若直线经过抛物线的焦点，则________.

【答案】##

【分析】求出抛物线的焦点坐标，代入直线方程，求解即可．

【详解】解：可化为，焦点坐标为，代入直线方程可得，解得．

故答案为：．

14．已知双曲线的参数方程为（是参数），则该双曲线的焦点坐标为___________．

【答案】

【分析】将参数方程化为普通方程，由普通方程可求得焦点坐标.

【详解】由双曲线参数方程可得其普通方程为：，，

双曲线的焦点坐标为.

故答案为：.

15．已知、是等轴双曲线的左、右焦点，点在上，，则等于___________.

【答案】

【分析】利用余弦定理结合双曲线的定义可求得的值.

【详解】解：∵双曲线的方程为：，∴，得，

由此可得、，焦距，

∵，∴，

即，①

又∵点在双曲线上，∴，

平方得，②

① ②，得，

故答案为：.

16．设是函数的导函数，且，则不等式的解集为__________．

【答案】

【分析】根据构造函数，求导后根据导数正负确定函数单调性，利用函数单调性解不等式.

【详解】令，则，

，，

在上单调递减，

由可得，

即，，解得.

故不等式的解集为.

故答案为：

三、解答题

17．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；

（2）直线与曲线交于两点，记弦的中点为，点，求.

【答案】（1）曲线C的直角坐标方程为，直线的普通方程为；（2）

【分析】(1)由直角坐标方程与极坐标方程的互化，可直接写出曲线的直角坐标方程；由直线的参数方程消去参数，即可得到直线的普通方程；

(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，以及弦长公式即可求解.

【详解】（1）由，，

从而有，即

直线的普通方程为

（2）易知点在直线上，

则直线的参数方程为（为参数），

将其代入曲线的直角坐标方程可得，所以

所以

【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及参数的方程求弦长的问题，熟记公式，即可求解，属于基础题型.

18．已知双曲线C：的焦距为4，且过点.

(1)求双曲线方程；

(2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点，求实数的值.

【答案】(1)

(2)，．

【分析】（1）求出双曲线的焦点，根据定义求出，然后求出．可得双曲线的方程．

（2）联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出的值即可．

【详解】（1）解：由题意可知双曲线的焦点为和，

根据定义有．

，又，所以，，．

所求双曲线的方程为．

（2）解：因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为；

由，消去整理得．

①当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意；

②当即时，由，解得，

此时直线双曲线相切于一个公共点，符合题意．

综上所述：符合题意的的所有取值为，．

19．设函数．

(1)若，过点作曲线的切线，求切点的坐标；

(2)若在区间上单调递增，求整数的最大值．

【答案】(1)切点坐标为和

(2)8

【分析】（1）设切点为，表示出点处切线方程，将代入解得，或，求出切点坐标为和；

（2）把题意转化为时，恒成立，.对a分类讨论：i.时，ii.时，分别求出满足条件的整数的范围，即可求得.

【详解】（1）时，，，

设切点为，则点处切线方程为：，

将代入得：．

即，解得，或，

时，；时，．

∴所求切点坐标为和．

（2）．记

∵在上单调递增，∴时，恒成立.

i.，即时，

时，，，∴，∴在上单调递增，

∴，故，时满足条件．

ii.，即时．

在上，，，所以，单调递减；

在上，，，所以，单调递增，

∴，

记，在上，单调递减，

∵，.

因为，时满足条件．

由i和ii知，满足条件的整数的最大值为8．

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．

(4)考查数形结合思想的应用．

20．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：）， 其频率分布直方图如下：

附：

(1)记表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，估计的概率；

(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关.

【答案】(1)

(2)列联表见解析；有的把握认为箱产量与养殖方法有关

【分析】（1）根据频率分布直方图可计算出旧养殖法箱产量低于的频率，以频率估计概率即可；

（2）利用频率分布直方图可计算得到新旧养殖法箱产量低于和不低于的数量，由此可得列联表；根据列联表计算可得，对比临界值表即可得到结论.

【详解】（1）旧养殖法箱产量低于的频率为：，

用频率估计概率，可知.

（2）由频率分布直方图知：旧养殖法箱产量低于的箱数为；不低于的箱数为；

新养殖法产量低于的箱数为；不低于的箱数为；

由此可得列联表如下：

，

有的把握认为箱产量与养殖方法有关.

21．已知为抛物线的焦点，点为其上一点，与关于轴对称，直线与抛物线交于异于的两点，，.

（1）求抛物线的标准方程和点的坐标；

（2）判断是否存在这样的直线，使得的面积最小.若存在，求出直线的方程和面积的最小值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）最小值，此时直线的方程为

【详解】试题分析：（1）由题意知，得出抛物线的方程，由，得出，，根据，得，由此能求出点坐标；（2）由题意知直线的斜率不为，设直线的方程为，联立方程组，设两个交点，由得，由此能求出当时有最小值，此时直线方程为.

试题解析：（1）由题意知，故抛物线方程为

∵

∴

∴

（2）由题意知直线的斜率不为0，则可设直线的方程为

联立方程组

设两个交点，由，整理得，此时，恒成立.故直线的方程可设为从而直线过定点.

又∵

∴的面积

∴当时有最小值，此时直线的方程为.

点睛：圆锥曲线中的最值与范围问题是高考中的常考题型，常与不等式、函数等知识结合在一起，涉及的知识点较多、难度较大．解题时可先建立关于某个参数的目标函数，再求这个函数的最值，常用的方法有以下几个：

①利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；

②利用基本不等式求出参数的取值范围；

③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．

22．已知函数

(1)过原点作的切线，求的方程；

(2)令，求在恒成立，求的取值范围

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）设切线的方程为，设切点为,求出即得解；

（2）利用导数求出函数在上的单调区间即得解.

【详解】（1）解：设切线的方程为，设切点为,

因为，则

所以切线方程为即

由题得则

∴切线的方程为．

（2）解：，

当时，；时，，

所以函数在单调递增，在单调递减，

∵，，

因为

所以最小值． .